PREFERENTIAL ATTACHMENT WITH FITNESS DEPENDENT CHOICE

Исследуется асимптотическое поведение максимальной степени вершины в графе предпочтительного присоединения с выбором вершины, основанном как на ее степени, так и на дополнительном параметре (пригодности). Модели предпочтительного присоединения широко используются для моделирования сложных сетей (таких как нейронные сети и т.д.). Они строятся следующим образом. Мы начинаем с двух вершин и ребра между ними. Затем на каждом шаге мы рассматриваем выборку из уже существующих вершин, выбранных с вероятностями, пропорциональными их степеням плюс некоторый параметр β>- 1. Затем мы добавляем новую вершину и соединяем ее ребром с вершиной из выборки, на которой достигается максимум произведения ее степени на ее пригодность. Мы доказали, что в зависимости от параметров модели возможны три типа поведения максимальной степени вершины - сублинейное, линейное и порядка /ln , где n - число вершин в графе. We study the asymptotic behavior of the maximum degree in the preferential attachment tree model with a choice based on both the degree and fitness of a vertex. The preferential attachment models are natural models for complex networks (like neural networks, etc.) and constructed in the following recursive way. To each vertex is assigned a parameter that is called a fitness of a vertex. We start from two vertices and an edge between them. On each step, we consider a sample with repetition of d vertices, chosen with probabilities proportional to their degrees plus some parameter β>-1. Then we add a new vertex and draw an edge from it to the vertex from the sample with the highest product of fitness and degree. We prove that the maximum degree, dependent on parameters of the model, could exhibit three types of asymptotic behavior: sublinear, linear, and of /ln order, where n is the number of edges in the graph.