scholarly journals On bijections between monotone rooted trees and the comb basis

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Fu Liu
Keyword(s):  
Lie Algebra ◽  
Rooted Trees ◽  
Close Connection ◽  
Free Lie Algebra ◽  
Nous Montrons ◽  
Il Y A ◽  
International Audience ◽  
Lie Brackets ◽  
Element Set

International audience Let $A$ be an $n$-element set. Let $\mathscr{L} ie_2(A)$ be the multilinear part of the free Lie algebra on $A$ with a pair of compatible Lie brackets, and $\mathscr{L} ie_2(A, i)$ the subspace of $\mathscr{L} ie_2(A)$ generated by all the monomials in $\mathscr{L} ie_2(A)$ with $i$ brackets of one type. The author and Dotsenko-Khoroshkin show that the dimension of $\mathscr{L} ie_2(A, i)$ is the size of $R_{A,i}$, the set of rooted trees on $A$ with $i$ decreasing edges. There are three families of bases known for $\mathscr{L} ie_2(A, i)$ the comb basis, the Lyndon basis, and the Liu-Lyndon basis. Recently, González D'León and Wachs, in their study of (co)homology of the poset of weighted partitions (which has close connection to $\mathscr{L} ie_2(A, i)$), asked whether there are nice bijections between $R_{A,i}$ and the comb basis or the Lyndon basis. We give a natural definition for " nice bijections " , and conjecture that there is a unique nice bijection between $R_{A,i}$ and the comb basis. We show the conjecture is true for the extreme cases where $i=0$, $n−1$. Soit $A$ un ensemble à $n$ éléments. Soit $\mathscr{L} ie_2(A)$ la partie multilinéaire de l'algèbre de Lie libre sur $A$ avec une paire de crochets de Lie compatibles et $\mathscr{L} ie_2(A, i)$ le sous-espace de$\mathscr{L} ie_2(A)$ généré par tous les monômes en $\mathscr{L} ie_2(A)$ avec $i$ supports d'un même type. L'auteur et Dotsenko-Khoroshkin montrent que la dimension de $\mathscr{L} ie_2(A, i)$ est la taille de la $R_{A,i}$, l'ensemble des arbres enracinés sur $A$ avec $i$ arêtes décroissantes. Il y a trois familles de bases connues pour $\mathscr{L} ie_2(A, i)$ : la base de peigne, la base Lyndon, et la base Liu-Lyndon. Récemment, Gonzalez, D' Léon et Wachs, dans leur étude de (co)-homologie de la poset des partitions pondérés, ont demandé si il y a des bijections jolies entre$R_{A,i}$, et la base de peigne ou la base Lyndon. Nous donnons une définition naturelle de "bijection jolie " , et un conjecture qu'il y a une seule bijection jolie entre $R_{A,i}$, et la base de peigne. Nous montrons que la conjecture est vraie pour les cas extrêmes: $i = 0$, et $n − 1$.

scholarly journals Weighted partitions

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Rafael González S. D'León ◽  
Michelle L. Wachs
Keyword(s):  
Lie Algebra ◽  
Characteristic Polynomial ◽  
Rooted Trees ◽  
Free Lie Algebra ◽  
International Audience

International audience In this extended abstract we consider the poset of weighted partitions Π _n^w, introduced by Dotsenko and Khoroshkin in their study of a certain pair of dual operads. The maximal intervals of Π _n^w provide a generalization of the lattice Π _n of partitions, which we show possesses many of the well-known properties of Π _n. In particular, we prove these intervals are EL-shellable, we compute the Möbius invariant in terms of rooted trees, we find combinatorial bases for homology and cohomology, and we give an explicit sign twisted <mathfrak>S</mathfrak>_n-module isomorphism from cohomology to the multilinear component of the free Lie algebra with two compatible brackets. We also show that the characteristic polynomial of Π _n^w has a nice factorization analogous to that of Π _n.

scholarly journals Quivers and the Euclidean algebra (Extended abstract)

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Alistair Savage
Keyword(s):  
Moduli Spaces ◽  
Euclidean Group ◽  
Quiver Varieties ◽  
Nous Permet ◽  
Preprojective Algebras ◽  
Nous Montrons ◽  
Wild Representation Type ◽  
Il Y A ◽  
International Audience ◽  
Euclidean Algebra

International audience We show that the category of representations of the Euclidean group $E(2)$ is equivalent to the category of representations of the preprojective algebra of the quiver of type $A_{\infty}$. Furthermore, we consider the moduli space of $E(2)$-modules along with a set of generators. We show that these moduli spaces are quiver varieties of the type considered by Nakajima. These identifications allow us to draw on known results about preprojective algebras and quiver varieties to prove various statements about representations of $E(2)$. In particular, we show that $E(2)$ has wild representation type but that if we impose certain combinatorial restrictions on the weight decompositions of a representation, we obtain only a finite number of indecomposable representations. Nous montrons que la catégorie des représentations du groupe d'Euclide $E(2)$ est équivalente à la catégorie des représentations de l'algèbre préprojective de type $A_{\infty}$. De plus, nous considérons l'espace classifiant de modules de $E(2)$ avec un ensemble de générateurs. Nous montrons que ces espaces sont de variétés de carquois de Nakajima. Cette identification nous permet d'utiliser des résultats des algèbres préprojectives et des variétés de carquois pour prouver des affirmations sur des représentations de $E(2)$. En particulier, nous montrons que le type de représentations de $E(2)$ est sauvage mais si nous imposons des restrictions aux poids d'une représentation, il y a seulement un nombre fini de représentations qui ne sont pas décomposables.

scholarly journals Demazure crystals and the energy function

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Anne Schilling ◽  
Peter Tingley
Keyword(s):  
Energy Function ◽  
Tensor Products ◽  
Macdonald Polynomials ◽  
Close Connection ◽  
Whittaker Functions ◽  
Nous Obtenons ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Demazure Character ◽  
Demazure Crystals

International audience There is a close connection between Demazure crystals and tensor products of Kirillov–Reshetikhin crystals. For example, certain Demazure crystals are isomorphic as classical crystals to tensor products of Kirillov–Reshetikhin crystals via a canonically chosen isomorphism. Here we show that this isomorphism intertwines the natural affine grading on Demazure crystals with a combinatorially defined energy function. As a consequence, we obtain a formula of the Demazure character in terms of the energy function, which has applications to nonsymmetric Macdonald polynomials and $q$-deformed Whittaker functions. Les cristaux de Demazure et les produits tensoriels de cristaux Kirillov–Reshetikhin sont étroitement liés. Par exemple, certains cristaux de Demazure sont isomorphes, en tant que cristaux classiques, à des produits tensoriels de cristaux Kirillov–Reshetikhin via un isomorphisme que l'on peut choisir canoniquement. Ici, nous montrons que cet isomorphisme entremêle la graduation affine naturelle des cristaux de Demazure avec une fonction énergie définie combinatoirement. Comme conséquence, nous obtenons une formule pour le caractère de Demazure exprimée au moyen de la fonction énergie, avec des applications aux polynômes de Macdonald non symétriques et aux fonctions de Whittaker $q$-déformées.

scholarly journals On the support of the free Lie algebra: the Schutzenberger problems

2010 ◽  
Vol Vol. 12 no. 3 (Combinatorics) ◽  
Author(s):  
Ioannis C. Michos
Keyword(s):  
Lie Algebra ◽  
Recursion Formula ◽  
Discrete Math ◽  
Binomial Coefficient ◽  
Finite Alphabet ◽  
Free Lie Algebra ◽  
Lie Ring ◽  
Linear Polynomial ◽  
International Audience ◽  
Natural Way

Combinatorics International audience M.-P. Schutzenberger asked to determine the support of the free Lie algebra L(Zm) (A) on a finite alphabet A over the ring Z(m) of integers mod m and all pairs of twin and anti-twin words, i.e., words that appear with equal (resp. opposite) coefficients in each Lie polynomial. We characterize the complement of the support of L(Zm) (A) in A* as the set of all words w such that m divides all the coefficients appearing in the monomials of l* (w), where l* is the adjoint endomorphism of the left normed Lie bracketing l of the free Lie ring. Calculating l* (w) via the shuffle product, we recover the well known result of Duchamp and Thibon (Discrete Math. 76 (1989) 123-132) for the support of the free Lie ring in a much more natural way. We conjecture that two words u and v of common length n, which lie in the support of the free Lie ring, are twin (resp. anti-twin) if and only if either u = v or n is odd and u = (v) over tilde (resp. if n is even and u = (v) over tilde), where (v) over tilde denotes the reversal of v and we prove that it suffices to show this for a two-lettered alphabet. These problems can be rephrased, for words of length n, in terms of the action of the Dynkin operator l(n) on lambda-tabloids, where lambda is a partition of n. Representing a word w in two letters by the subset I of [n] = \1, 2, ... , n\ that consists of all positions that one of the letters occurs in w, the computation of l* (w) leads us to the notion of the Pascal descent polynomial p(n)(I), a particular commutative multi-linear polynomial which is equal to the signed binomial coefficient when vertical bar I vertical bar = 1. We provide a recursion formula for p(n) (I) and show that if m inverted iota Sigma(i is an element of I)(1)(i-1) (n - 1 i - 1), then w lies in the support of L(Zm) (A).

scholarly journals Riffle shuffles with biased cuts

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Sami Assaf ◽  
Persi Diaconis ◽  
Kannan Soundararajan
Keyword(s):  
Generating Function ◽  
Complex Analysis ◽  
Close Connection ◽  
Quasisymmetric Functions ◽  
Nous Montrons ◽  
Natural Variant ◽  
International Audience ◽  
Sharp Cutoff

International audience The well-known Gilbert-Shannon-Reeds model for riffle shuffles assumes that the cards are initially cut `about in half' and then riffled together. We analyze a natural variant where the initial cut is biased. Extending results of Fulman (1998), we show a sharp cutoff in separation and L-infinity distances. This analysis is possible due to the close connection between shuffling and quasisymmetric functions along with some complex analysis of a generating function. Le modèle de Gilbert-Shannon-Reeds pour mélange de cartes suppose que les cartes sont d'abord coupées environ de moitié, puis intercalées ensemble. Nous analysons une variante naturelle, où la coupe initiale est biaisée. En proposant une une extension des résultats de Fulman (1998), nous montrons une forte coupure dans les distances de séparation et à l'infinité L. Cette analyse est possible grâce à l'étroite relation entre brassage et fonctions quasi-symétriques.

scholarly journals A Baxter class of a different kind, and other bijective results using tableau sequences ending with a row shape

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Sophie Burrill ◽  
Stephen Melczer ◽  
Marni Mishna
Keyword(s):  
Recent Result ◽  
Young Tableaux ◽  
Set Partitions ◽  
Nous Permet ◽  
Nous Montrons ◽  
Il Y A ◽  
International Audience

International audience Tableau sequences of bounded height have been central to the analysis of $k$-noncrossing set partitions and matchings. We show here that families of sequences that end with a row shape are particularly compelling and lead to some interesting connections. First, we prove that hesitating tableaux of height at most two ending with a row shape are counted by Baxter numbers. This permits us to define three new Baxter classes which, remarkably, do not obviously possess the antipodal symmetry of other known Baxter classes. Oscillating tableau of height bounded by $k$ ending in a row are in bijection with Young tableaux of bounded height 2$k$. We discuss this recent result, and somegenerating function implications. Many of our proofs are analytic in nature, so there are intriguing combinatorial bijections to be found. Les séquences de tableau de hauteur bornée sont au centre de l’analyse des partages et couplages. Nous montrons que les familles de séquences qui se terminent par une seule ligne sont particulièrement fascinantes. Tout d’abord, nous prouvons que les tableaux hésitants de hauteur au plus deux se terminant par une seule ligne sont dénombrés par les nombres de Baxter. Cela nous permet de définir trois nouvelles classes Baxter qui, remarquablement, ne possèdent évidemment pas la symétrie antipode des autres classes Baxter connus. Nous discutons le résultat récent qui dit que les tableaux oscillants de hauteur au plus $k$ se terminant dans une ligne sont en bijection avec les tableaux de Young de hauteur au plus 2$k$. Nos preuves sont analytiques, il y a donc des bijections combinatoiresintrigantes à trouver.

scholarly journals A diagrammatic approach to Kronecker squares

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Ernesto Vallejo
Keyword(s):  
Polynomial Function ◽  
Young Tableaux ◽  
Piecewise Polynomial ◽  
Piecewise Polynomial Function ◽  
Isomorphism Classes ◽  
Nous Montrons ◽  
Il Y A ◽  
International Audience ◽  
Kronecker Coefficients ◽  
Standard Young Tableaux

International audience In this paper we improve a method of Robinson and Taulbee for computing Kronecker coefficients and show that for any partition $\overline{ν}$ of $d$ there is a polynomial $k_{\overline{ν}}$ with rational coefficients in variables $x_C$, where $C$ runs over the set of isomorphism classes of connected skew diagrams of size at most $d$, such that for all partitions $\lambda$ of $n$, the Kronecker coefficient $\mathsf{g}(\lambda, \lambda, (n-d, \overline{ν}))$ is obtained from $k_{\overline{ν}}(x_C)$ substituting each $x_C$ by the number of $\lambda$-removable diagrams in $C$. We present two applications. First we show that for $\rho_{k} = (k, k-1,\ldots, 2, 1)$ and any partition $\overline{ν}$ of size $d$ there is a piecewise polynomial function $s_{\overline{ν}}$ such that $\mathsf{g}(\rho_k, \rho_k, (|\rho_k| - d, \overline{ν})) = s_{\overline{ν}} (k)$ for all $k$ and that there is an interval of the form $[c, \infty)$ in which $s_{\overline{ν}}$ is polynomial of degree $d$ with leading coefficient the number of standard Young tableaux of shape $\overline{ν}$. The second application is new stability property for Kronecker coefficients. Dans ce papier nous améliorons une méthode de Robinson-Taulbee pour calculer les coefficients de Kronecker et montrons que pour toute partition $\overline{ν}$ de $d$ il y a un polynôme $k_{\overline{ν}}$ avec coefficients rationnels dans les variables $x_C$, où $C$ est dans l’ensemble de classes d’isomorphisme des diagrammes gauches connexes de taille non plus que $d$, tel que pour toute partition $\lambda$ de $n$, le coefficient de Kronecker $\mathsf{g}(\lambda, \lambda, (n-d, \overline{ν}))$ est obtenu de $k_{\overline{ν}}(x_C)$ en substituant chaque $x_C$ pour le nombre de diagrammes $\lambda$-removables en $C$. Nous présentons deux applications. Premièrement nous montrons que pour $\rho_{k} = (k, k-1,\ldots, 2, 1)$ et une partition $\overline{ν}$ de taille $d$ il y a une fonction polynôme par morceaux $s_{\overline{ν}}$ tel que pour toute $k$ on a $\mathsf{g}(\rho_k, \rho_k, (|\rho_k| - d, \overline{ν})) = s_{\overline{ν}} (k)$ et qu'il y a une intervalle de la forme $[c, \infty)$ dans laquelle $s_{\overline{ν}}$ est polynôme de degré $d$ avec coefficient principal le nombre de tableaux de Young standard de forme $\overline{ν}$. La seconde application est une nouveau propriété de stabilité des coefficients de Kronecker.

scholarly journals Delannoy numbers and Legendre polytopes

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Gábor Hetyei
Keyword(s):  
Legendre Polynomial ◽  
Legendre Polynomials ◽  
Geometric Interpretation ◽  
Boundary Complex ◽  
Nous Montrons ◽  
Il Y A ◽  
Delannoy Numbers ◽  
International Audience

International audience We construct an $n$-dimensional polytope whose boundary complex is compressed and whose face numbers for any pulling triangulation are the coefficients of the powers of $(x-1)/2$ in the $n$-th Legendre polynomial. We show that the non-central Delannoy numbers count all faces in the lexicographic pulling triangulation that contain a point in a given open quadrant. We thus provide a geometric interpretation of a relation between the central Delannoy numbers and Legendre polynomials, observed over 50 years ago. The polytopes we construct are closely related to the root polytopes introduced by Gelfand, Graev, and Postnikov. \par No construisons un polytope de dimension $n$ dont le complexe de bord est comprimé et dont les nombres de faces dans toute triangulation "en tirant des sommets'' sont les coefficients des puissances de $(x-1)/2$ dans le $n$-ième polynôme de Legendre. Nous montrons que les nombres centraux de Delannoy comptent toutes les faces dans la triangulation "en tirant des sommets'' en ordre lexicographique qui contiennent un point dans un certain quadrant ouvert. Ainsi nous produisons une interprétation géométrique d'une relation entre les nombres de Delannoy centraux et les polynômes de Legendre, notée il y a 50 ans. Nos polytopes sont reliés intimement aux polytopes de racines introduits par Gelfand, Graev, et Postnikov.

WHITEHEAD EXACT SEQUENCE AND DIFFERENTIAL GRADED FREE LIE ALGEBRA

2004 ◽  
Vol 15 (10) ◽  
pp. 987-1005 ◽  
Author(s):  
MAHMOUD BENKHALIFA
Keyword(s):  
Exact Sequence ◽  
Lie Algebra ◽  
Lie Algebras ◽  
Integral Domain ◽  
Free Lie Algebra ◽  
Universal Algebras ◽  
Free Lie Algebras ◽  
Equivalent Class

Let R be a principal and integral domain. We say that two differential graded free Lie algebras over R (free dgl for short) are weakly equivalent if and only if the homologies of their corresponding enveloping universal algebras are isomophic. This paper is devoted to the problem of how we can characterize the weakly equivalent class of a free dgl. Our tool to address this question is the Whitehead exact sequence. We show, under a certain condition, that two R-free dgls are weakly equivalent if and only if their Whitehead sequences are isomorphic.

scholarly journals Macdonald polynomials at $t=q^k$

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jean-Gabriel Luque
Keyword(s):  
Macdonald Polynomials ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We investigate the homogeneous symmetric Macdonald polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ for the specialization $t=q^k$. We show an identity relying the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ and $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. As a consequence, we describe an operator whose eigenvalues characterize the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous nous intéressons aux propriétés des polynômes de Macdonald symétriques $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ pour la spécialisation $t=q^k$. En particulier nous montrons une égalité reliant les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ et $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous en déduisons la description d'un opérateur dont les valeurs propres caractérisent les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$.

Sign in / Sign up

Export Citation Format

Share Document