scholarly journals Riffle shuffles with biased cuts

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Sami Assaf ◽  
Persi Diaconis ◽  
Kannan Soundararajan
Keyword(s):  
Generating Function ◽  
Complex Analysis ◽  
Close Connection ◽  
Quasisymmetric Functions ◽  
Nous Montrons ◽  
Natural Variant ◽  
International Audience ◽  
Sharp Cutoff

International audience The well-known Gilbert-Shannon-Reeds model for riffle shuffles assumes that the cards are initially cut `about in half' and then riffled together. We analyze a natural variant where the initial cut is biased. Extending results of Fulman (1998), we show a sharp cutoff in separation and L-infinity distances. This analysis is possible due to the close connection between shuffling and quasisymmetric functions along with some complex analysis of a generating function. Le modèle de Gilbert-Shannon-Reeds pour mélange de cartes suppose que les cartes sont d'abord coupées environ de moitié, puis intercalées ensemble. Nous analysons une variante naturelle, où la coupe initiale est biaisée. En proposant une une extension des résultats de Fulman (1998), nous montrons une forte coupure dans les distances de séparation et à l'infinité L. Cette analyse est possible grâce à l'étroite relation entre brassage et fonctions quasi-symétriques.

scholarly journals Enumerating (2+2)-free posets by the number of minimal elements and other statistics

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Sergey Kitaev ◽  
Jeffrey Remmel
Keyword(s):  
Generating Function ◽  
Minimal Elements ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Ascent Sequences ◽  
Special Case

International audience A poset is said to be (2+2)-free if it does not contain an induced subposet that is isomorphic to 2+2, the union of two disjoint 2-element chains. In a recent paper, Bousquet-Mélou et al. found, using so called ascent sequences, the generating function for the number of (2+2)-free posets: $P(t)=∑_n≥ 0 ∏_i=1^n ( 1-(1-t)^i)$. We extend this result by finding the generating function for (2+2)-free posets when four statistics are taken into account, one of which is the number of minimal elements in a poset. We also show that in a special case when only minimal elements are of interest, our rather involved generating function can be rewritten in the form $P(t,z)=∑_n,k ≥0 p_n,k t^n z^k = 1+ ∑_n ≥0\frac{zt}{(1-zt)^n+1}∏_i=1^n (1-(1-t)^i)$ where $p_n,k$ equals the number of (2+2)-free posets of size $n$ with $k$ minimal elements. Un poset sera dit (2+2)-libre s'il ne contient aucun sous-poset isomorphe à 2+2, l'union disjointe de deux chaînes à deux éléments. Dans un article récent, Bousquet-Mélou et al. ont trouvé, à l'aide de "suites de montées'', la fonction génératrice des nombres de posets (2+2)-libres: c'est $P(t)=∑_n≥ 0 ∏_i=1^n ( 1-(1-t)^i)$. Nous étendons ce résultat en trouvant la fonction génératrice des posets (\textrm2+2)-libres rendant compte de quatre statistiques, dont le nombre d'éléments minimaux du poset. Nous montrons aussi que lorsqu'on ne s'intéresse qu'au nombre d'éléments minimaux, notre fonction génératrice assez compliquée peut être simplifiée en$P(t,z)=∑_n,k ≥0 p_n,k t^n z^k = 1+ ∑_n ≥0\frac{zt}{(1-zt)^n+1}∏_i=1^n (1-(1-t)^i)$, où $p_n,k$ est le nombre de posets (2+2)-libres de taille $n$ avec $k$ éléments minimaux.

scholarly journals Cyclic sieving for longest reduced words in the hyperoctahedral group

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
T. K. Petersen ◽  
L. Serrano
Keyword(s):  
Generating Function ◽  
Hyperoctahedral Group ◽  
Cyclic Action ◽  
Orbit Structure ◽  
Cyclic Sieving Phenomenon ◽  
Major Index ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Cyclic Sieving ◽  
Cette Action

International audience We show that the set $R(w_0)$ of reduced expressions for the longest element in the hyperoctahedral group exhibits the cyclic sieving phenomenon. More specifically, $R(w_0)$ possesses a natural cyclic action given by moving the first letter of a word to the end, and we show that the orbit structure of this action is encoded by the generating function for the major index on $R(w_0)$. Nous montrons que l'ensemble $R(w_0)$ des expressions réduites pour l'élément le plus long du groupe hyperoctaédral présente le phénomène cyclique de tamisage. Plus précisément, $R(w_0)$ possède une action naturelle cyclique donnée par le déplacement de la première lettre d'un mot vers la fin, et nous montrons que la structure d'orbite de cette action est codée par la fonction génératrice pour l'indice majeur sur $R(w_0)$.

scholarly journals Asymptotic Rational Approximation To Pi: Solution of an "Unsolved Problem'' Posed By Herbert Wilf

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AM,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Mark Daniel Ward
Keyword(s):  
Generating Function ◽  
Complex Analysis ◽  
Constant Term ◽  
Singularity Analysis ◽  
Square Root ◽  
International Audience ◽  
Regular Manner ◽  
Complex Valued ◽  
Branch Cuts ◽  
Transfer Theorems

International audience The webpage of Herbert Wilf describes eight Unsolved Problems. Here, we completely resolve the third of these eight problems. The task seems innocent: find the first term of the asymptotic behavior of the coefficients of an ordinary generating function, whose coefficients naturally yield rational approximations to $\pi$. Upon closer examination, however, the analysis is fraught with difficulties. For instance, the function is the composition of three functions, but the innermost function has a non-zero constant term, so many standard techniques for analyzing function compositions will completely fail. Additionally, the signs of the coefficients are neither all positive, nor alternating in a regular manner. The generating function involves both a square root and an arctangent. The complex-valued square root and arctangent functions each rely on complex logarithms, which are multivalued and fundamentally depend on branch cuts. These multiple values and branch cuts make the function extremely tedious to visualize using Maple. We provide a complete asymptotic analysis of the coefficients of Wilf's generating function. The asymptotic expansion is naturally additive (not multiplicative); each term of the expansion contains oscillations, which we precisely characterize. The proofs rely on complex analysis, in particular, singularity analysis (which, in turn, rely on a Hankel contour and transfer theorems).

scholarly journals On bijections between monotone rooted trees and the comb basis

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Fu Liu
Keyword(s):  
Lie Algebra ◽  
Rooted Trees ◽  
Close Connection ◽  
Free Lie Algebra ◽  
Nous Montrons ◽  
Il Y A ◽  
International Audience ◽  
Lie Brackets ◽  
Element Set

International audience Let $A$ be an $n$-element set. Let $\mathscr{L} ie_2(A)$ be the multilinear part of the free Lie algebra on $A$ with a pair of compatible Lie brackets, and $\mathscr{L} ie_2(A, i)$ the subspace of $\mathscr{L} ie_2(A)$ generated by all the monomials in $\mathscr{L} ie_2(A)$ with $i$ brackets of one type. The author and Dotsenko-Khoroshkin show that the dimension of $\mathscr{L} ie_2(A, i)$ is the size of $R_{A,i}$, the set of rooted trees on $A$ with $i$ decreasing edges. There are three families of bases known for $\mathscr{L} ie_2(A, i)$ the comb basis, the Lyndon basis, and the Liu-Lyndon basis. Recently, González D'León and Wachs, in their study of (co)homology of the poset of weighted partitions (which has close connection to $\mathscr{L} ie_2(A, i)$), asked whether there are nice bijections between $R_{A,i}$ and the comb basis or the Lyndon basis. We give a natural definition for " nice bijections " , and conjecture that there is a unique nice bijection between $R_{A,i}$ and the comb basis. We show the conjecture is true for the extreme cases where $i=0$, $n−1$. Soit $A$ un ensemble à $n$ éléments. Soit $\mathscr{L} ie_2(A)$ la partie multilinéaire de l'algèbre de Lie libre sur $A$ avec une paire de crochets de Lie compatibles et $\mathscr{L} ie_2(A, i)$ le sous-espace de$\mathscr{L} ie_2(A)$ généré par tous les monômes en $\mathscr{L} ie_2(A)$ avec $i$ supports d'un même type. L'auteur et Dotsenko-Khoroshkin montrent que la dimension de $\mathscr{L} ie_2(A, i)$ est la taille de la $R_{A,i}$, l'ensemble des arbres enracinés sur $A$ avec $i$ arêtes décroissantes. Il y a trois familles de bases connues pour $\mathscr{L} ie_2(A, i)$ : la base de peigne, la base Lyndon, et la base Liu-Lyndon. Récemment, Gonzalez, D' Léon et Wachs, dans leur étude de (co)-homologie de la poset des partitions pondérés, ont demandé si il y a des bijections jolies entre$R_{A,i}$, et la base de peigne ou la base Lyndon. Nous donnons une définition naturelle de "bijection jolie " , et un conjecture qu'il y a une seule bijection jolie entre $R_{A,i}$, et la base de peigne. Nous montrons que la conjecture est vraie pour les cas extrêmes: $i = 0$, et $n − 1$.

scholarly journals Demazure crystals and the energy function

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Anne Schilling ◽  
Peter Tingley
Keyword(s):  
Energy Function ◽  
Tensor Products ◽  
Macdonald Polynomials ◽  
Close Connection ◽  
Whittaker Functions ◽  
Nous Obtenons ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Demazure Character ◽  
Demazure Crystals

International audience There is a close connection between Demazure crystals and tensor products of Kirillov–Reshetikhin crystals. For example, certain Demazure crystals are isomorphic as classical crystals to tensor products of Kirillov–Reshetikhin crystals via a canonically chosen isomorphism. Here we show that this isomorphism intertwines the natural affine grading on Demazure crystals with a combinatorially defined energy function. As a consequence, we obtain a formula of the Demazure character in terms of the energy function, which has applications to nonsymmetric Macdonald polynomials and $q$-deformed Whittaker functions. Les cristaux de Demazure et les produits tensoriels de cristaux Kirillov–Reshetikhin sont étroitement liés. Par exemple, certains cristaux de Demazure sont isomorphes, en tant que cristaux classiques, à des produits tensoriels de cristaux Kirillov–Reshetikhin via un isomorphisme que l'on peut choisir canoniquement. Ici, nous montrons que cet isomorphisme entremêle la graduation affine naturelle des cristaux de Demazure avec une fonction énergie définie combinatoirement. Comme conséquence, nous obtenons une formule pour le caractère de Demazure exprimée au moyen de la fonction énergie, avec des applications aux polynômes de Macdonald non symétriques et aux fonctions de Whittaker $q$-déformées.

scholarly journals The number of directed $k$-convex polyominoes

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Adrien Boussicault ◽  
Simone Rinaldi ◽  
Samanta Socci
Keyword(s):  
Asymptotic Behavior ◽  
Rational Function ◽  
Generating Function ◽  
Generating Functions ◽  
New Method ◽  
Comportement Asymptotique ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We present a new method to obtain the generating functions for directed convex polyominoes according to several different statistics including: width, height, size of last column/row and number of corners. This method can be used to study different families of directed convex polyominoes: symmetric polyominoes, parallelogram polyominoes. In this paper, we apply our method to determine the generating function for directed $k$-convex polyominoes.We show it is a rational function and we study its asymptotic behavior. Nous présentons une nouvelle méthode générique pour obtenir facilement et rapidement les fonctions génératrices des polyominos dirigés convexes avec différentes combinaisons de statistiques : hauteur, largeur, longueur de la dernière ligne/colonne et nombre de coins. La méthode peut être utilisée pour énumérer différentes familles de polyominos dirigés convexes: les polyominos symétriques, les polyominos parallélogrammes. De cette façon, nouscalculons la fonction génératrice des polyominos dirigés $k$-convexes, nous montrons qu’elle est rationnelle et nous étudions son comportement asymptotique.

scholarly journals Congruence successions in compositions

2014 ◽  
Vol Vol. 16 no. 1 (Combinatorics) ◽  
Author(s):  
Toufik Mansour ◽  
Mark Shattuck ◽  
Mark Wilson
Keyword(s):  
General Formula ◽  
Generating Function ◽  
Asymptotic Estimate ◽  
International Audience ◽  
Limiting Case ◽  
Positive Integers

Combinatorics International audience A composition is a sequence of positive integers, called parts, having a fixed sum. By an m-congruence succession, we will mean a pair of adjacent parts x and y within a composition such that x=y(modm). Here, we consider the problem of counting the compositions of size n according to the number of m-congruence successions, extending recent results concerning successions on subsets and permutations. A general formula is obtained, which reduces in the limiting case to the known generating function formula for the number of Carlitz compositions. Special attention is paid to the case m=2, where further enumerative results may be obtained by means of combinatorial arguments. Finally, an asymptotic estimate is provided for the number of compositions of size n having no m-congruence successions.

scholarly journals Macdonald polynomials at $t=q^k$

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jean-Gabriel Luque
Keyword(s):  
Macdonald Polynomials ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We investigate the homogeneous symmetric Macdonald polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ for the specialization $t=q^k$. We show an identity relying the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ and $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. As a consequence, we describe an operator whose eigenvalues characterize the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous nous intéressons aux propriétés des polynômes de Macdonald symétriques $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ pour la spécialisation $t=q^k$. En particulier nous montrons une égalité reliant les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ et $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous en déduisons la description d'un opérateur dont les valeurs propres caractérisent les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$.

scholarly journals Counting occurrences for a finite set of words: an inclusion-exclusion approach

2007 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AH,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Frédérique Bassino ◽  
Julien Clément ◽  
J. Fayolle ◽  
P. Nicodème
Keyword(s):  
Generating Function ◽  
Exclusion Principle ◽  
Complete Proof ◽  
Detailed Proof ◽  
Finite Set ◽  
International Audience ◽  
The One ◽  
Maple Package

International audience In this paper, we give the multivariate generating function counting texts according to their length and to the number of occurrences of words from a finite set. The application of the inclusion-exclusion principle to word counting due to Goulden and Jackson (1979, 1983) is used to derive the result. Unlike some other techniques which suppose that the set of words is reduced (<i>i..e.</i>, where no two words are factor of one another), the finite set can be chosen arbitrarily. Noonan and Zeilberger (1999) already provided a MAPLE package treating the non-reduced case, without giving an expression of the generating function or a detailed proof. We give a complete proof validating the use of the inclusion-exclusion principle and compare the complexity of the method proposed here with the one using automata for solving the problem.

scholarly journals Statistics on Lattice Walks and q-Lassalle Numbers

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Lenny Tevlin
Keyword(s):  
Positive Integer ◽  
Generating Function ◽  
Catalan Numbers ◽  
Binomial Coefficients ◽  
Integer Coefficients ◽  
Major Index ◽  
Lattice Walks ◽  
International Audience ◽  
The Difference ◽  
Positive Integers

International audience This paper contains two results. First, I propose a $q$-generalization of a certain sequence of positive integers, related to Catalan numbers, introduced by Zeilberger, see Lassalle (2010). These $q$-integers are palindromic polynomials in $q$ with positive integer coefficients. The positivity depends on the positivity of a certain difference of products of $q$-binomial coefficients.To this end, I introduce a new inversion/major statistics on lattice walks. The difference in $q$-binomial coefficients is then seen as a generating function of weighted walks that remain in the upper half-plan. Cet document contient deux résultats. Tout d’abord, je vous propose un $q$-generalization d’une certaine séquence de nombres entiers positifs, liés à nombres de Catalan, introduites par Zeilberger (Lassalle, 2010). Ces $q$-integers sont des polynômes palindromiques à $q$ à coefficients entiers positifs. La positivité dépend de la positivité d’une certaine différence de produits de $q$-coefficients binomial.Pour ce faire, je vous présente une nouvelle inversion/major index sur les chemins du réseau. La différence de $q$-binomial coefficients est alors considérée comme une fonction de génération de trajets pondérés qui restent dans le demi-plan supérieur.

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