Linear Systems on Tropical Curves

International audience A tropical curve $\Gamma$ is a metric graph with possibly unbounded edges, and tropical rational functions are continuous piecewise linear functions with integer slopes. We define the complete linear system $|D|$ of a divisor $D$ on a tropical curve $\Gamma$ analogously to the classical counterpart. We investigate the structure of $|D|$ as a cell complex and show that linear systems are quotients of tropical modules, finitely generated by vertices of the cell complex. Using a finite set of generators, $|D|$ defines a map from $\Gamma$ to a tropical projective space, and the image can be modified to a tropical curve of degree equal to $\mathrm{deg}(D)$. The tropical convex hull of the image realizes the linear system $|D|$ as a polyhedral complex. Une courbe tropicale $\Gamma$ est un graphe métrique pouvant contenir des arêtes infinies, et une fonction rationnelle tropicale est une fonction continue linéaire par morceaux à pentes entières. Le système linéaire complet $|D|$ d'un diviseur $D$ sur une courbe tropicale $\Gamma$ est défini de façon analogue au cas classique. Nous étudions la structure de $|D|$ en tant que complexe cellulaire et montrons que les systèmes linéaires sont des quotients de modules tropicaux engendrés par un nombre fini de sommets du complexe. Etant donné un ensemble fini de générateurs, $|D|$ définit une application de $\Gamma$ vers un espace projectif tropical, dont l'image peut être modifiée en une courbe tropicale de degré égal à $\mathrm{deg}(D)$. L'enveloppe convexe tropicale de l'image réalise le système linéaire $|D|$ en tant que complexe polyédral.