Construction of an Effective Preconditioner for the Even-odd Splitting of Cubic Spline Wavelets

In this study, the method for decomposing splines of degree m and smoothness C^m-1 into a series of wavelets with zero moments is investigated. The system of linear algebraic equations connecting the coefficients of the spline expansion on the initial scale with the spline coefficients and wavelet coefficients on the embedded scale is obtained. The originality consists in the application of some preconditioner that reduces the system to a simpler band system of equations. Examples of applying the method to the cases of first-degree spline wavelets with two first zero moments and cubic spline wavelets with six first zero moments are presented. For the cubic case after splitting the system into even and odd rows, the resulting matrix acquires a seven-diagonals form with strict diagonal dominance, which makes it possible to apply an effective sweep method to its solution

Estimates for solutions of systems of linear equations with circulant matrices

In the present paper we consider the problem to estimate a solution of the system of equations with a circulant matrix in uniform norm. We give the estimate for circulant matrices with diagonal dominance. The estimate is sharp. Based on this result and an idea of decomposition of the matrix into a product of matrices associated with factorization of the characteristic polynomial, we propose an estimate for any circulant matrix.

Special adaptive grids and Runge - Richardson correction in problems with layers

При решении задач с пограничными и внутренними слоями на адаптивных сетках весьма желательно пользоваться разностными схемами, которые имеют достаточно хорошую точность и сходятся равномерно по малому параметру при стремлении шагов сетки к нулю. Однако эти требования оказываются противоречивыми: схемы высокой точности не сходятся равномерно, а равномерно сходящиеся схемы имеют обычно лишь первый порядок точности. Тем не менее существует уникальная возможность разрешить это противоречие, повышая порядок точности путем применения экстраполяционных поправок Рунге-Ричардсона, представляющих собой линейные комбинации разностных решений на вложенных сетках. В данной работе на примере нескольких употребительных разностных схем изучается эффективность такого подхода к расчетам, полученным на адаптивных сетках, явно задаваемых специальными координатными преобразованиями. Исследуются две схемы противопотокового типа с диагональным преобладанием, равномерно сходящиеся, в сравнении с аналогом схемы с центральной разностью, не имеющей диагонального преобладания и не сходящейся равномерно. Кроме простых поправок применяются также двукратные поправки, еще более повышающие порядок точности результирующих решений It is highly desirable using difference schemes with high accuracy and uniform convergence in a small parameter as the grid steps tend to zero for solving the problems with both boundary and interior layers. However, these requirements turn out to be contradictory: highly-accurate schemes may not converge uniformly, and uniformly converging schemes usually have only the first order of accuracy. Nevertheless, there is a unique opportunity to resolve this contradiction by increasing the order of accuracy by applying the Richardson-Runge extrapolation corrections, which are linear combinations of difference solutions on nested grids. In this paper, using the example of several common difference schemes, we study the efficiency of such approach for calculations obtained on adaptive grids that are explicitly specified by special coordinate transformations. Two diagonal-dominated upstream-type uniformly converging schemes are investigated. They are compared with an analogue of the scheme with central difference that does not have a diagonal dominance and does not converge uniformly. In addition to simple corrections, double corrections are also used, which further increase the order of accuracy of the resulting solutions

Convergence behavior of popular schemes in case of calculating on adaptive grids problems with layers

Проведено сравнение качества решений модельного уравнения второго порядка с малым параметром, полученных по трем различным разностным схемам на специальных адаптивных сетках, явно задаваемых координатным преобразованием, а также на равномерных сетках в новых переменных, соответствующих этому преобразованию. Исследуются схемы второго порядка точности с диагональным преобладанием и без него и простейшая противопотоковая схема. На основе оценок погрешностей сделаны прогнозы относительно свойств решений, подтвержденные анализом и численными экспериментами. Показано, что схема второго порядка аппроксимации с диагональным преобладанием сходится равномерно по малому параметру со вторым порядком лишь в частном случае, когда коэффициент при старшей производной мал только в слое; если же он мал также и вне слоя, порядок сходимости первый. Установлено также, что схема без диагонального преобладания имеет существенно более качественные решения без осцилляций в новых переменных на равномерной сетке, чем в соответствующих им исходных физических координатах. В противоположность ей схемы с диагональным преобладанием не чувствительны к выбору системы координат. The paper compares solution quality to some model second- order equation with a small parameter obtained through three different schemes both on special adaptive grids specified explicitly by coordinate transformations eliminating layers and on uniform grids in a new coordinate related to the transformations. The schemes up to second order in physical and transformation variables both with a diagonal and not diagonal dominance and the simplest counter-flow scheme are analyzed. Predictions of a solution behavior based on estimates of solution errors are described, which are confirmed by numerical experiments and proofs. It is established, in particular, that the scheme of the second order with a diagonal dominance converges uniformly if the coefficient before the second derivative is small at the points of the boundary layer only. It was also demonstrated for the schemes without a diagonal dominance, mach better solutions without oscillations are obtained on uniform grids in new variables than on corresponding adaptive grids in the original physical coordinates.