Convergence behavior of popular schemes in case of calculating on adaptive grids problems with layers

Проведено сравнение качества решений модельного уравнения второго порядка с малым параметром, полученных по трем различным разностным схемам на специальных адаптивных сетках, явно задаваемых координатным преобразованием, а также на равномерных сетках в новых переменных, соответствующих этому преобразованию. Исследуются схемы второго порядка точности с диагональным преобладанием и без него и простейшая противопотоковая схема. На основе оценок погрешностей сделаны прогнозы относительно свойств решений, подтвержденные анализом и численными экспериментами. Показано, что схема второго порядка аппроксимации с диагональным преобладанием сходится равномерно по малому параметру со вторым порядком лишь в частном случае, когда коэффициент при старшей производной мал только в слое; если же он мал также и вне слоя, порядок сходимости первый. Установлено также, что схема без диагонального преобладания имеет существенно более качественные решения без осцилляций в новых переменных на равномерной сетке, чем в соответствующих им исходных физических координатах. В противоположность ей схемы с диагональным преобладанием не чувствительны к выбору системы координат. The paper compares solution quality to some model second- order equation with a small parameter obtained through three different schemes both on special adaptive grids specified explicitly by coordinate transformations eliminating layers and on uniform grids in a new coordinate related to the transformations. The schemes up to second order in physical and transformation variables both with a diagonal and not diagonal dominance and the simplest counter-flow scheme are analyzed. Predictions of a solution behavior based on estimates of solution errors are described, which are confirmed by numerical experiments and proofs. It is established, in particular, that the scheme of the second order with a diagonal dominance converges uniformly if the coefficient before the second derivative is small at the points of the boundary layer only. It was also demonstrated for the schemes without a diagonal dominance, mach better solutions without oscillations are obtained on uniform grids in new variables than on corresponding adaptive grids in the original physical coordinates.