CABARET scheme on moving grids for two-dimensional equations of gas dynamics and dynamic elasticity

Схема КАБАРЕ, являющаяся представителем семейства балансно-характеристических методов, широко используется при решении многих задач для систем дифференциальных уравнений гиперболического типа в эйлеровых переменных. Возрастающая актуальность задач взаимодействия деформируемых тел с потоками жидкости и газа требует адаптации этого метода на лагранжевы и смешанные эйлерово-лагранжевы переменные. Ранее схема КАБАРЕ была построена для одномерных уравнений газовой динамики в массовых лагранжевых переменных, а также для трехмерных уравнений динамической упругости. В первом случае построенную схему не удалось обобщить на многомерные задачи, а во втором — использовался необратимый по времени алгоритм передвижения сетки. В данной работе представлено обобщение метода КАБАРЕ на двумерные уравнения газовой динамики и динамической упругости в смешанных эйлерово-лагранжевых и лагранжевых переменных. Построенный метод является явным, легко масштабируемым и обладает свойством временн´ой обратимости. Метод тестируется на различных одномерных и двумерных задачах для обеих систем уравнений (соударение упругих тел, поперечные колебания упругой балки, движение свободной границы идеального газа). The conservative-characteristic CABARET scheme is widely used in solving many problems for systems of differential equations of hyperbolic type in Euler variables. The increasing urgency of the problems of interaction of deformable bodies with liquid and gas flows requires the adaptation of this method to Lagrangian and arbitrary Lagrangian-Eulerian variables. Earlier, the CABARET scheme was constructed for one-dimensional equations of gas dynamics in mass Lagrangian variables, as well as for three-dimensional equations of dynamic elasticity. In the first case, the constructed scheme could not be generalized to multidimensional problems, and in the second, a time-irreversible grid movement algorithm was used. This paper presents a generalization of the CABARET method to two-dimensional equations of gas dynamics and dynamic elasticity in arbitrary Lagrangian-Eulerian and Lagrangian variables. The constructed method is explicit, easily scalable, and has the property of temporal reversibility. The method is tested on various one-dimensional and two-dimensional problems for both systems of equations (collision of elastic bodies, transverse vibrations of an elastic beam, motion of the free boundary of an ideal gas).

CABARET scheme with improved dispersion properties for systems of linear hyperbolic-type differential equations

Предложен балансно-характеристический метод решения систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа, обладающий четвертым порядком аппроксимации на равномерных сетках и вторым порядком и улучшенными дисперсионными свойствами на неравномерных сетках. Метод основан на известной схеме КАБАРЕ, балансные фазы которой модифицированы путем добавления антидисперсионных членов особого вида. Ранее метод, обладающий схожими свойствами, предлагался только для простейшего одномерного линейного уравнения переноса. Приведенная модификация схемы позволяет улучшить дисперсионные свойства переноса сразу всех инвариантов Римана рассматриваемой системы уравнений. Схема бездиссипативна при отключенных процедурах монотонизации и устойчива при числах Куранта CFL ≤ 1. Точность метода и его порядок сходимости продемонстрированы на серии расчетов задачи о переносе волны, промодулированной гауссианом, на последовательности сгущающихся сеток. Предложенный метод планируется использовать в качестве основы для построения схемы КАБАРЕ с улучшенными дисперсионными свойствами для систем нелинейных дифференциальных уравнений. A conservative-characteristic method to solve systems of linear hyperbolic-type partial differential equations is proposed. This method has the fourth order of approximation on uniform grids and the second approximation order and improved dispersion properties on non-uniform grids. The proposed method is based on the well-known CABARET scheme whose conservative phases are modified by adding anti-dispersive terms of a special type. Previously, a method with similar properties was proposed only for the simplest one-dimensional linear advection equation. The modification of the scheme allows us to improve the dispersion properties of the advection for all Riemann invariants of the system of equations under consideration at once. The scheme is non-dissipative when the monotonization procedures are not used and is stable at Courant numbers CFL ≤ 1. The accuracy of the method and its order of convergence are shown in a series of solving the problem of advection of a wave modulated by a Gaussian on a sequence of condensing grids. The proposed method is planned to be used as a basis for constructing a CABARET scheme with improved dispersion properties for systems of nonlinear differential equations.