Parabolic convergence regions of branched continued fractions of the special form

Using the criterion of convergence of branched continued fractions of the special form with positive elements, effective sufficient criteria of convergence for these fractions are established. To study the parabolic regions of convergence, the element regions and value regions technique was used. In particular, half-planes are considered as value regions. A multidimensional analogue of Tron's twin convergence regions for branched continued fractions of the special form is established. The obtained results made it possible to establish the conditions for the convergence of the multidimensional $S$-fractions with independent variables.

Characterizations of Herglotz–Nevanlinna Functions Using Positive Semi-Definite Functions and the Nevanlinna Kernel in Several Variables

In this paper, we give several characterizations of Herglotz–Nevanlinna functions in terms of a specific type of positive semi-definite functions called Poisson-type functions. This allows us to propose a multidimensional analogue of the classical Nevanlinna kernel and a definition of generalized Nevanlinna functions in several variables. Furthermore, a characterization of the symmetric extension of a Herglotz–Nevanlinna function is also given. The subclass of Loewner functions is discussed as well, along with an interpretation of the main result in terms of holomorphic functions on the unit polydisk with non-negative real part.

Recurrence relations for the sections of the generating series of the solution to the multidimensional difference equation

In this paper, we study the sections of the generating series for solutions to a linear multidimensional difference equation with constant coefficients and find recurrent relations for these sections. As a consequence, a multidimensional analogue of Moivre's theorem on the rationality of sections of the generating series depending on the form of the initial data of the Cauchy problem for a multidimensional difference equation is proved. For problems on the number of paths on an integer lattice, it is shown that the sections of their generating series represent the well-known sequences of polynomials (Fibonacci, Pell, etc.) with a suitable choice of steps.

The Choice of Intermediary When Solving the First Positional Tasks

Discussed question choice of an specie intermediary when solving the first positional tasks. The simplicity of constructive algorithm task solving and its analytic implementations with applied tasks solving using computers depends on the quality of the selection intermediary. It is shown that the complexity of tasks depends on characteristics data of the intersecting forms. The simplification of the solution can only be achieved by disintegration Выбор вида посредника при решении позицион- ных задач начертательной геометрии представляет собой творческую часть плана их решения. Критерием качества выбора считается простота графической реализации алгоритма решения задачи. В любом учебнике начертательной геометрии при описании алгоритма построения на чертеже Монжа точек пересечения прямой линии с конической по- верхностью объясняется целесообразность заключе- ния прямой во вспомогательную плоскость общего положения, проходящую через вершину данной ко- нической поверхности. Использование такой пло- скости существенно упрощает алгоритм решения за счет замены трудоемких построений лекальной кри- вой сечения на построение образующих конической поверхности. Заметим, что такой подход оправдан лишь в том случае, если направляющей конической поверхности является плоская кривая. Как правило, в качестве посредника при решении первой основной позиционной задачи используют- ся проецирующие плоскости и цилиндрические по- верхности. Это объясняется следующими двумя при- чинами: 1) системностью выбора вида посредника; 2) универсальностью и простотой графического ал- горитма решения задачи. Системность [4] в выборе посредника заключа- ется в том, что проецирующие плоскости и цилин- дрические поверхности соответствуют как графиче- скому, так и аналитическому заданию кривой линии. Поэтому, с одной стороны, корректность графических построений и результата решения можно контроли- ровать аналитическими выкладками, а с другой сто- роны, конструктивный алгоритм решения позволя- ет выбрать рациональную ему аналитическую реа- лизацию, что особенно важно: а) при решении ее многомерного аналога; б) при их обобщении для решения прикладных задач с участием технических кривых и поверхностей; of the line of the intersection of data surface with the intermediary. Conditions of disintegration formulated which depend on the characteristics of the intersecting forms and their of mutual position. It is proposed control the correctness of graphic plots and the results of the decision of the calculations analytical. On the other hand, a constructive algorithm for the solution allows you to choose rational him analytical implementation, which is especially important: a) when solving her the multidimensional analogue; b) their generalization to solve applied problems involving technical curves and surfaces; c) identify and establish interdisciplinary links with taking into account of the modern requirements.