Qualitative Analysen und Interpretationen eines Problembearbeitungsprozesses – Ein Vergleich verschiedener Ansätze

Im vorliegenden Beitrag wird der Problemlöseprozess eines Sechstklässlers zur sogenannten Sieben-Tore-Aufgabe analysiert. Dieser Prozess wird mittels sechs unterschiedlicher qualitativer Ansätze analysiert und interpretiert. Unter den Ansätzen finden sich unter anderem Episodeneinteilungen, Strategiebetrachtungen und die Identifikation kreativen Verhaltens. Mittels dieser Analysen soll das Potenzial der einzelnen methodischen Ansätze für die Analyse des Prozesses sowie die unterschiedlichen Erkenntnisse im Hinblick auf identisches Beobachtungsmaterial dargestellt werden.

Die Rolle des Verstehens beim bedeutungsvollen Lernen

Die Entwicklung des Denkens und Verstehens ist das zentrale Ziel des Unterrichtens in allen Schulfächern. In der Mathematik bedeutet es das Entwickeln des logischen, kreativen und akkurat Denkens. Die Denkformen können sich jedoch nicht autonom entwickeln, sondern sie stützen sich auf früheres Wissen, Können und Erfahrungen, d.h. Verstehen. Denken und Verstehen formen ein komplementäres Paar, sie sind die zentrale Aktivität und Resultat des mathematischen Lernens. Die Entwicklung des Verstehens bedeutet die zunehmende Beherrschung von Verallgemeinerungen und Strukturen. Anderseits ist das Verstehen nicht nur Hintergrund und Werkzeug für das Denken, es hat auch mehrere funktionale Rollen. Dann Verstehen bedeutet z.B. die Bearbeitung der Interpretationen und Synthesen. In den Lernumgebungen entwickeln sich verschiedene Aspekte des Denkens, Problemlösens und Verstehens zu einem unentwirrbaren Knäuel, in dem es verschiedene Funktionen gibt. Hier wird das Verstehen innerhalb eines bedeutungsvollen Lernmodells betrachtet, in dem alle Formen des Verstehens ihre eigene Aufgabe haben.

Seminarkonzept zur Förderung der Problemlösekompetenz von Lehramtsstudierenden unter besonderer Berücksichtigung der Metakognition

Beim Lernen des mathematischen Problemlösens spielt die Dokumentation des Bearbeitungsprozesses durch die Lernenden eine große Rolle. Neben der Diagnosemöglichkeit eröffnet sich durch das Problemlösen und die damit verbundene Dokumentation auch die Chance zur Reflexion über das eigene Denken und Vorgehen. Lernende können so die eigenen Strategien, Denkvorgänge und Fehler bewusst erfahren und dadurch zu einem planvolleren Vorgehen und einer zielgerichteteren Steuerung des eigenen Problemlöseprozesses gelangen. Ziel eines Seminars für Lehramtsstudierende im zweiten Mastersemester war es, ihre Problemlösefähigkeit mit besonderem Fokus auf die metakognitiven Fähigkeiten durch u. a. eine Dokumentation des Vorgehens zu fördern. Im Rahmen eines quasi-experimentellen Experimental-Kontroll­gruppendesigns mit Prä-Postmessung wurden die Studierenden alle zwei Wochen zur Bearbeitung einer Problemlöseaufgabe und Dokumentation des eigenen Bearbeitungsprozesses aufgefordert. Zusätzlich sollten sie Bearbeitungen der gleichen Problemlöseaufgabe von anderen Lernenden nachvollziehen und eine Rückmeldung hierzu schreiben. Durch die Reflexion des eigenen Bearbeitungsprozesses, entsprechende Rückmeldungen durch die Dozierenden und die Reflexion fremder Bearbeitungsprozesse wurde versucht, die Problemlösekompetenz zu fördern und die Einstellung zum Problemlösen zu beeinflussen.

Denken in der Politik

In der hier vorgestellten Studie wird untersucht, wie neun Lehrerinnen aus der Primarstufe problemorientierten Mathematikunterricht gestalten. Hierfür werden sowohl ihre Auswahl an problemhaltigen Situationen als auch ihr Steuerungsverhalten in videografiertem Unterricht analysiert. Zusätzlich werden die Beliefs dieser Lehrerinnen in Bezug auf die Mathematik auf der Basis von Interviews rekonstruiert. Abschließend wird nach Zusammenhängen der Unterrichtsgestaltung und der Beliefs geschaut, wobei sich ein klares Muster ergibt: Lehrerinnen, denen ein problem-solving view zugeschrieben wird, betonen Ideen und Herangehensweisen ihrer Schüler*innen viel stärker als Lehrerinnen, denen ein instrumentalist view zugeschrieben wird. Diese Unterschiede betreffen vor allem abschließende Sicherungs- bzw. Reflexionsphasen der beobachteten Stunden.

Mathematisches Problemlösen mit Strategieschlüsseln: Identifikation von Mustern bei deren Verwendung

Der Einsatz von Hilfekarten ist insbesondere in der Grundschule eine weit verbreitete Differenzierungsmöglichkeit. Für deren Verwendung beim Problemlösen im Mathematikunterricht sind dazu bislang kaum Angebote vorhanden. Deswegen wurden für das mathematische Problemlösen im Unterricht allgemeine, strategische Hilfekarten – sogenannte Strategieschlüssel – entwickelt. Sie sollen als Impuls dienen, um Hürden im Problembearbeitungsprozess zu überwinden. Für diesen Beitrag wurden 16 Dritt- und Viertklässler in aufgabenbasierten Interviews videografiert. Das Videomaterial wurde vierfach kodiert, indem Problemlösestrategien, Phasen des Problembearbeitungsprozesses, Impulse durch die Strategieschlüssel und die Schülerlösung erfasst wurden. Anhand von mehreren Fallbeispielen werden Muster aufgezeigt, die bei den Schülerinnen und Schülern während ihrer Arbeit mit den Strategieschlüsseln identifiziert werden konnten. Es wird erkennbar, welchen Einfluss solche Schlüssel auf den Problembearbeitungsprozess haben und welches Potential diese Art der Hilfekarten für den Mathematikunterricht bieten.

Herausfordernde Aufgaben – 13 Jahre Zwergen-Mathematik-Olympiade

Die Zwergen-Mathematik-Olympiade [ZMO] ist über 13 Jahre hinweg mit insgesamt 2102 Drittklässler*innen (~49,43% Mädchen) im Rahmen von universitären Seminaren zur Mathematischen Begabung durchgeführt worden. Der nahezu erreichten Geschlechterparität liegt die Vorgabe zugrunde, dass pro teilnehmender Klasse ein Mädchen sowie ein Junge als deren Mathematikvertretung zur ZMO entsandt werden können. Die in ihren Schwierigkeitsgraden unterschiedlich herausfordernden Aufgaben entfallen auf 7 Rubriken: R1 einfache arithmetische Einstiegsaufgaben, R2 & R3 anspruchsvollere Aufgaben zu arithmetischen Fähigkeiten, R4 kombinatorisch lösbare Aufgaben, R5 Textaufgaben, R6 Aufgaben zu Mustern und geometrischen Figuren, R7 Ausstiegsaufgaben. Die Seminarleistung liegt, basierend auf Recherchen und Diskussionen zu einschlägiger Literatur, in der Erarbeitung von Aufgabensätzen und der Auswertung mit abschließender Bepunktung der Aufgabenbearbeitungen. In Übereinstimmung mit bekannten Befunden zeigt sich eine Tendenz, dass die teilnehmenden Jungen insbesondere in der Leistungsspitze den teilnehmenden Mädchen (etwas) überlegen sind. Über eine Analyse der Aufgaben und deren Bearbeitungen hinaus ist eine Schlüsselfrage für die Zukunft, welche kognitiven Fähigkeiten Einflussfaktoren für erfolgreiches mathematisches Problemlösen sind, um diese dann gezielt im Mathematikunterricht adressieren zu können. Bislang gibt es dazu erst magere Ansätze.

Entwicklung einer Maßnahme zur Förderung der Problemlösekompetenz von Studienanfängern der Mathematik

An der Universität Duisburg-Essen wurde eine Fördermaßnahme entwickelt, die Studienanfänger*innen des Fachstudiengangs sowie des Lehramts für Gymnasien und Gesamtschulen helfen soll, problemhaltige Übungsaufgaben erfolgreich zu bearbeiten. Nach einer kurzen Zusammenfassung der wichtigsten Begriffe werden zwei verschiedene Arten von Förderkonzepten vorgestellt: Zum einen solche, die das Erlernen und Beherrschen von Heurismen in den Vordergrund stellen, zum anderen solche, die ihren Fokus auf die Förderung von Selbstregulation bzw. Metakognition legen. Zuletzt werden die Rahmenbedingungen der Maßnahme präsentiert, unter denen eine Anpassung und Weiterentwicklung der bestehenden Konzepte stattgefunden hat.

Die Rückschauphase beim Lösen mathematischer Probleme

Der Phase Rückschau im Anschluss an die Problemlösebemühungen wird bei Pólya (1945), Schoenfeld (1985) oder Mason, Burton & Stacey (1982) eine große Bedeutung beigemessen. In der hier vorgestellten empirischen Erkundungsstudie in den Jahrgangsstufen 9 und 10 zeigt sich jedoch, dass eine solche Reflexion im gegenwärtigen gymnasialen Problemlöseunterricht teils vernachlässigt wird. In der Auswertung von 14 Doppelstunden sollen wichtige Komponenten des Lehrerhandelns während unterrichtlicher Rückschauen erfasst werden. Entsprechende Befunde dieser Erkundungsstudie werden hier vorgestellt und diskutiert.

Intuition beim mathematischen Problemlösen – Pilotierung einer empirischen Untersuchung zu ihrer Identifikation innerhalb der Sekundarstufe I

Der vorliegende Beitrag befasst sich mit der Identifikation intuitiven Verhaltens innerhalb mathematischer Problemlöseprozessen von Schüler*innen. Sowohl in der Kreativitätsforschung als auch innerhalb der Mathematikdidaktik wird vor allem begabten Schüler*innen ein solches Verhalten attestiert. Im Rahmen einer Pilotierung wurde dazu der Bearbeitungsprozess einer Schülerin zu einer bestimmten Problemaufgabe beobachtet und mit Hilfe eines darauffolgenden Einzelinterviews ausgewertet. Erste Ergebnisse lassen Ansätze eines intuitiven Verhaltens anhand von zuvor aufgestellten Indikatoren erkennen. Daran anknüpfend wird die Ausarbeitung und Präzisierung des Untersuchungsdesigns vorgestellt. Hierbei geht es insbesondere um mögliche Aufgabentypen, die intuitives Verhalten begünstigen könnten, und Erhebungsmethoden, mit denen man entsprechendes Verhalten erfassen kann.

Working backwards revisited – Facetten, Arten und Problemtypen

Rückwärtsarbeiten gilt als eine der ältesten heuristischen Strategien mit besonderer Bedeutung für die historische Entwicklung der Mathematik (Engel, 1998; Zimmermann, 1991). Auch heutzutage wird es als wichtiger Ansatz gesehen, der beispielsweise von Pólya (1967) als allgemeines Vorgehen beim mathematischen Problemlösen empfohlen wird, sofern es keinen speziellen Grund für ein anderes Prozedere gibt. In diesem Beitrag soll zunächst das Rückwärtsarbeiten bzw. die Analysis als heuristische Methode aus historischer Perspektive beleuchtet werden, wobei wir lediglich auf ausgewählte Aspekte eingehen können. Es schließen sich aktuelle mathematikdidaktische Überlegungen zum Rückwärtsarbeiten an, davon ausgehend können Aufgabentypen zum Rückwärtsarbeiten identifiziert und verschiedene Arten des Rückwärtsarbeitens bei der Auseinandersetzung mit diesen beschrieben werden.