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For a real number $β >1$, we say that a permutation $π$ of length $n$ is allowed (or realized) by the $β$-shift if there is some $x∈[0,1]$ such that the relative order of the sequence $x,f(x),\ldots,f^n-1(x)$, where $f(x)$ is the fractional part of $βx$, is the same as that of the entries of $π$ . Widely studied from such diverse fields as number theory and automata theory, $β$-shifts are prototypical examples of one-dimensional chaotic dynamical systems. When $β$ is an integer, permutations realized by shifts have been recently characterized. In this paper we generalize some of the results to arbitrary $β$-shifts. We describe a method to compute, for any given permutation $π$ , the smallest $β$ such that $π$ is realized by the $β$-shift.
Pour un nombre réel $β >1$, on dit qu'une permutation $π$ de longueur $n$ est permise (ou réalisée) par $β$-shift s'il existe $x∈[0,1]$ tel que l'ordre relatif de la séquence $x,f(x),\ldots,f^n-1(x)$, où $f(x)$ est la partie fractionnaire de $βx$, soit le même que celui des entrées de $π$ . Largement étudiés dans des domaines aussi divers que la théorie des nombres et la théorie des automates, les $β$-shifts sont des prototypes de systèmes dynamiques chaotiques unidimensionnels. Quand $β$ est un nombre entier, les permutations réalisées par décalages ont été récemment caractérisées. Dans cet article, nous généralisons certains des résultats au cas de $β$-shifts arbitraires. Nous décrivons une méthode pour calculer, pour toute permutation donnée $π$ , le plus petit $β$ tel que $π$ soit réalisée par $β$-shift.
Stochastic stability versus localization in one-dimensional chaotic dynamical systems