scholarly journals Root-theoretic Young Diagrams, Schubert Calculus and Adjoint Varieties

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Dominic Searles ◽  
Alexander Yong
Keyword(s):  
Conceptual Framework ◽  
Root System ◽  
Schubert Calculus ◽  
Young Diagrams ◽  
International Audience

International audience Root-theoretic Young diagrams are a conceptual framework to discuss existence of a root-system uniform and manifestly non-negative combinatorial rule for Schubert calculus. Our main results use them to obtain formulas for (co)adjoint varieties of classical Lie type. This case is the simplest after the previously solved (co)minuscule family. Yet our formulas possess both uniform and non-uniform features. Les diagrammes de Young racine-théoriques forment un cadre conceptuel qui permet de discuter l’existence de règles de calcul de Schubert explicitement non-négatives et uniformes sur les systèmes de racines. Notre principal résultat est leur utilisation pour obtenir des formules pour les variétés (co)adjointes de types classiques. C’est le cas le plus simple après celui la famille (co)minuscule, déjà résolue. Nos formules possèdent toutefois des propriétés uniformes et non-uniformes.

scholarly journals Young Diagrams and Intersection Numbers for Toric Manifolds associated with Weyl Chambers

10.37236/4307 ◽  
2015 ◽  
Vol 22 (2) ◽  
Author(s):  
Hiraku Abe
Keyword(s):  
Weyl Group ◽  
Root System ◽  
Ring Structure ◽  
Classical Type ◽  
Toric Manifold ◽  
Combinatorial Formula ◽  
Young Diagrams ◽  
Intersection Numbers ◽  
Toric Manifolds

We study intersection numbers of invariant divisors in the toric manifold associated with the fan determined by the collection of Weyl chambers for each root system of classical type and of exceptional type $G_2$. We give a combinatorial formula for intersection numbers of certain subvarieties which are naturally indexed by elements of the Weyl group. These numbers describe the ring structure of the cohomology of the toric manifold.

scholarly journals On the $H$-triangle of generalised nonnesting partitions

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Marko Thiel
Keyword(s):  
Root System ◽  
Cluster Complex ◽  
International Audience

International audience With a crystallographic root system $\Phi$ , there are associated two Catalan objects, the set of nonnesting partitions $NN(\Phi)$, and the cluster complex $\Delta (\Phi)$. These possess a number of enumerative coincidences, many of which are captured in a surprising identity, first conjectured by Chapoton. We prove this conjecture, and indicate its generalisation for the Fuß-Catalan objects $NN^{(k)}(\Phi)$ and $\Delta^{(k)}(\Phi)$, conjectured by Armstrong. A un système de racines cristallographique, on associe deux objets de Catalan: l’ensemble des partitions non-emboîtées $NN(\Phi)$, et le complexe d’amas$\Delta (\Phi)$. Ils possèdent de nombreuses coïncidences énumératives, plusieurs d’entre elles étant capturées dans une identité surprenante, conjecturée par Chapoton. Nous démontrons cette conjecture, et indiquons sa généralisation pour les objets de Fuß-Catalan $NN^{(k)}(\Phi)$ et $\Delta^{(k)}(\Phi)$, conjecturée par Armstrong.

scholarly journals $m$-noncrossing partitions and $m$-clusters

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Aslak Bakke Buan ◽  
Idun Reiten ◽  
Hugh Thomas
Keyword(s):  
Positive Integer ◽  
Root System ◽  
Cluster Algebra ◽  
Reflection Group ◽  
Catalan Number ◽  
Explicit Description ◽  
Noncrossing Partitions ◽  
Il Y A ◽  
International Audience ◽  
Exceptional Sequences

International audience Let $W$ be a finite crystallographic reflection group, with root system $\Phi$. Associated to $W$ there is a positive integer, the generalized Catalan number, which counts the clusters in the associated cluster algebra, the noncrossing partitions for $W$, and several other interesting sets. Bijections have been found between the clusters and the noncrossing partitions by Reading and Athanasiadis et al. There is a further generalization of the generalized Catalan number, sometimes called the Fuss-Catalan number for $W$, which we will denote $C_m(W)$. Here $m$ is a positive integer, and $C_1(W)$ is the usual generalized Catalan number. $C_m(W)$ counts the $m$-noncrossing partitions for $W$ and the $m$-clusters for $\Phi$. In this abstract, we will give an explicit description of a bijection between these two sets. The proof depends on a representation-theoretic reinterpretation of the problem, in terms of exceptional sequences of representations of quivers. Soit $W$ un groupe de réflexions fini et cristallographique, avec système de racines $\Phi$. Associé à $W$, il y a un entier positif, le nombre de Catalan généralisé, qui compte les amas dans l'algèbre amassée associée, les partitions non-croisées de $W$, et plusieurs autres ensembles intéressantes. Des bijections entre les amas et les partitions non-croisées ont été données par Reading et Athanasiadis et al. On peut encore généraliser le nombre de Catalan généralisé, obtenant le nombre Fuss-Catalan de $W$, que nous noterons $C_m(W)$. Ici $m$ est un entier positif, et $C_1(W)$ est le nombre Catalan généralisé standard. $C_m(W)$ compte les partitions $m$-non-croisées de $W$ et les $m$-amas de $\Phi$. Dans ce résumé, nous donnerons une bijection explicite entre ces deux ensembles. La démonstration dépend d'une réinterprétation des objets du point de vue des suites exceptionnelles de représentations de carquois.

scholarly journals On Schubert calculus in elliptic cohomology

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Cristian Lenart ◽  
Kirill Zainoulline
Keyword(s):  
Formal Group ◽  
Schubert Calculus ◽  
Elliptic Cohomology ◽  
Reduced Word ◽  
Combinatorial Result ◽  
International Audience ◽  
Schubert Classes ◽  
K Theory ◽  
Nous Utilisons ◽  
Group Law

International audience An important combinatorial result in equivariant cohomology and $K$-theory Schubert calculus is represented by the formulas of Billey and Graham-Willems for the localization of Schubert classes at torus fixed points. These formulas work uniformly in all Lie types, and are based on the concept of a root polynomial. We define formal root polynomials associated with an arbitrary formal group law (and thus a generalized cohomology theory). We usethese polynomials to simplify the approach of Billey and Graham-Willems, as well as to generalize it to connective $K$-theory and elliptic cohomology. Another result is concerned with defining a Schubert basis in elliptic cohomology (i.e., classes independent of a reduced word), using the Kazhdan-Lusztig basis of the corresponding Hecke algebra. Un résultat combinatoire important dans le calcul de Schubert pour la cohomologie et la $K$-théorie équivariante est représenté par les formules de Billey et Graham-Willems pour la localisation des classes de Schubert aux points fixes du tore. Ces formules sont uniformes pour tous les types de Lie, et sont basés sur le concept d’un polynôme de racines. Nous définissons les polynômes formels de racines associées à une loi arbitraire de groupe formel (et donc à une théorie de cohomologie généralisée). Nous utilisons ces polynômes pour simplifier les preuves de Billey et Graham-Willems, et aussi pour généraliser leurs résultats à la $K$-théorie connective et la cohomologie elliptique. Un autre résultat concerne la définition d’une base de Schubert dans cohomologie elliptique (c’est à dire, des classes indépendantes d’un mot réduit), en utilisant la base de Kazhdan-Lusztig de l’algèbre de Hecke correspondant.

scholarly journals Total positivity for the Lagrangian Grassmannian

2020 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 28th... ◽  
Author(s):  
Rachel Karpman
Keyword(s):  
Symplectic Form ◽  
Total Positivity ◽  
Combinatorial Structure ◽  
Schubert Varieties ◽  
Flag Varieties ◽  
Young Diagrams ◽  
Lagrangian Grassmannian ◽  
Planar Network ◽  
International Audience ◽  
Isotropic Subspaces

International audience The positroid decomposition of the Grassmannian refines the well-known Schubert decomposition, and has a rich combinatorial structure. There are a number of interesting combinatorial posets which index positroid varieties,just as Young diagrams index Schubert varieties. In addition, Postnikov’s boundary measurement map gives a family of parametrizations for each positroid variety. The domain of each parametrization is the space of edge weights of a weighted planar network. The positroid stratification of the Grassmannian provides an elementary example of Lusztig’s theory of total non negativity for partial flag varieties, and has remarkable applications to particle physics.We generalize the combinatorics of positroid varieties to the Lagrangian Grassmannian, the moduli space of maximal isotropic subspaces with respect to a symplectic form

scholarly journals Total positivity for cominuscule Grassmannians

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Thomas Lam ◽  
Lauren Williams
Keyword(s):  
Total Positivity ◽  
Pattern Avoidance ◽  
Young Diagrams ◽  
Negative Part ◽  
Schubert Cell ◽  
Combinatorial Objects ◽  
Preference Functions ◽  
International Audience ◽  
Orthogonal Grassmannians

International audience In this paper we explore the combinatorics of the non-negative part $(G/P)_{\geq 0}$ of a cominuscule Grassmannian. For each such Grassmannian we define Le-diagrams ― certain fillings of generalized Young diagrams which are in bijection with the cells of $(G/P)_{\geq 0}$. In the classical cases, we describe Le-diagrams explicitly in terms of pattern avoidance. We also define a game on diagrams, by which one can reduce an arbitrary diagram to a Le-diagram. We give enumerative results and relate our Le-diagrams to other combinatorial objects. Surprisingly, the totally non-negative cells in the open Schubert cell of the odd and even orthogonal Grassmannians are (essentially) in bijection with preference functions and atomic preference functions respectively. Dans cet article nous schtroumpfons la combinatoire de la partie non-négative $(G/P)_{\geq 0}$ d'une Grassmannienne cominuscule. Pour chaque Grassmannienne de ce type nous définissons les Le-diagrammes ― certains remplissages de diagrammes de Young généralisés en bijection avec les cellules de $(G/P)_{\geq 0}$. Dans les cas classiques, nous décrivons les Le-diagrammes explicitement en termes d'évitement de certains motifs. Aussi nous définissons un jeu sur les diagrammes, avec lequel on peut réduire un diagramme arbitraire à un Le-diagramme. Nous donnons les résultats énumératifs et nous relions nos Le-diagrammes à d'autres objets combinatoires. Étonnamment, les cellules non-négatives dans la cellule de Schubert ouverte des Grassmanniennes orthogonales impaires et paires sont essentiellement en bijection avec les fonctions de préférence et les fonctions de préférence atomiques.

scholarly journals Characters of symmetric groups in terms of free cumulants and Frobenius coordinates

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Maciej Dolega ◽  
Valentin Féray ◽  
Piotr Sniady
Keyword(s):  
Young Diagram ◽  
Symmetric Groups ◽  
Main Tool ◽  
Combinatorial Formula ◽  
Young Diagrams ◽  
Free Cumulants ◽  
International Audience

International audience Free cumulants are nice and useful functionals of the shape of a Young diagram, in particular they give the asymptotics of normalized characters of symmetric groups $\mathfrak{S}(n)$ in the limit $n \to \infty$. We give an explicit combinatorial formula for normalized characters of the symmetric groups in terms of free cumulants. We also express characters in terms of Frobenius coordinates. Our formulas involve counting certain factorizations of a given permutation. The main tool are Stanley polynomials which give values of characters on multirectangular Young diagrams. Les cumulants libres sont des fonctions agréables et utiles sur l'ensemble des diagrammes de Young, en particulier, ils donnent le comportement asymptotiques des caractères normalisés du groupe symétrique $\mathfrak{S}(n)$ dans la limite $n \to \infty$. Nous donnons une formule combinatoire explicite pour les caractères normalisés du groupe symétrique en fonction des cumulants libres. Nous exprimons également les caractères en fonction des coordonnées de Frobenius. Nos formules font intervenir le nombre de certaines factorisations d'une permutation donnée. L'outil principal est la famille de polynômes de Stanley donnant les valeurs des caractères sur les diagrammes de Young multirectangulaires.

scholarly journals On Kerov polynomials for Jack characters (extended abstract)

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Valentin Féray ◽  
Maciej Dołęga
Keyword(s):  
Symmetric Functions ◽  
Partial Result ◽  
Plancherel Measure ◽  
Jack Polynomials ◽  
Young Diagrams ◽  
Power Sum ◽  
International Audience ◽  
Random Young Diagrams

International audience We consider a deformation of Kerov character polynomials, linked to Jack symmetric functions. It has been introduced recently by M. Lassalle, who formulated several conjectures on these objects, suggesting some underlying combinatorics. We give a partial result in this direction, showing that some quantities are polynomials in the Jack parameter $\alpha$ with prescribed degree. Our result has several interesting consequences in various directions. Firstly, we give a new proof of the fact that the coefficients of Jack polynomials expanded in the monomial or power-sum basis depend polynomially in $\alpha$. Secondly, we describe asymptotically the shape of random Young diagrams under some deformation of Plancherel measure.

scholarly journals Combinatorial Formulas for Macdonald and Hall-Littlewood Polynomials

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Cristian Lenart
Keyword(s):  
Weyl Group ◽  
Type A ◽  
Macdonald Polynomials ◽  
Combinatorial Formula ◽  
Young Diagrams ◽  
Affine Weyl Group ◽  
Littlewood Polynomials ◽  
Combinatorial Formulas ◽  
International Audience ◽  
Type C

International audience A breakthrough in the theory of (type $A$) Macdonald polynomials is due to Haglund, Haiman and Loehr, who exhibited a combinatorial formula for these polynomials in terms of fillings of Young diagrams. Recently, Ram and Yip gave a formula for the Macdonald polynomials of arbitrary type in terms of the corresponding affine Weyl group. In this paper, we show that a Haglund-Haiman-Loehr type formula follows naturally from the more general Ram-Yip formula, via compression. Then we extend this approach to the Hall-Littlewood polynomials of type $C$, which are specializations of the corresponding Macdonald polynomials at $q=0$. We note that no analog of the Haglund-Haiman-Loehr formula exists beyond type $A$, so our work is a first step towards finding such a formula.

scholarly journals Flag Gromov-Witten invariants via crystals

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jennifer Morse ◽  
Anne Schilling
Keyword(s):  
Weyl Group ◽  
Type A ◽  
Schubert Calculus ◽  
Schur Function ◽  
Flag Varieties ◽  
Highest Weight ◽  
Affine Weyl Group ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Complete Flag

International audience We apply ideas from crystal theory to affine Schubert calculus and flag Gromov-Witten invariants. By defining operators on certain decompositions of elements in the type-$A$ affine Weyl group, we produce a crystal reflecting the internal structure of Specht modules associated to permutation diagrams. We show how this crystal framework can be applied to study the product of a Schur function with a $k$-Schur function. Consequently, we prove that a subclass of 3-point Gromov-Witten invariants of complete flag varieties for $\mathbb{C}^n$ enumerate the highest weight elements under these operators. Nous appliquons des idées provenant de la théorie des bases cristallines au calcul de Schubert affine et aux invariants de drapeaux de Gromov–Witten. Nous définissons des opérateurs sur certaines décompositions d’éléments de groupes de Weyl affines en type $A$ afin de construire une base cristalline encodant la structure interne des modules de Specht associés aux diagrammes de permutations. Nous montrons comment la structure de cristal permet d’étudier le produit d’une fonction de Schur avec une $k$-fonction de Schur. En conséquence, nous prouvons que la sous-classe des invariants de 3-points de Gromov–Witten d’une variété complète de drapeaux complets pour $\mathbb{C}^n$ énumère les éléments de poids maximaux pour ces opérateurs.

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