scholarly journals The $(m, n)$-rational $q, t$-Catalan polynomials for $m=3$ and their $q, t$-symmetry

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Ryan Kaliszewski ◽  
Huilan Li
Keyword(s):  
Nous Avons ◽  
Explicit Formula ◽  
Dyck Paths ◽  
International Audience

International audience We introduce a new statistic, skip, on rational $(3,n)$-Dyck paths and define a marked rank word for each path when $n$ is not a multiple of 3. If a triple of valid statistics (area; skip; dinv) are given, we have an algorithm to construct the marked rank word corresponding to the triple. By considering all valid triples we give an explicit formula for the $(m,n)$-rational $q; t$-Catalan polynomials when $m=3$. Then there is a natural bijection on the triples of statistics (area; skip; dinv) which exchanges the statistics area and dinv while fixing the skip. Thus we prove the $q; t$-symmetry of $(m,n)$-rational $q; t$-Catalan polynomials for $m=3$.. Nous introduisons une nouvelle statistique, le skip, sur les chemins de $(3,n)$-Dyck rationnels et définissons le mot de rang marqué pour chaque chemin quand $n$ n’est pas un multiple de 3. Si un triplet valide de statistiques (aire, skip, dinv) est donné, nous avons un algorithme pour construire le mot de rang marqué correspondant au triplet. En considérant tous les triplets valides, nous donnons une formule explicite pour les polynômes de $q; t$-Catalan $(m,n)$- rationnels quand $m=3$. Enfin, il existe une bijection naturelle sur les triplets de statistiques (aire, skip, dinv) qui échange les statistiques aires et dinv en conservant le skip. Ainsi, nous prouvons la $q; t$-symétrie des polynômes de $q; t$-Catalan $(m,n)$-rationnels pour $m=3$..

scholarly journals Area of Brownian Motion with Generatingfunctionology

2003 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AC,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Michel Nguyên Thê
Keyword(s):  
Brownian Motion ◽  
Random Walks ◽  
Generating Functions ◽  
Limit Distributions ◽  
Dyck Paths ◽  
Different Types ◽  
International Audience

International audience This paper gives a survey of the limit distributions of the areas of different types of random walks, namely Dyck paths, bilateral Dyck paths, meanders, and Bernoulli random walks, using the technology of generating functions only.

scholarly journals Instrumentation des activités des tuteurs à l’aide d’un système multi-agents d’analyse automatique des interactions

2011 ◽  
Vol Volume 14 - 2011 - Special... ◽  
Author(s):  
Ilham Oumaira ◽  
Rochdi Messoussi ◽  
Raja TOUAHNI
Keyword(s):  
Nous Avons ◽  
Social Cognitive ◽  
Adaptive System ◽  
Interaction Analysis ◽  
Interaction Data ◽  
Multi Agent System ◽  
Système Adaptatif ◽  
International Audience ◽  
Multi Agent ◽  
Multi Agents

International audience Research presented in this article is dedicated to the tutor instrumentation in distance collaborative learning situations. We are particularly interested in the reuse of interaction analysis indicators. In this paper, we present our system SYSAT; a multi-agent system for monitoring the activities of learners. The aim of SYSAT is to reuse indicators (social, cognitive, emotional ...) reported in the literature, in an open and adaptive system. We tested our system on the interaction data from two experiments conducted with two master students of the Ibn Tofail University. The article presents the results and discusses the prospects for Research. Ce travail s'inscrit dans le cadre des recherches sur les Environnements Informatiques pour l'Apprentissage Humain (EIAH), et plus particulièrement dans l’assistance du tuteur dans le suivi des apprenants lors des activités d’apprentissage collaboratives en ligne. Cet article décrit l’architecture du système SYSAT, un système multi-agents d’analyse automatique des interactions. L’objectif de SYSAT est de réutiliser les indicateurs (sociaux, cognitifs, affectifs…) rapportés dans la littérature, au sein d’un système adaptatif et ouvert. Nous avons testé notre système sur les données d’interactions issues de deux expérimentations menées avec les étudiants de deux masters à l’université Ibn Tofail. L’article présente les résultats obtenus et évoque les perspectives de recherche.

scholarly journals Constructing combinatorial operads from monoids

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Samuele Giraudo
Keyword(s):  
Rooted Trees ◽  
Parking Functions ◽  
Combinatorial Objects ◽  
Dyck Paths ◽  
International Audience ◽  
Motzkin Paths ◽  
Planar Rooted Trees

International audience We introduce a functorial construction which, from a monoid, produces a set-operad. We obtain new (symmetric or not) operads as suboperads or quotients of the operad obtained from the additive monoid. These involve various familiar combinatorial objects: parking functions, packed words, planar rooted trees, generalized Dyck paths, Schröder trees, Motzkin paths, integer compositions, directed animals, etc. We also retrieve some known operads: the magmatic operad, the commutative associative operad, and the diassociative operad.

scholarly journals An explicit formula for ndinv, a new statistic for two-shuffle parking functions

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Angela Hicks ◽  
Yeonkyung Kim
Keyword(s):  
Explicit Formula ◽  
Parking Functions ◽  
Recursive Definition ◽  
Classical Definition ◽  
Inversion Number ◽  
International Audience ◽  
New Interpretation ◽  
The One ◽  
Definition Of ◽  
New Statistics

International audience In a recent paper, Duane, Garsia, and Zabrocki introduced a new statistic, "ndinv'', on a family of parking functions. The definition was guided by a recursion satisfied by the polynomial $\langle\Delta_{h_m}C_p1C_p2...C_{pk}1,e_n\rangle$, for $\Delta_{h_m}$ a Macdonald eigenoperator, $C_{p_i}$ a modified Hall-Littlewood operator and $(p_1,p_2,\dots ,p_k)$ a composition of n. Using their new statistics, they are able to give a new interpretation for the polynomial $\langle\nabla e_n, h_j h_n-j\rangle$ as a q,t numerator of parking functions by area and ndinv. We recall that in the shuffle conjecture, parking functions are q,t enumerated by area and diagonal inversion number (dinv). Since their definition is recursive, they pose the problem of obtaining a non recursive definition. We solved this problem by giving an explicit formula for ndinv similar to the classical definition of dinv. In this paper, we describe the work we did to construct this formula and to prove that the resulting ndinv is the same as the one recursively defined by Duane, Garsia, and Zabrocki. Dans un travail récent Duane, Garsia et Zabrocki ont introduit une nouvelle statistique, "ndinv'' pour une famille de Fonctions Parking. Ce "ndinv" découle d'une récurrence satisfaite par le polynôme $\langle\Delta_{h_m}C_p1C_p2...C_{pk}1,e_n\rangle$, oú $\Delta_{h_m}$ est un opérateur linéaire avec fonctions propres les polynômes de Macdonald, les $C_{p_i}$ sont des opérateurs de Hall-Littlewood modifiés et $(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ est un vecteur à composantes entières positives. Par moyen de cette statistique, ils ont réussi à donner une nouvelle interprétation combinatoire au polynôme $\langle\nabla e_n, h_j h_n-j\rangle$ on remplaçant "dinv'" par "ndinv". Rappelons nous que la conjecture "Shuffle"' exprime ce même polynôme comme somme pondérée de Fonctions Parking avec poids t à la "aire'" est q au "dinv". Puisque il donnent une définition récursive du "ndinv" il posent le problème de l'obtenir d'une façon directe. On rèsout se problème en donnant une formule explicite qui permet de calculer directement le "ndinv" à la manière de la formule classique du "dinv". Dans cet article on décrit le travail qu'on a fait pour construire cette formule et on démontre que nôtre formule donne le même "ndinv" récursivement construit par Duane, Garsia et Zabrocki.

scholarly journals A self-stabilizing algorithm for a hierarchical middleware self-adaptive deployment : specification, proof, simulations

2016 ◽  
Vol Volume 25 - 2016 - Special... ◽  
Author(s):  
Maurice-Djibril Faye ◽  
Eddy Caron ◽  
Ousmane Thiare
Keyword(s):  
Distributed Systems ◽  
Nous Avons ◽  
Adaptive Algorithm ◽  
Adaptive Systems ◽  
The Self ◽  
Adaptive Mechanism ◽  
Effective Solution ◽  
Dynamic Nature ◽  
International Audience ◽  
Self Adaptive

International audience ABSTRACT. An effective solution to deal with this dynamic nature of distributed systems is to implement a self-adaptive mechanism to sustain the distributed architecture. Self-adaptive systems can autonomously modify their behavior at run-timein response to changes in their environment. Our paper describes the self-adaptive algorithm that we developed for an existing middleware. Once the middleware is deployed, it can detects a set of events which indicate an unstable deployment state. When an event is detected, some instructions are executed to handle the event. We have proposed a sketch proof of the self-stabilizing property of the algorithm. We have designed a simulator to have a deeper insights of our proposed self-adaptive algorithm. Results of our simulated experiments validate the safe convergence of the algorithm. RÉSUMÉ.Dans cet article, nous nous intéressons aux moyens de rendre le déploiement d’un intergiciel auto-adaptatif. Le type d’intergiciel que nous avons considéré ici est hiérarchique (structure de graphe) et distribué. Les infrastructures de grilles/cloud étant dynamiques (perte et ajout de nœuds),un déploiement statique n’est pas la solution idéale car en cas de panne, il est souvent nécessaire de reprendre tout le processus de déploiement; or cette opération est très coûteuse. Nous avons donc proposé un algorithme auto-stabilisant pour que l’intergiciel puisse retrouver un état stable sans intervention extérieure, au bout d’un temps fini, lorsqu’il est confronté à des pannes transitoires. Pouravoir une idée plus précise des caractéristiques de l’algorithme, nous avons conçu un simulateur. Lesrésultats des simulations montrent qu’un déploiement, sujet à des pannes transitoires, s’auto-adapte.

scholarly journals Factoring peak polynomials

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Sara Billey ◽  
Matthew Fahrbach ◽  
Alan Talmage
Keyword(s):  
Explicit Formula ◽  
Binomial Coefficient ◽  
Large N ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Positive Integers ◽  
Nous Utilisons

International audience Given a permutation $\pi=\pi_1\pi_2\cdots \pi_n \in S_n$, we say an index $i$ is a peak if $\pi_{i-1} < \pi_i > \pi_{i+1}$. Let $P(\pi)$ denote the set of peaks of $\pi$. Given any set $S$ of positive integers, define ${P_S(n)=\{\pi\in S_n:P(\pi)=S\}}$. Billey-Burdzy-Sagan showed that for all fixed subsets of positive integers $S$ and sufficiently large $n$, $|P_S(n)|=p_S(n)2^{n-|S|-1}$ for some polynomial $p_S(x)$ depending on $S$. They conjectured that the coefficients of $p_S(x)$ expanded in a binomial coefficient basis centered at $max(S)$ are all positive. We show that this is a consequence of a stronger conjecture that bounds the modulus of the roots of $p_S(x)$. Furthermore, we give an efficient explicit formula for peak polynomials in the binomial basis centered at $0$, which we use to identify many integer roots of peak polynomials along with certain inequalities and identities. Etant donné une permutation $\pi=\pi_1\pi_2\cdots \pi_n \in S_n$ du groupe symétrique, nous disons qu’un indice i est unsommet si $\pi_{i-1} < \pi_i > \pi_{i+1}$. Soit $P(\pi)$ l’ensemble des sommets de $\pi$. Billey-Burdzy-Sagan ont montré que,pour tout sous-ensemble d’entiers positifs S et n suffisamment grand, le nombre de permutations de $n$ éléments avecensemble de sommets $S$ est $|P_S(n)|=p_S(n)2^{n-|S|-1}$ pour un certain polynôme $p_S(x)$ dépendant de $S$.. Ils ont fait la conjectureque les coefficients du polynôme $p_S(x)$ exprimé dans une base de coefficients binomiaux centrée en $max(S)$ sont touspositifs. Nous montrons que cela découle d’une conjecture plus forte qui borne le module des racines du polynôme$p_S(x)$. De plus, nous donnons une formule explicite efficace pour les polynômes sommets dans la base binomialecentrée en $0$, que nous utilisons pour identifier plusieurs racines entières de polynômes sommets, ainsi que certainesinégalités et identités.

scholarly journals An elementary property of correlations

2019 ◽  
Author(s):  
Giovanni Coppola
Keyword(s):  
Explicit Formula ◽  
Shift Factor ◽  
Elementary Property ◽  
Twin Primes ◽  
Von Mangoldt Function ◽  
Littlewood Conjecture ◽  
International Audience ◽  
Ramanujan Conjecture ◽  
Shifted Convolution Sum

International audience We study the "shift-Ramanujan expansion" to obtain a formulae for the shifted convolution sum $C_{f,g} (N,a)$ of general functions f, g satisfying Ramanujan Conjecture; here, the shift-Ramanujan expansion is with respect to a shift factor a > 0. Assuming Delange Hypothesis for the correlation, we get the "Ramanujan exact explicit formula", a kind of finite shift-Ramanujan expansion. A noteworthy case is when f = g = Λ, the von Mangoldt function; so $C_{\Lamda, \Lambda} (N, 2k)$, for natural k, corresponds to 2k-twin primes; under the assumption of Delange Hypothesis, we easily obtain the proof of Hardy-Littlewood Conjecture for this case.

scholarly journals Bijections for lattice paths between two boundaries

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Sergi Elizalde ◽  
Martin Rubey
Keyword(s):  
Joint Distribution ◽  
Tutte Polynomial ◽  
Lattice Paths ◽  
Dyck Paths ◽  
International Audience ◽  
Pattern Avoiding Permutations

International audience We prove that on the set of lattice paths with steps $N=(0,1)$ and $E=(1,0)$ that lie between two boundaries $B$ and $T$, the two statistics `number of $E$ steps shared with $B$' and `number of $E$ steps shared with $T$' have a symmetric joint distribution. We give an involution that switches these statistics, preserves additional parameters, and generalizes to paths that contain steps $S=(0,-1)$ at prescribed $x$-coordinates. We also show that a similar equidistribution result for other path statistics follows from the fact that the Tutte polynomial of a matroid is independent of the order of its ground set. Finally, we extend the two theorems to $k$-tuples of paths between two boundaries, and we give some applications to Dyck paths, generalizing a result of Deutsch, and to pattern-avoiding permutations. On montre que, sur l'ensemble des chemins avec des pas $N=(0,1)$ et $E=(1,0)$ qui se trouvent entre deux chemins donnés $B$ et $T$, les deux statistiques"`nombre des pas $E$ en commun avec $B$" et "nombre des pas $E$ en commun avec $T$" ont une distribution conjointe symétrique. On donne une involution qui échange ces deux statistiques, préserve quelques autres paramètres additionnels, et admet une généralisation à des chemins avec des pas $S=(0, -1)$ dans des positions données. On montre aussi un autre résultat d'équidistribution similaire, lié au polynôme de Tutte d'un matroïde. Finalement, on étend les deux théorèmes à $k$-tuples de chemins entre deux frontières, et on donne quelques applications aux chemins de Dyck, en généralisant un résultat de Deutsch, et aux permutations avec des motifs exclus.

scholarly journals On trees, tanglegrams, and tangled chains

2020 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 28th... ◽  
Author(s):  
Sara Billey ◽  
Matjaz Konvalinka ◽  
Frderick Matsen IV
Keyword(s):  
Asymptotic Formula ◽  
Computer Science ◽  
Explicit Formula ◽  
Binary Trees ◽  
Biological Research ◽  
Open Problems ◽  
International Audience ◽  
Enumeration Formula ◽  
New Formula ◽  
Simple Asymptotic Formula

International audience Tanglegrams are a class of graphs arising in computer science and in biological research on cospeciation and coevolution. They are formed by identifying the leaves of two rooted binary trees. The embedding of the trees in the plane is irrelevant for this application. We give an explicit formula to count the number of distinct binary rooted tanglegrams with n matched leaves, along with a simple asymptotic formula and an algorithm for choosing a tanglegram uniformly at random. The enumeration formula is then extended to count the number of tangled chains of binary trees of any length. This work gives a new formula for the number of binary trees with n leaves. Several open problems and conjectures are included along with pointers to several followup articles that have already appeared.

scholarly journals Cycles and sorting index for matchings and restricted permutations

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Svetlana Poznanović
Keyword(s):  
Permutation Statistics ◽  
Minimal Elements ◽  
Restricted Permutations ◽  
Dyck Paths ◽  
Set Of Permutations ◽  
Ferrers Board ◽  
International Audience ◽  
The Right

International audience We prove that the Mahonian-Stirling pairs of permutation statistics $(sor, cyc)$ and $(∈v , \mathrm{rlmin})$ are equidistributed on the set of permutations that correspond to arrangements of $n$ non-atacking rooks on a fixed Ferrers board with $n$ rows and $n$ columns. The proofs are combinatorial and use bijections between matchings and Dyck paths and a new statistic, sorting index for matchings, that we define. We also prove a refinement of this equidistribution result which describes the minimal elements in the permutation cycles and the right-to-left minimum letters.

Sign in / Sign up

Export Citation Format

Share Document