scholarly journals Critical Groups of Simplicial Complexes

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Art M. Duval ◽  
Caroline J. Klivans ◽  
Jeremy L. Martin
Keyword(s):  
Simplicial Complex ◽  
Spanning Trees ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Chow Groups ◽  
Critical Group ◽  
Critical Groups ◽  
Combinatorial Laplacian ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Laplacian Operators

International audience We generalize the theory of critical groups from graphs to simplicial complexes. Specifically, given a simplicial complex, we define a family of abelian groups in terms of combinatorial Laplacian operators, generalizing the construction of the critical group of a graph. We show how to realize these critical groups explicitly as cokernels of reduced Laplacians, and prove that they are finite, with orders given by weighted enumerators of simplicial spanning trees. We describe how the critical groups of a complex represent flow along its faces, and sketch another potential interpretation as analogues of Chow groups. Nous généralisons la théorie des groupes critiques des graphes aux complexes simpliciaux. Plus précisément, pour un complexe simplicial, nous définissons une famille de groupes abéliens en termes d'opérateurs de Laplace combinatoires, qui généralise la construction du groupe critique d'un graphe. Nous montrons comment réaliser ces groupes critiques explicitement comme conoyaux des opérateurs de Laplace réduits combinatoires, et montrons qu'ils sont finis. Leurs ordres sont obtenus en comptant (avec des poids) des arbres simpliciaux couvrants. Nous décrivons comment les groupes critiques d'un complexe représentent le flux le long de ses faces, et esquissons une autre interprétation potentielle comme analogues des groupes de Chow.

scholarly journals Spanning forests, electrical networks, and a determinant identity

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Elmar Teufl ◽  
Stephan Wagner
Keyword(s):  
Spanning Trees ◽  
Symmetric Graph ◽  
Electrical Networks ◽  
Laplace Matrix ◽  
Nous Montrons ◽  
Spanning Forests ◽  
International Audience ◽  
Self Similar ◽  
Algebraic Proofs

International audience We aim to generalize a theorem on the number of rooted spanning forests of a highly symmetric graph to the case of asymmetric graphs. We show that this can be achieved by means of an identity between the minor determinants of a Laplace matrix, for which we provide two different (combinatorial as well as algebraic) proofs in the simplest case. Furthermore, we discuss the connections to electrical networks and the enumeration of spanning trees in sequences of self-similar graphs. Nous visons à généraliser un théorème sur le nombre de forêts couvrantes d'un graphe fortement symétrique au cas des graphes asymétriques. Nous montrons que cela peut être obtenu au moyen d'une identité sur les déterminants mineurs d'une matrice Laplacienne, pour laquelle nous donnons deux preuves différentes (combinatoire ou bien algébrique) dans le cas le plus simple. De plus, nous discutons les relations avec des réseaux électriques et l'énumération d'arbres couvrants dans de suites de graphes autosimilaires.

scholarly journals On $\gamma$-vectors satisfying the Kruskal-Katona inequalities

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
E. Nevo ◽  
T. K. Petersen
Keyword(s):  
Simplicial Complexes ◽  
Homology Sphere ◽  
Gamma Delta ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We present examples of flag homology spheres whose $\gamma$-vectors satisfy the Kruskal-Katona inequalities. This includes several families of well-studied simplicial complexes, including Coxeter complexes and the simplicial complexes dual to the associahedron and to the cyclohedron. In these cases, we construct explicit flag simplicial complexes whose $f$-vectors are the $\gamma$-vectors in question, and so a result of Frohmader shows that the $\gamma$-vectors satisfy not only the Kruskal-Katona inequalities but also the stronger Frankl-Füredi-Kalai inequalities. In another direction, we show that if a flag $(d-1)$-sphere has at most $2d+3$ vertices its $\gamma$-vector satisfies the Frankl-Füredi-Kalai inequalities. We conjecture that if $\Delta$ is a flag homology sphere then $\gamma (\Delta)$ satisfies the Kruskal-Katona, and further, the Frankl-Füredi-Kalai inequalities. This conjecture is a significant refinement of Gal's conjecture, which asserts that such $\gamma$-vectors are nonnegative. Nous présentons des exemples de sphères d'homologie flag dont $\gamma$-vecteurs satisfaire les inégalités de Kruskal-Katona. Cela comprend plusieurs familles de bien étudiés simplicial complexes, y compris les complexes de Coxeter et les complexes simpliciaux dual de l'associahedron et à la cyclohedron. Dans ces cas, nous construisons explicite flag simplicial complexes dont les $f$-vecteurs sont les $\gamma$-vecteurs en question, et ainsi de suite de Frohmader montre que le $\gamma$-vecteurs de satisfaire non seulement les inégalités de Kruskal-Katona mais aussi les plus fortes inégalités Frankl-Füredi-Kalai. Dans une autre direction, nous montrons que, si un flag $(d-1)$-sphère a au plus $2d+3$ sommets son $\gamma$-vecteur satisfait aux inégalités de Frankl-Füredi-Kalai. Nous conjecture que, si $\Delta$ est une sphère d'homologie flag alors $\gamma(\Delta)$ satisfait aux inégalités de Kruskal-Katona, en outre, celles de Frankl-Füredi-Kalai. Cette conjecture est un raffinement significatif de la conjecture de Gal, qui affirme que ces $\gamma$-vecteurs sont nonnégatifs.

scholarly journals Spanning Simplicial Complexes of Uni-Cyclic Graphs

2015 ◽  
Vol 22 (04) ◽  
pp. 707-710 ◽  
Author(s):  
Imran Anwar ◽  
Zahid Raza ◽  
Agha Kashif
Keyword(s):  
Simplicial Complex ◽  
Connected Graph ◽  
Spanning Trees ◽  
Hilbert Series ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Cyclic Graphs ◽  
Cyclic Graph

In this paper, we introduce the concept of the spanning simplicial complex Δs(G) associated to a simple finite connected graph G. We characterize all spanning trees of the uni-cyclic graph Un,m. In particular, we give a formula for computing the Hilbert series and h-vector of the Stanley-Reisner ring k[Δs(Un,m)]. Finally, we prove that the spanning simplicial complex Δs(Un,m) is shifted and hence is shellable.

scholarly journals Generalized triangulations, pipe dreams, and simplicial spheres

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Luis Serrano ◽  
Christian Stump
Keyword(s):  
Simplicial Complex ◽  
Canonical Connection ◽  
Cyclic Sieving Phenomenon ◽  
North East ◽  
Schubert Polynomials ◽  
Dyck Paths ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Vertex Decomposable ◽  
Cyclic Sieving

International audience We exhibit a canonical connection between maximal $(0,1)$-fillings of a moon polyomino avoiding north-east chains of a given length and reduced pipe dreams of a certain permutation. Following this approach we show that the simplicial complex of such maximal fillings is a vertex-decomposable and thus a shellable sphere. In particular, this implies a positivity result for Schubert polynomials. For Ferrers shapes, we moreover construct a bijection to maximal fillings avoiding south-east chains of the same length which specializes to a bijection between $k$-triangulations of the $n$-gon and $k$-fans of Dyck paths. Using this, we translate a conjectured cyclic sieving phenomenon for $k$-triangulations with rotation to $k$-flagged tableaux with promotion. Nous décrivons un lien canonique entre les $(0,1)$-remplissages maximaux d'un polyomino-lune évitant les chaînes Nord-Est d'une longueur donnée, et les "pipe dreams'' réduits d'une certaine permutation. En suivant cette approche nous montrons que le complexe simplicial de tels remplissages maximaux est une sphère "vertex-decomposable'' et donc "shellable''. En particulier, cela entraîne un résultat de positivité sur les polynômes de Schubert. De plus, nous construisons, dans le cas des diagrammes de Ferrers, une bijection vers les remplissages maximaux évitant les chaînes Sud-Est de même longueur, qui se spécialise en une bijection entre les $k$-triangulations d'un $n$-gone et les $k$-faisceaux de chemins de Dyck. A l'aide de celle-ci, nous traduisons une instance conjecturale du phénomène de tamis cyclique pour les $k$-triangulations avec rotation dans le cadre des tableaux $k$-marqués avec promotion.

scholarly journals Noncrossing sets and a Graßmannian associahedron

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Francisco Santos ◽  
Christian Stump ◽  
Volkmar Welker
Keyword(s):  
Simplicial Complex ◽  
Natural Generalization ◽  
Simplicial Polytope ◽  
Weak Separability ◽  
Initial Ideal ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Order Polytope

International audience We study a natural generalization of the noncrossing relation between pairs of elements in $[n]$ to $k$-tuples in $[n]$. We show that the flag simplicial complex on $\binom{[n]}{k}$ induced by this relation is a regular, unimodular and flag triangulation of the order polytope of the poset given by the product $[k] \times [n-k]$ of two chains, and it is the join of a simplex and a sphere (that is, it is a Gorenstein triangulation). This shows the existence of a flag simplicial polytope whose Stanley-Reisner ideal is an initial ideal of the Graßmann-Plücker ideal, while previous constructions of such a polytope did not guaranteed flagness. The simplicial complex and the polytope derived from it naturally reflect the relations between Graßmannians with different parameters, in particular the isomorphism $G_{k,n} \cong G_{n-k,n}$. This simplicial complex is closely related to the weak separability complex introduced by Zelevinsky and Leclerc. Nous étudions une généralisation naturelle de la relation entre les paires d’éléments non-croisés de $[n]$ et les $k$-uplets de $[n]$. Nous montrons que le complexe simplicial de drapeau sur $\binom{[n]}{k}$ induit par cette relation est une triangulation régulière, unimodulaire et de drapeau du polytope d’ordre de l’ensemble partiellement ordonné obtenu par le produit $[k] \times [n-k]$ des deux chaînes, et c’est la jointure d’un simplexe et une sphère (c’est-à-dire qu’elle est une triangulation de Gorenstein). Cela montre l’existence d’un polytope simplicial de drapeau dont l’idéal de Stanley-Reisner est un idéal initial de l’idéal de Graßmann-Plücker, tandis que les constructions précédentes d’un tel polytope ne garantissaient pas la propriété de drapeau. Le complexe simplicial et le polytope qui en découle reflètent naturellement les relations entre les Grassmanniens avec différents paramètres, en particulier l’isomorphisme $G_{k,n} \cong G_{n-k,n}$. Ce complexe simplicial est étroitement lié au complexe de séparabilité faible étudié par Zelevinskyet Leclerc.

Algebraic Shifting and Sequentially Cohen-Macaulay Simplicial Complexes

10.37236/1245 ◽  
1996 ◽  
Vol 3 (1) ◽  
Author(s):  
Art M. Duval
Keyword(s):  
Simplicial Complex ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Pure Case ◽  
Definition Of ◽  
Algebraic Shifting

Björner and Wachs generalized the definition of shellability by dropping the assumption of purity; they also introduced the $h$-triangle, a doubly-indexed generalization of the $h$-vector which is combinatorially significant for nonpure shellable complexes. Stanley subsequently defined a nonpure simplicial complex to be sequentially Cohen-Macaulay if it satisfies algebraic conditions that generalize the Cohen-Macaulay conditions for pure complexes, so that a nonpure shellable complex is sequentially Cohen-Macaulay. We show that algebraic shifting preserves the $h$-triangle of a simplicial complex $K$ if and only if $K$ is sequentially Cohen-Macaulay. This generalizes a result of Kalai's for the pure case. Immediate consequences include that nonpure shellable complexes and sequentially Cohen-Macaulay complexes have the same set of possible $h$-triangles.

scholarly journals Multi-cluster complexes

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Cesar Ceballos ◽  
Jean-Philippe Labbé ◽  
Christian Stump
Keyword(s):  
Coxeter Groups ◽  
Type A ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Cluster Complex ◽  
Geometric Properties ◽  
Cluster Complexes ◽  
Combinatorial Description ◽  
Compatibility Relation ◽  
Positive Roots ◽  
International Audience

International audience We present a family of simplicial complexes called \emphmulti-cluster complexes. These complexes generalize the concept of cluster complexes, and extend the notion of multi-associahedra of types ${A}$ and ${B}$ to general finite Coxeter groups. We study combinatorial and geometric properties of these objects and, in particular, provide a simple combinatorial description of the compatibility relation among the set of almost positive roots in the cluster complex. Nous présentons une famille de complexes simpliciaux appelés \emphcomplexes des multi-amas. Ces complexes généralisent le concept de complexes des amas et étendent la notion de multi-associaèdre de type ${A}$ et ${B}$ aux groupes de Coxeter finis. Nous étudions des propriétés combinatoires et géométriques de ces objets et, en particulier nous fournissons une description combinatoire simple de la relation de compatibilité sur l'ensemble des racines presque positives du complexe des amas.

scholarly journals Macdonald polynomials at $t=q^k$

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jean-Gabriel Luque
Keyword(s):  
Macdonald Polynomials ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We investigate the homogeneous symmetric Macdonald polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ for the specialization $t=q^k$. We show an identity relying the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ and $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. As a consequence, we describe an operator whose eigenvalues characterize the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous nous intéressons aux propriétés des polynômes de Macdonald symétriques $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ pour la spécialisation $t=q^k$. En particulier nous montrons une égalité reliant les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ et $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous en déduisons la description d'un opérateur dont les valeurs propres caractérisent les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$.

scholarly journals Simplicial Complexes of Whisker Type

10.37236/4894 ◽  
2015 ◽  
Vol 22 (1) ◽  
Author(s):  
Mina Bigdeli ◽  
Jürgen Herzog ◽  
Takayuki Hibi ◽  
Antonio Macchia
Keyword(s):  
Simplicial Complex ◽  
Short Proof ◽  
Monomial Ideal ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Linear Resolution ◽  
Cw Complex ◽  
Alexander Dual ◽  
Vertex Decomposable ◽  
The Ideal

Let $I\subset K[x_1,\ldots,x_n]$ be  a zero-dimensional monomial ideal, and $\Delta(I)$ be the simplicial complex whose Stanley--Reisner ideal is the polarization of $I$. It follows from a result of Soleyman Jahan that $\Delta(I)$ is shellable. We give a new short proof of this fact by providing an explicit shelling. Moreover, we show that  $\Delta(I)$ is even vertex decomposable. The ideal $L(I)$, which is defined to be the Stanley--Reisner ideal of the Alexander dual of $\Delta(I)$, has a linear resolution which is cellular and supported on a regular CW-complex. All powers of $L(I)$ have a linear resolution. We compute $\mathrm{depth}\ L(I)^k$ and show that $\mathrm{depth}\ L(I)^k=n$ for all $k\geq n$.

scholarly journals Optimal Decision Trees on Simplicial Complexes

10.37236/1900 ◽  
2005 ◽  
Vol 12 (1) ◽  
Author(s):  
Jakob Jonsson
Keyword(s):  
Decision Tree ◽  
Decision Trees ◽  
Simplicial Complex ◽  
Elementary Theory ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Optimal Decision ◽  
Property A ◽  
Recursive Definition ◽  
Topological Combinatorics ◽  
Definition Of

We consider topological aspects of decision trees on simplicial complexes, concentrating on how to use decision trees as a tool in topological combinatorics. By Robin Forman's discrete Morse theory, the number of evasive faces of a given dimension $i$ with respect to a decision tree on a simplicial complex is greater than or equal to the $i$th reduced Betti number (over any field) of the complex. Under certain favorable circumstances, a simplicial complex admits an "optimal" decision tree such that equality holds for each $i$; we may hence read off the homology directly from the tree. We provide a recursive definition of the class of semi-nonevasive simplicial complexes with this property. A certain generalization turns out to yield the class of semi-collapsible simplicial complexes that admit an optimal discrete Morse function in the analogous sense. In addition, we develop some elementary theory about semi-nonevasive and semi-collapsible complexes. Finally, we provide explicit optimal decision trees for several well-known simplicial complexes.

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