scholarly journals Generalized triangulations, pipe dreams, and simplicial spheres

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Luis Serrano ◽  
Christian Stump
Keyword(s):  
Simplicial Complex ◽  
Canonical Connection ◽  
Cyclic Sieving Phenomenon ◽  
North East ◽  
Schubert Polynomials ◽  
Dyck Paths ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Vertex Decomposable ◽  
Cyclic Sieving

International audience We exhibit a canonical connection between maximal $(0,1)$-fillings of a moon polyomino avoiding north-east chains of a given length and reduced pipe dreams of a certain permutation. Following this approach we show that the simplicial complex of such maximal fillings is a vertex-decomposable and thus a shellable sphere. In particular, this implies a positivity result for Schubert polynomials. For Ferrers shapes, we moreover construct a bijection to maximal fillings avoiding south-east chains of the same length which specializes to a bijection between $k$-triangulations of the $n$-gon and $k$-fans of Dyck paths. Using this, we translate a conjectured cyclic sieving phenomenon for $k$-triangulations with rotation to $k$-flagged tableaux with promotion. Nous décrivons un lien canonique entre les $(0,1)$-remplissages maximaux d'un polyomino-lune évitant les chaînes Nord-Est d'une longueur donnée, et les "pipe dreams'' réduits d'une certaine permutation. En suivant cette approche nous montrons que le complexe simplicial de tels remplissages maximaux est une sphère "vertex-decomposable'' et donc "shellable''. En particulier, cela entraîne un résultat de positivité sur les polynômes de Schubert. De plus, nous construisons, dans le cas des diagrammes de Ferrers, une bijection vers les remplissages maximaux évitant les chaînes Sud-Est de même longueur, qui se spécialise en une bijection entre les $k$-triangulations d'un $n$-gone et les $k$-faisceaux de chemins de Dyck. A l'aide de celle-ci, nous traduisons une instance conjecturale du phénomène de tamis cyclique pour les $k$-triangulations avec rotation dans le cadre des tableaux $k$-marqués avec promotion.

scholarly journals Maximal Fillings of Moon Polyominoes, Simplicial Complexes, and Schubert Polynomials

10.37236/1167 ◽  
2012 ◽  
Vol 19 (1) ◽  
Author(s):  
Luis Serrano ◽  
Christian Stump
Keyword(s):  
Simplicial Complex ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Canonical Connection ◽  
Cyclic Sieving Phenomenon ◽  
North East ◽  
Schubert Polynomials ◽  
Dyck Paths ◽  
Vertex Decomposable ◽  
Cyclic Sieving

We exhibit a canonical connection between maximal $(0,1)$-fillings of a moon polyomino avoiding north-east chains of a given length and reduced pipe dreams of a certain permutation. Following this approach we  show that the simplicial complex of such maximal fillings is a vertex-decomposable, and thus shellable, sphere. In particular, this implies a positivity result for Schubert polynomials. Moreover, for Ferrers shapes we construct a bijection to maximal fillings avoiding south-east chains of the same length which specializes to a bijection between $k$-triangulations of the $n$-gon and $k$-fans of Dyck paths of length $2(n-2k)$. Using this, we translate a conjectured cyclic sieving phenomenon for $k$-triangulations with rotation to the language of $k$-flagged tableaux with promotion.

scholarly journals Cyclic sieving for two families of non-crossing graphs

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Svetlana Poznanović
Keyword(s):  
Cyclic Group ◽  
Orbit Structure ◽  
Cyclic Sieving Phenomenon ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Cyclic Sieving ◽  
Cette Action

International audience We prove the cyclic sieving phenomenon for non-crossing forests and non-crossing graphs. More precisely, the cyclic group acts on these graphs naturally by rotation and we show that the orbit structure of this action is encoded by certain polynomials. Our results confirm two conjectures of Alan Guo. Nous prouvons le phénomène de crible cyclique pour les forêts et les graphes sans croisement. Plus précisément, le groupe cyclique agit sur ces graphes naturellement par rotation et nous montrons que la structure d'orbite de cette action est codée par certains polynômes. Nos résultats confirment deux conjectures de Alan Guo.

scholarly journals Cyclic sieving for longest reduced words in the hyperoctahedral group

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
T. K. Petersen ◽  
L. Serrano
Keyword(s):  
Generating Function ◽  
Hyperoctahedral Group ◽  
Cyclic Action ◽  
Orbit Structure ◽  
Cyclic Sieving Phenomenon ◽  
Major Index ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Cyclic Sieving ◽  
Cette Action

International audience We show that the set $R(w_0)$ of reduced expressions for the longest element in the hyperoctahedral group exhibits the cyclic sieving phenomenon. More specifically, $R(w_0)$ possesses a natural cyclic action given by moving the first letter of a word to the end, and we show that the orbit structure of this action is encoded by the generating function for the major index on $R(w_0)$. Nous montrons que l'ensemble $R(w_0)$ des expressions réduites pour l'élément le plus long du groupe hyperoctaédral présente le phénomène cyclique de tamisage. Plus précisément, $R(w_0)$ possède une action naturelle cyclique donnée par le déplacement de la première lettre d'un mot vers la fin, et nous montrons que la structure d'orbite de cette action est codée par la fonction génératrice pour l'indice majeur sur $R(w_0)$.

scholarly journals Cyclic sieving phenomenon in non-crossing connected graphs

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Alan Guo
Keyword(s):  
Generating Function ◽  
Connected Graph ◽  
Connected Graphs ◽  
Cyclic Sieving Phenomenon ◽  
International Audience ◽  
Cyclic Sieving

International audience A non-crossing connected graph is a connected graph on vertices arranged in a circle such that its edges do not cross. The count for such graphs can be made naturally into a q-binomial generating function. We prove that this generating function exhibits the cyclic sieving phenomenon, as conjectured by S.-P. Eu. Un graphe connexe dont les sommets sont disposés sur un cercle est sans croisement si ses arêtes ne se croisent pas. Nous démontrons une conjecture de S.-P. Eu affirmant que la fonction génératrice q-binomiale dénombrant de tels graphes exhibe le phénomène du crible cyclique.

scholarly journals Critical Groups of Simplicial Complexes

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Art M. Duval ◽  
Caroline J. Klivans ◽  
Jeremy L. Martin
Keyword(s):  
Simplicial Complex ◽  
Spanning Trees ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Chow Groups ◽  
Critical Group ◽  
Critical Groups ◽  
Combinatorial Laplacian ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Laplacian Operators

International audience We generalize the theory of critical groups from graphs to simplicial complexes. Specifically, given a simplicial complex, we define a family of abelian groups in terms of combinatorial Laplacian operators, generalizing the construction of the critical group of a graph. We show how to realize these critical groups explicitly as cokernels of reduced Laplacians, and prove that they are finite, with orders given by weighted enumerators of simplicial spanning trees. We describe how the critical groups of a complex represent flow along its faces, and sketch another potential interpretation as analogues of Chow groups. Nous généralisons la théorie des groupes critiques des graphes aux complexes simpliciaux. Plus précisément, pour un complexe simplicial, nous définissons une famille de groupes abéliens en termes d'opérateurs de Laplace combinatoires, qui généralise la construction du groupe critique d'un graphe. Nous montrons comment réaliser ces groupes critiques explicitement comme conoyaux des opérateurs de Laplace réduits combinatoires, et montrons qu'ils sont finis. Leurs ordres sont obtenus en comptant (avec des poids) des arbres simpliciaux couvrants. Nous décrivons comment les groupes critiques d'un complexe représentent le flux le long de ses faces, et esquissons une autre interprétation potentielle comme analogues des groupes de Chow.

scholarly journals Rational Catalan Combinatorics: The Associahedron

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Drew Armstrong ◽  
Brendon Rhoades ◽  
Nathan Williams
Keyword(s):  
Simplicial Complex ◽  
Rational Number ◽  
Catalan Number ◽  
Positive Rational Number ◽  
Dyck Paths ◽  
Narayana Numbers ◽  
International Audience ◽  
Positive Integers ◽  
Coprime Positive Integers ◽  
Product Formulas

International audience Each positive rational number $x>0$ can be written $\textbf{uniquely}$ as $x=a/(b-a)$ for coprime positive integers 0<$a$<$b$. We will identify $x$ with the pair $(a,b)$. In this extended abstract we use $\textit{rational Dyck paths}$ to define for each positive rational $x>0$ a simplicial complex $\mathsf{Ass} (x)=\mathsf{Ass} (a,b)$ called the $\textit{rational associahedron}$. It is a pure simplicial complex of dimension $a-2$, and its maximal faces are counted by the $\textit{rational Catalan number}$ $\mathsf{Cat} (x)=\mathsf{Cat}(a,b):=\frac{(a+b-1)! }{ a! b!}.$ The cases $(a,b)=(n,n+1)$ and $(a,b)=(n,kn+1)$ recover the classical associahedron and its Fuss-Catalan generalization studied by Athanasiadis-Tzanaki and Fomin-Reading. We prove that $\mathsf{Ass} (a,b)$ is shellable and give nice product formulas for its $h$-vector (the $\textit{rational Narayana numbers}$) and $f$-vector (the $\textit{rational Kirkman numbers}$). We define $\mathsf{Ass} (a,b)$ .

scholarly journals Dyck path triangulations and extendability (extended abstract)

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Cesar Ceballos ◽  
Arnau Padrol ◽  
Camilo Sarmiento
Keyword(s):  
Cartesian Product ◽  
Explicit Construction ◽  
Oriented Matroids ◽  
Oriented Matroid ◽  
Dyck Path ◽  
Matroid Theory ◽  
Dyck Paths ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We introduce the Dyck path triangulation of the cartesian product of two simplices $\Delta_{n-1}\times\Delta_{n-1}$. The maximal simplices of this triangulation are given by Dyck paths, and its construction naturally generalizes to produce triangulations of $\Delta_{r\ n-1}\times\Delta_{n-1}$ using rational Dyck paths. Our study of the Dyck path triangulation is motivated by extendability problems of partial triangulations of products of two simplices. We show that whenever$m\geq k>n$, any triangulations of $\Delta_{m-1}^{(k-1)}\times\Delta_{n-1}$ extends to a unique triangulation of $\Delta_{m-1}\times\Delta_{n-1}$. Moreover, with an explicit construction, we prove that the bound $k>n$ is optimal. We also exhibit interpretations of our results in the language of tropical oriented matroids, which are analogous to classical results in oriented matroid theory. Nous introduisons la triangulation par chemins de Dyck du produit cartésien de deux simplexes $\Delta_{n-1}\times\Delta_{n-1}$. Les simplexes maximaux de cette triangulation sont donnés par des chemins de Dyck, et cette construction se généralise de façon naturelle pour produire des triangulations $\Delta_{r\ n-1}\times\Delta_{n-1}$ qui utilisent des chemins de Dyck rationnels. Notre étude de la triangulation par chemins de Dyck est motivée par des problèmes de prolongement de triangulations partielles de produits de deux simplexes. On montre que $m\geq k>n$ alors toute triangulation de $\Delta_{m-1}^{(k-1)}\times\Delta_{n-1}$ se prolonge en une unique triangulation de $\Delta_{m-1}\times\Delta_{n-1}$. De plus, avec une construction explicite, nous montrons que la borne $k>n$ est optimale. Nous présentons aussi des interprétations de nos résultats dans le langage des matroïdes orientés tropicaux, qui sont analogues aux résultats classiques de la théorie des matroïdes orientés.

scholarly journals Generalized Dyck tilings (Extended Abstract)

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Matthieu Josuat-Vergès ◽  
Jang Soo Kim
Keyword(s):  
Hermite Polynomials ◽  
Bruhat Order ◽  
Point Of View ◽  
Weak Order ◽  
Nous Sommes ◽  
Signed Permutations ◽  
Dyck Paths ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience Recently, Kenyon and Wilson introduced Dyck tilings, which are certain tilings of the region between two Dyck paths. The enumeration of Dyck tilings is related with hook formulas for forests and the combinatorics of Hermite polynomials. The first goal of this work is to give an alternative point of view on Dyck tilings by making use of the weak order and the Bruhat order on permutations. Then we introduce two natural generalizations: $k$-Dyck tilings and symmetric Dyck tilings. We are led to consider Stirling permutations, and define an analogue of the Bruhat order on them. We show that certain families of $k$-Dyck tilings are in bijection with intervals in this order. We enumerate symmetric Dyck tilings and show that certain families of symmetric Dyck tilings are in bijection with intervals in the weak order on signed permutations. Récemment, Kenyon et Wilson ont introduit les pavages de Dyck, qui sont des pavages de la région comprise entre deux chemins de Dyck. L’énumération des pavages de Dyck est reliée aux formules d’équerre sur les forêts et à la combinatoire des polynômes de Hermite. Le premier but de ce travail est de donner un point de vue alternatif sur les pavages de Dyck, en utilisant l’ordre faible et l’ordre de Bruhat sur les permutations. Nous introduisons ensuite deux généralisations naturelles: les $k$-pavages de Dyck et les pavages de Dyck symétriques. Nous sommes amenés àconsidérer les permutations de Stirling, et définissons un analogue de l’ordre de Bruhat. Nous montrons que certaines familles de $k$-pavages de Dyck sont en bijection avec des intervalles de cet ordre. Nous énumérons les pavages de Dyck symétriques et montrons que certaines familles de pavages de Dyck symétriques sont en bijection avec des intervalles de l’ordre faible sur les permutations signées.

scholarly journals Maximal 0-1-fillings of moon polyominoes with restricted chain lengths and rc-graphs

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Martin Rubey
Keyword(s):  
Covering Relation ◽  
Bijective Proof ◽  
North East ◽  
Schubert Polynomials ◽  
International Audience ◽  
Chain Lengths

International audience We show that maximal 0-1-fillings of moon polynomials, with restricted chain lengths, can be identified with certain rc-graphs, also known as pipe dreams. In particular, this exhibits a connection between maximal 0-1-fillings of Ferrers shapes and Schubert polynomials. Moreover, it entails a bijective proof showing that the number of maximal fillings of a stack polyomino $S$ with no north-east chains longer than $k$ depends only on $k$ and the multiset of column heights of $S$. Our main contribution is a slightly stronger theorem, which in turn leads us to conjecture that the poset of rc-graphs with covering relation given by generalised chute moves is in fact a lattice. Nous démontrons que les remplissages maximaux avec 0 et 1 des polyominos $L$-convexes, avec longueurs de chaînes restreintes, peuvent être identifiés avec certains $\textit{rc-graphes}$, également connus sous le nom de $\textit{pipe dreams}$. En particulier, ceci montre un lien entre ces remplissages d'un diagramme de Ferrers et les polynômes de Schubert. On en déduit en outre une preuve bijective du fait que le nombre de remplissages maximaux d'un $\textit{stack polyomino}$ $S$, avec longueurs de chaînes bornées par un entier $k$, dépend seulement de $k$ et du multi-ensemble des tailles des colonnes de $S$. Notre contribution principale est un énoncé un peu plus fort, qui nous mène à conjecturer que l'ensemble ordonné (poset) des $\textit{rc-graphes}$ est en fait un treillis.

scholarly journals The $m$-Cover Posets and the Strip-Decomposition of $m$-Dyck Paths

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Myrto Kallipoliti ◽  
Henri Mühle
Keyword(s):  
Dihedral Group ◽  
Catalan Number ◽  
Tamari Lattice ◽  
Dyck Paths ◽  
Bounded Poset ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Cambrian Lattice ◽  
Premiere Partie

International audience In the first part of this article we present a realization of the $m$-Tamari lattice $\mathcal{T}_n^{(m)}$ in terms of $m$-tuples of Dyck paths of height $n$, equipped with componentwise rotation order. For that, we define the $m$-cover poset $\mathcal{P}^{\langle m \rangle}$ of an arbitrary bounded poset $\mathcal{P}$, and show that the smallest lattice completion of the $m$-cover poset of the Tamari lattice $\mathcal{T}_n$ is isomorphic to the $m$-Tamari lattice $\mathcal{T}_n^{(m)}$. A crucial tool for the proof of this isomorphism is a decomposition of $m$-Dyck paths into $m$-tuples of classical Dyck paths, which we call the strip-decomposition. Subsequently, we characterize the cases where the $m$-cover poset of an arbitrary poset is a lattice. Finally, we show that the $m$-cover poset of the Cambrian lattice of the dihedral group is a trim lattice with cardinality equal to the generalized Fuss-Catalan number of the dihedral group. Dans la première partie de cet article nous présentons une réalisation du treillis $m$ -Tamari $\mathcal{T}_n^{(m)}$ à l’aide de $m$-uplets de chemins de Dyck de hauteur $n$, équipés de l’ordre de rotation composante par composante. Pour cela, nous définissons le poset de $m$-couverture $\mathcal{P}^{\langle m \rangle}$ d’un poset borné quelconque $\mathcal{P}$, et montrons que la plus petite complétion en treillis du poset de $m$-couverture du treillis de Tamari $\mathcal{T}_n$ est isomorphe au treillis $m$-Tamari $\mathcal{T}_n^{(m)}$. Unoutil crucial pour la preuve de cet isomorphisme est une décomposition des chemins $m$-Dyck en $m$-uplets de chemins de Dyck usuels, que nous appelons la décomposition en bandes. Par la suite, nous caractérisons les cas où le poset de $m$-couverture d’un poset donné est un treillis. Enfin nous montrons que le poset de $m$-couverture du treillis Cambrien du groupe diédral est un treillis svelte de cardinalité le nombre généralisé de Fuss-Catalan du groupe diédral.

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