Second-order stochastic differential equations: stability, dissipativity, periodicity. IV. - A survey

Настоящая статья является продолжением предыдущей статьи и представляет собой четвертую часть работы автора. В работе делается обзор результатов исследований качественных свойств решений стохастических дифференциальных уравнений и систем второго порядка. В первой части был дан краткий обзор результатов работ по стохастической устойчивости решений дифференциальных уравнений и систем второго порядка с использованием аппарата функций Ляпунова. Были приведены некоторые предварительные сведения из теории вероятностей и теории случайных процессов. Во второй части дана конструкция стохастических интегралов Ито и Стратоновича. В третьей части дано понятие стохастического дифференциала, приведена формула Ито дифференцирования сложной функции для стохастических дифференциалов, дано определение стохастического дифференциального уравнения в форме Ито и в форме Стратоновича, сформулирована теорема существования и единственности для решений стохастических дифференциальных уравнений. В настоящей, четвертой, части работы даются вкратце основные сведения из теории устойчивости стохастических дифференциальных уравнений Ито. Приводятся основные определения устойчивости в различных смыслах стохастических дифференциальных систем, формулируются основные общие теоремы об устойчивости в терминах существования функций Ляпунова, являющиеся стохастическими аналогами классических теорем Ляпунова об устойчивости. Дается понятие о стохастических диссипативных системах. Приводится теорема, дающая условия существования периодических и стационарных решений в терминах вспомогательных функций для дифференциальных уравнений со случайной периодической по времени правой частью, представляющей собой периодический или стационарный процесс. This paper is a continuation of the previous papers and presents the fourth part of the author’s work. The paper reviews results concerning qualitative properties of second-order stochastic differential equations and systems. In the first part we gave a short overview on stability of solutions of the second-order stochastic differential equations and systems by Lyapunov functions techniques and introduced some mathematical preliminaries from probability theory and stochastic processes. In the second part the construction of Ito’s and Stratonovich’s stochastic integrals is given. In the third part, analog of the chain rule for stochastic differentials (Ito’s formula) is presented. The stochastic differential equations in the sense of Ito and in the sense of Stratonovich are introduced. The existence and uniqueness theorem for solutions of stochastic differential equations is formulated. In the present fourth part of the work basic facts from the theory of stability of stochastic differential equations are briefly given. The basic definitions of stability in different senses of stochastic differential systems are presented, the basic general theorems on stability are formulated in terms of the existence of Lyapunov functions, which are stochastic analogs of the classical Lyapunov’s theorems on stability. The concept of stochastic dissipative systems is given. A theorem is formulated which gives conditions for existence of periodic and stationary solutions in terms of auxiliary functions for differential equations with a random periodic in time right-hand side, which is a periodic or stationary process.