On the Stochastic Mechanics Foundation of Quantum Mechanics

Among the famous formulations of quantum mechanics, the stochastic picture developed since the middle of the last century remains one of the less known ones. It is possible to describe quantum mechanical systems with kinetic equations of motion in configuration space based on conservative diffusion processes. This leads to the representation of physical observables through stochastic processes instead of self-adjoint operators. The mathematical foundations of this approach were laid by Edward Nelson in 1966. It allows a different perspective on quantum phenomena without necessarily using the wave-function. This article recaps the development of stochastic mechanics with a focus on variational and extremal principles. Furthermore, based on recent developments of optimal control theory, the derivation of generalized canonical equations of motion for quantum systems within the stochastic picture are discussed. These so-called quantum Hamilton equations add another layer to the different formalisms from classical mechanics that find their counterpart in quantum mechanics.

Biological Organization Principles: Biogenesis, Cognition and Evolution of Living Systems

The Autopoiesis and Cognition Theory (ACT), by Maturana and Varela, based on the notions of Biological Closure and Structural Coupling, is a well-known theory on how to understand biological organization [1, 2, 3]. Although, for example, the Free Energy Principle framework evokes some entailments of autopoiesis in a more formal setting [4, 5]; and ACT has been used in many fields, its impact has been restricted because it lacks quantitative analysis. Here we present a theoretical framework grounded in accepted and well-developed ideas from Mathematics and Physics which advance the understanding of the Principles of Biological Organization under the guidance of Biological Closure and Structural Coupling. The disciplines of Differential Geometry/Topology, Mechanics and Complex Dynamical Systems provide a powerful, elegant, and well-established body of knowledge to support our Biological Organization Principles (BOP) framework. In particular, Stochastic Mechanics and KAM theory (from Kolmogorov, Arnold and Moser theorem) allow us to develop, using the notions of Biological Closure and Structural Coupling, a central core of BOP termed Dynamical Closure Mechanism. Under the proposed framework, a wide variety of bio- logical phenomena can be understood, shedding new light on biological explanations. However, an understanding of biological organization may require the re-evaluation of dogmas on how we think on biology as it seems inescapable that what is needed is an integration of analysis and notions derived from mathematics, physics, and biology to generate a new landscape of ideas.

Advanced surrogate modeling and machine learning methods in computational stochastic mechanics

Η ποσοτικοποίηση της αβεβαιότητας στις παραμέτρους ενός μηχανικού συστήματος και οι μέθοδοι για τον προσδιορισμό της επιρροής της στην απόκριση αυτού αποτελούν ένα ουσιώδες κομμάτι της ανάλυσης και του σχεδιασμού των κατασκευών. Τις τελευταίες δεκαετίες αναπτύχθηκε η μέθοδος των στοχαστικών πεπερασμένων στοιχείων (ΣΠΣ), η οποία έχει ως στόχο τη μελέτη συστημάτων στα οποία ενυπάρχουν αβεβαιότητες στις παραμέτρους του συστήματος (πχ. ιδιότητες υλικών), στις συνοριακές συνθήκες, στη γεωμετρία και στη φόρτιση. Η κυριότερη και πιο διαδεδομένη μέθοδος στην κατηγορία των ΣΠΣ είναι η μέθοδος προσομοίωσης Monte Carlo. Στην πραγματικότητα, η μέθοδος αυτή είναι η μόνη ικανή να χειριστεί στοχαστικά προβλήματα στα οποία εμπλέκονται μη-γραμμικότητες, δυναμικές φορτίσεις, προβλήματα ευστάθειας, κλπ. Ωστόσο, για να επιτύχει υψηλή ακρίβεια απαιτεί ένα μεγάλο αριθμό τυχαίων προσομοιώσεων του υπολογιστικού μοντέλου για διάφορες τιμές των παραμέτρων. Ως συνέπεια, το υπολογιστικό κόστος αυτής της προσέγγισης καθίσταται ασύμφορο σε λεπτομερή μοντέλα με πολλούς βαθμούς ελευθερίας ή/και σε μη-γραμμικά δυναμικά προβλήματα, όπου η διάρκεια της μιας ανάλυσης κυμαίνεται από μερικά λεπτά έως μερικές ώρες. Με βάση αυτό το συμπέρασμα, η παρούσα ερευνητική προσπάθεια επικεντρώνεται στην εφαρμογή τεχνικών υποκατάστατης μοντελοποίησης και τεχνικών μηχανικής μάθησης με στόχο να παρακαμφθεί ο υπολογιστικός φόρτος της μεθόδου Monte Carlo. Στο πρώτο στάδιο της διατριβής, μελετάται η μέθοδος της εξέλιξης της πυκνότητας πιθανότητας ως μια εναλλακτική της Monte Carlo και προτείνονται κατάλληλες διατυπώσεις για την εφαρμογή της σε στατικά προβλήματα και σε μη-γραμμικά προβλήματα. Παράλληλα, προτείνεται ένα ακριβέστερο και αποδοτικότερο σχήμα πεπερασμένων στοιχείων βασισμένο στη μέθοδο Streamline Upwind/Petrov Galerkin για την επίλυση των μερικών διαφορικών εξισώσεων που προκύπτουν στα πλαίσια της μεθόδου. Εν συνεχεία, αναπτύσσεται το μαθηματικό και υπολογιστικό πλαίσιο για την εφαρμογή της μεθόδου των Φασματικών Στοχαστικών Πεπερασμένων στοιχείων σε στοχαστικά προβλήματα ραβδωτών φορέων με μη-γραμμικότητα γεωμετρίας. Τέλος, προτείνεται μια νέα μεθοδολογία κατασκευής υποκατάστατων μοντέλων βασισμένη στον αλγόριθμο των Χαρτών διάχυσης, ο οποίος ανήκει στην κατηγορία των μεθόδων μάθησης σε πολλαπλότητες. Με την προτεινόμενη μεθοδολογία το πλήρες προσομοίωμα των πεπερασμένων στοιχείων αντικαθίσταται από απλούστερες μαθηματικές σχέσεις με ελάχιστο κόστος υπολογισμού, επιτυγχάνοντας έτσι σημαντική μείωση του κόστους της μεθόδου Monte Carlo χωρίς ουσιαστικές απώλειες σε ακρίβεια.

Quantum Trajectories in Entropic Dynamics

Entropic Dynamics is a framework for deriving the laws of physics from entropic inference. In an (ED) of particles, the central assumption is that particles have definite yet unknown positions. By appealing to certain symmetries, one can derive a quantum mechanics of scalar particles and particles with spin, in which the trajectories of the particles are given by a stochastic equation. This is much like Nelson’s stochastic mechanics which also assumes a fluctuating particle as the basis of the microstates. The uniqueness of ED as an entropic inference of particles allows one to continuously transition between fluctuating particles and the smooth trajectories assumed in Bohmian mechanics. In this work we explore the consequences of the ED framework by studying the trajectories of particles in the continuum between stochastic and Bohmian limits in the context of a few physical examples, which include the double slit and Stern-Gerlach experiments.