Barnich--Troessaert bracket as a Dirac bracket on the covariant phase space

The Barnich--Troessaert bracket is a proposal for a modified Poisson bracket on the covariant phase space for general relativity. The new bracket allows us to compute charges, which are otherwise not integrable. Yet there is a catch. There is a clear prescription for how to evaluate the new bracket for any such charge, but little is known how to extend the bracket to the entire phase space. This is a problem, because not every gravitational observable is also a charge. In this paper, we propose such an extension. The basic idea is to remove the radiative data from the covariant phase space. This requires second-class constraints. Given a few basic assumptions, we show that the resulting Dirac bracket on the constraint surface is nothing but the BT bracket. A heuristic argument is given to show that the resulting constraint surface can only contain gravitational edge modes.

Inevitability of the Poisson Bracket Structure of the Relativistic Constraints

The purpose of this paper is to shed some fresh light on the long-standing conceptual question of the origin of the well-known Poisson bracket structure of the constraints that govern the canonical dynamics of generally relativistic field theories, i.e. geometrodynamics. This structure has long been known to be the same for a wide class of fields that inhabit the space-time, namely those with non-differential coupling to gravity. It has also been noticed that an identical bracket structure can be derived independently of any dynamical theory, by purely geometrical considerations in Lorentzian geometry. Here we attempt to provide the missing link between the dynamics and geometry, which we understand to be the reason for this structure to be of the specific kind. We achieve this by a careful analysis of the geometrodynamical approach, which allows us to derive the structure in question and understand it as a consistency requirement for any such theory. In order to stay close to the classical literature on the subject we stick to the metric formulation of general relativity, but the reasoning should carry over to any other formulation as long as the non-metricity tensor vanishes. The discussion section is devoted to derive some interesting consequences of the presented result in the context of reconstructing the Arnowitt–Deser–Misner (ADM) framework, thus providing a precise sense to the inevitability of the Einstein’s theory under minimal assumptions.

Infinite pseudo-conformal symmetries of classical $T \bar T$, $J \bar T $ and $J T_a$ - deformed CFTs

We show that T\bar{T}, J\bar{T}TT‾,JT‾ and JT_aJTa - deformed classical CFTs posses an infinite set of symmetries that take the form of a field-dependent generalization of two-dimensional conformal transformations. If, in addition, the seed CFTs possess an affine U(1)U(1) symmetry, we show that it also survives in the deformed theories, again in a field-dependent form. These symmetries can be understood as the infinitely-extended conformal and U(1)U(1) symmetries of the underlying two-dimensional CFT, seen through the prism of the ``dynamical coordinates’’ that characterise each of these deformations. We also compute the Poisson bracket algebra of the associated conserved charges, using the Hamiltonian formalism. In the case of the J\bar{T}JT‾ and JT_{a}JTa deformations, we find two copies of a functional Witt - Kac-Moody algebra. In the case of the T\bar{T}TT‾ deformation, we show that it is also possible to obtain two commuting copies of the Witt algebra.

Non-linear dynamics modelling in accelerators with the use of symplectic integrators

Αυτή η διδακτορική διατριβή μελετά τη δυναμική σωματιδίων για μεγάλο αριθμό περιστροφών σεκυκλικούς σωματιδιακούς επιταχυντές (σύγχροτρον) όπως ο Μεγάλος Επιταχυντής Αδρονίων (LHC)και η επερχόμενη αναβάθμιση του ο Υψηλής Λαμπρότητας Μεγάλος Επιταχυντής Αδρονίων (HL-LHC). Μια σύντομη περιγραφή του δικτύου επιταχυντών που βρίσκεται στον Ευρωπαϊκό ΟργανισμόΠυρηνικής Έρευνας (CERN) παρουσιάζεται στο Κεφάλαιο 1. Στο Κεφάλαιο 2, χρησιμοποιώντας τιςδυνατότητες του Χαμιλτονιανού φορμαλισμού αλλα και της Poisson bracket Lie άλγεβρας,αναπτύσσεται ο μαθηματικός φορμαλισμός που θα χρησιμοποιηθεί στα επόμενα Κεφάλαια.Για κάθε Χαμιλτονιανό πρόβλημα, η χρήση συμπλεκτικών ολοκληρωτών είναι απαραίτητη όταν αυτόμελετάται για μεγάλα χρονικά διαστήματα. Στα Κεφάλαια 3 και 4 δύο διαφορετικές συμπλεκτικέςολοκληρωτικές μέθοδοι παρουσιάζονται. Η πρώτη είναι ιδανική για ιδιαίτερα χρονοβόρεςπροσομοιώσεις όπως η μελέτη της δυναμικής της δέσμης σωματιδίων ενω η άλλη για προσομοιώσειςπου απαιτούν υψηλή ακρίβεια όπως η δυναμική ενός σωματιδίου.Το υπολογιστικό κόστος που απαιτείται για τη μελέτη της δυναμικής της δέσμης σωματιδίων γιαμεγάλους χρόνους (π.χ. η μελέτη της συνεισφοράς του χορικού φορτίου ή της αλληλεπίδρασης μεταξύτων δέσμεον) μπορεί να είναι αρκετά μεγάλο ειδικότερα για μηχανήματα όπως ο LHC και ο HL-LHC(απαιτούνται περισσότεροι από 1016 υπολογισμοί ανα περιστροφή). Για να κάνουμε αυτούς τουςυπολογισμούς γρηγορότερα, διάφορες τεχνικές όπως η παραλληλοποίηση τον υπολογισμών, η χρήσημακρο-σωματιδίων και η δημιουργία συμπτυγμένον πλεγμάτων μπορούν να χρησημοποιηθούν. ΣτοΚεφάλαιο 3 η μέθοδος για τη δημιουργία συμπτυγμένον εκδόσεων των αρχικών μη-γραμμικώνπλεγμάτων παρουσιάζεται. Αυτό το πολυδύναμο συμπλεκτικό ολοκληρωτικό σχήμα (αποτελεσματικόπλέγμα) αποτελείται από μία ακολουθία γραμμικών τμημάτων που χωρίζονται από συμπτηγμένα μη-γραμμικά στοιχεία και μπορεί να περηγράψει όλα τα γραμμικά χαρακτηριστικά του αρχικού πλέγματοςκαι ταυτόχρονα διατηρεί ικανοποιητική ακρίβεια για τα μη-γραμμικά χρησιμοποιώντας τα ελάχισταδυνατά στοιχεία. Το αποτελεσματικό πλέγμα είναι αρκετά εύκολο να τροποποιηθεί για τις ανάγκεςδιάφορων δαχτυλιδιών και διατίθεται ως μία ικανότερη επιλογή έναντι της απλοποιημένης μήτραςπεριστροφής που συνήθως χρησιμοποιείται σε μελέτες πολλαπλών σωματιδίων που απετούν γρήγορεςρουτίνες μετάδοσης δέσμεων.Για να ελεγχθεί εάν οι διάφορες διαμορφώσεις ενος επιταχυντή είναι λειτουργικές, ιχνηλασίες ενόςσωματιδίου για μεγάλα χρονικά διαστήματα χρειάζονται. Στο Κεφάλαιο 4 μια καινούρια οικογένειασυμπλεκτικών ολοκληρών υψηλής ακρίβειας, CSABAv & CSBABv, χρησιμοποιείται για τονυπολογισμό Χαμιλτονιανών ροών σε διάφορα πλέγματα επιταχυντών. Ένα πλεονέκτημα αυτών τωνσυμπλεκτικών ολοκληροτών (όταν μπορούν να εφαρμοστούν) είναι η παρουσία μόνο θετικών βημάτωνολοκλήρωσης ανεξάρτητα από τη τάξη ακρίβειας. Επιπρόσθετα, οι CSABAv & CSBAB v ολοκληρωτέςείναι πιο ακριβείς με ίδιο ή μικρότερο υπολογιστικό κόστος από άλλα συμπλεκτικά ολοκληρωτικάσχήματα που χρησιμοποιούνται εκτεταμένα στη φυσική επιταχυντών.Το Κεφάλαιο 5 αυτής της διατριβής, ασχολείται με ένα λειτουργικό πρόβλημα του HL-LHC το οποίοείναι ο μετριασμός των μακράς εμβέλειας αλληλεπιδράσεων μεταξύ των δέσμεων (BBLR). Αυτές οιBBLR αλληλεπιδράσεις μπορούν να μειώσουν σημαντικά τις επιδόσεις του HL-LHC συνεπώς, ηχρήση DC καλωδίων ως συσκευές αποζημίωσης μελετήθηκε. Αναλυτικές σχέσεις για τους όρουςσυντονισμού και τη διασπορά τόνου συναρτήσει των αρχικών συνθηκών που προκαλούνται από τιςBBLR αλληλεπιδράσεις και το μαγνητικό πεδίο των καλωδίων παρουσιάζονται. Χρησιμοποιώνταςαυτά τα αποτελέσματα ως οδηγούς για τις αριθμητικές μελέτες, δείχθηκε ότι με τη σωστή ρύθμιση τωνDC καλωδίων, χωρίς να παραβιάζονται οι προστατευτικοί περιορισμοί, τα καταστρεπτικάαποτελέσματα των BBLR αλληλεπιδράσεον μπορούν να μειωθούν σημαντικα. Επισης, νέα βασικά καιαπόλυτα σενάρια για τον HL-LHC με μικρότερη γωνία διασταύρωσης βρέθηκαν. Αυτά τα σενάριαείναι λειτουργικά (καλός χρόνος ζωής) μόνο με τη χρήση καλωδίων αποζημίωσης και μπορούν ναχρησιμοποιηθούν ως συμπληρωματικά τον αρχικών σεναρίων για τη βελτίωση της συνολικήςλαμπρότητας και της λειτουργικής ευελιξίας του μηχανήματος.Τέλος στο Κεφάλαιο 6 συνοψίζονται τα αποτελέσματα αυτής της διατριβής.

Courant bracket twisted both by a 2-form B and by a bi-vector $$\theta $$

We obtain the Courant bracket twisted simultaneously by a 2-form B and a bi-vector $$\theta $$ θ by calculating the Poisson bracket algebra of the symmetry generator in the basis obtained acting with the relevant twisting matrix. It is the extension of the Courant bracket that contains well known Schouten–Nijenhuis and Koszul bracket, as well as some new star brackets. We give interpretation to the star brackets as projections on isotropic subspaces.

PERIODIC AUTOMORPHISMS, COMPATIBLE POISSON BRACKETS, AND GAUDIN SUBALGEBRAS

Let 𝔮 be a finite-dimensional Lie algebra. The symmetric algebra (𝔮) is equipped with the standard Lie–Poisson bracket. In this paper, we elaborate on a surprising observation that one naturally associates the second compatible Poisson bracket on (𝔮) to any finite order automorphism ϑ of 𝔮. We study related Poisson-commutative subalgebras (𝔮; ϑ) of 𝒮(𝔮) and associated Lie algebra contractions of 𝔮. To obtain substantial results, we have to assume that 𝔮 = 𝔤 is semisimple. Then we can use Vinberg’s theory of ϑ-groups and the machinery of Invariant Theory.If 𝔤 = 𝔥⊕⋯⊕𝔥 (sum of k copies), where 𝔥 is simple, and ϑ is the cyclic permutation, then we prove that the corresponding Poisson-commutative subalgebra (𝔮; ϑ) is polynomial and maximal. Furthermore, we quantise this (𝔤; ϑ) using a Gaudin subalgebra in the enveloping algebra 𝒰(𝔤).