Charged Particle Motions near Non-Schwarzschild Black Holes with External Magnetic Fields in Modified Theories of Gravity

A small deformation to the Schwarzschild metric controlled by four free parameters could be referred to as a nonspinning black hole solution in alternative theories of gravity. Since such a non-Schwarzschild metric can be changed into a Kerr-like black hole metric via a complex coordinate transformation, the recently proposed time-transformed, explicit symplectic integrators for the Kerr-type spacetimes are suitable for a Hamiltonian system describing the motion of charged particles around the non-Schwarzschild black hole surrounded with an external magnetic field. The obtained explicit symplectic methods are based on a time-transformed Hamiltonian split into seven parts, whose analytical solutions are explicit functions of new coordinate time. Numerical tests show that such explicit symplectic integrators for intermediate time steps perform well long-term when stabilizing Hamiltonian errors, regardless of regular or chaotic orbits. One of the explicit symplectic integrators with the techniques of Poincaré sections and fast Lyapunov indicators is applied to investigate the effects of the parameters, including the four free deformation parameters, on the orbital dynamical behavior. From the global phase-space structure, chaotic properties are typically strengthened under some circumstances, as the magnitude of the magnetic parameter or any one of the negative deformation parameters increases. However, they are weakened when the angular momentum or any one of the positive deformation parameters increases.

Adjustment of Force–Gradient Operator in Symplectic Methods

Many force–gradient explicit symplectic integration algorithms have been designed for the Hamiltonian H=T(p)+V(q) with kinetic energy T(p)=p2/2 in the existing references. When a force–gradient operator is appropriately adjusted as a new operator, it is still suitable for a class of Hamiltonian problems H=K(p,q)+V(q) with integrable part K(p,q)=∑i=1n∑j=1naijpipj+∑i=1nbipi, where aij=aij(q) and bi=bi(q) are functions of coordinates q. The newly adjusted operator is not a force–gradient operator but is similar to the momentum-version operator associated to the potential V. The newly extended (or adjusted) algorithms are no longer solvers of the original Hamiltonian, but are solvers of slightly modified Hamiltonians. They are explicit symplectic integrators with symmetry or time reversibility. Numerical tests show that the standard symplectic integrators without the new operator are generally poorer than the corresponding extended methods with the new operator in computational accuracies and efficiencies. The optimized methods have better accuracies than the corresponding non-optimized counterparts. Among the tested symplectic methods, the two extended optimized seven-stage fourth-order methods of Omelyan, Mryglod and Folk exhibit the best numerical performance. As a result, one of the two optimized algorithms is used to study the orbital dynamical features of a modified Hénon–Heiles system and a spring pendulum. These extended integrators allow for integrations in Hamiltonian problems, such as the spiral structure in self-consistent models of rotating galaxies and the spiral arms in galaxies.

Non-linear dynamics modelling in accelerators with the use of symplectic integrators

Αυτή η διδακτορική διατριβή μελετά τη δυναμική σωματιδίων για μεγάλο αριθμό περιστροφών σεκυκλικούς σωματιδιακούς επιταχυντές (σύγχροτρον) όπως ο Μεγάλος Επιταχυντής Αδρονίων (LHC)και η επερχόμενη αναβάθμιση του ο Υψηλής Λαμπρότητας Μεγάλος Επιταχυντής Αδρονίων (HL-LHC). Μια σύντομη περιγραφή του δικτύου επιταχυντών που βρίσκεται στον Ευρωπαϊκό ΟργανισμόΠυρηνικής Έρευνας (CERN) παρουσιάζεται στο Κεφάλαιο 1. Στο Κεφάλαιο 2, χρησιμοποιώντας τιςδυνατότητες του Χαμιλτονιανού φορμαλισμού αλλα και της Poisson bracket Lie άλγεβρας,αναπτύσσεται ο μαθηματικός φορμαλισμός που θα χρησιμοποιηθεί στα επόμενα Κεφάλαια.Για κάθε Χαμιλτονιανό πρόβλημα, η χρήση συμπλεκτικών ολοκληρωτών είναι απαραίτητη όταν αυτόμελετάται για μεγάλα χρονικά διαστήματα. Στα Κεφάλαια 3 και 4 δύο διαφορετικές συμπλεκτικέςολοκληρωτικές μέθοδοι παρουσιάζονται. Η πρώτη είναι ιδανική για ιδιαίτερα χρονοβόρεςπροσομοιώσεις όπως η μελέτη της δυναμικής της δέσμης σωματιδίων ενω η άλλη για προσομοιώσειςπου απαιτούν υψηλή ακρίβεια όπως η δυναμική ενός σωματιδίου.Το υπολογιστικό κόστος που απαιτείται για τη μελέτη της δυναμικής της δέσμης σωματιδίων γιαμεγάλους χρόνους (π.χ. η μελέτη της συνεισφοράς του χορικού φορτίου ή της αλληλεπίδρασης μεταξύτων δέσμεον) μπορεί να είναι αρκετά μεγάλο ειδικότερα για μηχανήματα όπως ο LHC και ο HL-LHC(απαιτούνται περισσότεροι από 1016 υπολογισμοί ανα περιστροφή). Για να κάνουμε αυτούς τουςυπολογισμούς γρηγορότερα, διάφορες τεχνικές όπως η παραλληλοποίηση τον υπολογισμών, η χρήσημακρο-σωματιδίων και η δημιουργία συμπτυγμένον πλεγμάτων μπορούν να χρησημοποιηθούν. ΣτοΚεφάλαιο 3 η μέθοδος για τη δημιουργία συμπτυγμένον εκδόσεων των αρχικών μη-γραμμικώνπλεγμάτων παρουσιάζεται. Αυτό το πολυδύναμο συμπλεκτικό ολοκληρωτικό σχήμα (αποτελεσματικόπλέγμα) αποτελείται από μία ακολουθία γραμμικών τμημάτων που χωρίζονται από συμπτηγμένα μη-γραμμικά στοιχεία και μπορεί να περηγράψει όλα τα γραμμικά χαρακτηριστικά του αρχικού πλέγματοςκαι ταυτόχρονα διατηρεί ικανοποιητική ακρίβεια για τα μη-γραμμικά χρησιμοποιώντας τα ελάχισταδυνατά στοιχεία. Το αποτελεσματικό πλέγμα είναι αρκετά εύκολο να τροποποιηθεί για τις ανάγκεςδιάφορων δαχτυλιδιών και διατίθεται ως μία ικανότερη επιλογή έναντι της απλοποιημένης μήτραςπεριστροφής που συνήθως χρησιμοποιείται σε μελέτες πολλαπλών σωματιδίων που απετούν γρήγορεςρουτίνες μετάδοσης δέσμεων.Για να ελεγχθεί εάν οι διάφορες διαμορφώσεις ενος επιταχυντή είναι λειτουργικές, ιχνηλασίες ενόςσωματιδίου για μεγάλα χρονικά διαστήματα χρειάζονται. Στο Κεφάλαιο 4 μια καινούρια οικογένειασυμπλεκτικών ολοκληρών υψηλής ακρίβειας, CSABAv & CSBABv, χρησιμοποιείται για τονυπολογισμό Χαμιλτονιανών ροών σε διάφορα πλέγματα επιταχυντών. Ένα πλεονέκτημα αυτών τωνσυμπλεκτικών ολοκληροτών (όταν μπορούν να εφαρμοστούν) είναι η παρουσία μόνο θετικών βημάτωνολοκλήρωσης ανεξάρτητα από τη τάξη ακρίβειας. Επιπρόσθετα, οι CSABAv & CSBAB v ολοκληρωτέςείναι πιο ακριβείς με ίδιο ή μικρότερο υπολογιστικό κόστος από άλλα συμπλεκτικά ολοκληρωτικάσχήματα που χρησιμοποιούνται εκτεταμένα στη φυσική επιταχυντών.Το Κεφάλαιο 5 αυτής της διατριβής, ασχολείται με ένα λειτουργικό πρόβλημα του HL-LHC το οποίοείναι ο μετριασμός των μακράς εμβέλειας αλληλεπιδράσεων μεταξύ των δέσμεων (BBLR). Αυτές οιBBLR αλληλεπιδράσεις μπορούν να μειώσουν σημαντικά τις επιδόσεις του HL-LHC συνεπώς, ηχρήση DC καλωδίων ως συσκευές αποζημίωσης μελετήθηκε. Αναλυτικές σχέσεις για τους όρουςσυντονισμού και τη διασπορά τόνου συναρτήσει των αρχικών συνθηκών που προκαλούνται από τιςBBLR αλληλεπιδράσεις και το μαγνητικό πεδίο των καλωδίων παρουσιάζονται. Χρησιμοποιώνταςαυτά τα αποτελέσματα ως οδηγούς για τις αριθμητικές μελέτες, δείχθηκε ότι με τη σωστή ρύθμιση τωνDC καλωδίων, χωρίς να παραβιάζονται οι προστατευτικοί περιορισμοί, τα καταστρεπτικάαποτελέσματα των BBLR αλληλεπιδράσεον μπορούν να μειωθούν σημαντικα. Επισης, νέα βασικά καιαπόλυτα σενάρια για τον HL-LHC με μικρότερη γωνία διασταύρωσης βρέθηκαν. Αυτά τα σενάριαείναι λειτουργικά (καλός χρόνος ζωής) μόνο με τη χρήση καλωδίων αποζημίωσης και μπορούν ναχρησιμοποιηθούν ως συμπληρωματικά τον αρχικών σεναρίων για τη βελτίωση της συνολικήςλαμπρότητας και της λειτουργικής ευελιξίας του μηχανήματος.Τέλος στο Κεφάλαιο 6 συνοψίζονται τα αποτελέσματα αυτής της διατριβής.

Revisiting high-order Taylor methods for astrodynamics and celestial mechanics

We present heyoka, a new, modern and general-purpose implementation of Taylor’s integration method for the numerical solution of ordinary differential equations. Detailed numerical tests focused on difficult high-precision gravitational problems in astrodynamics and celestial mechanics show how our general-purpose integrator is competitive with and often superior to state-of-the-art specialised symplectic and non-symplectic integrators in both speed and accuracy. In particular, we show how Taylor methods are capable of satisfying Brouwer’s law for the conservation of energy in long-term integrations of planetary systems over billions of dynamical timescales. We also show how close encounters are modelled accurately during simulations of the formation of the Kirkwood gaps and of Apophis’ 2029 close encounter with the Earth (where heyoka surpasses the speed and accuracy of domain-specific methods). heyoka can be used from both C++ and Python, and it is publicly available as an open-source project.

Lie Group Cohomology and (Multi)Symplectic Integrators: New Geometric Tools for Lie Group Machine Learning Based on Souriau Geometric Statistical Mechanics

In this paper, we describe and exploit a geometric framework for Gibbs probability densities and the associated concepts in statistical mechanics, which unifies several earlier works on the subject, including Souriau’s symplectic model of statistical mechanics, its polysymplectic extension, Koszul model, and approaches developed in quantum information geometry. We emphasize the role of equivariance with respect to Lie group actions and the role of several concepts from geometric mechanics, such as momentum maps, Casimir functions, coadjoint orbits, and Lie-Poisson brackets with cocycles, as unifying structures appearing in various applications of this framework to information geometry and machine learning. For instance, we discuss the expression of the Fisher metric in presence of equivariance and we exploit the property of the entropy of the Souriau model as a Casimir function to apply a geometric model for energy preserving entropy production. We illustrate this framework with several examples including multivariate Gaussian probability densities, and the Bogoliubov-Kubo-Mori metric as a quantum version of the Fisher metric for quantum information on coadjoint orbits. We exploit this geometric setting and Lie group equivariance to present symplectic and multisymplectic variational Lie group integration schemes for some of the equations associated with Souriau symplectic and polysymplectic models, such as the Lie-Poisson equation with cocycle.