scholarly journals To the orthogonal expansion theory of the solution to the Cauchy problem for second-order ordinary differential equations

2018 ◽  
pp. 178-184
Author(s):  
О.Б. Арушанян ◽  
С.Ф. Залеткин
Keyword(s):  
Differential Equations ◽  
Ordinary Differential Equations ◽  
Second Order ◽  
Orthogonal Expansion ◽  
Orthogonal Expansions ◽  
Canonical Systems ◽  
Theoretical Substantiation ◽  
The Cauchy Problem ◽  
Expansion Theory ◽  
Solvability Theorem

Доказана теорема о разрешимости нелинейной системы уравнений относительно приближенных значений коэффициентов Чебышёва старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение. Теорема является теоретическим обоснованием ранее предложенного приближенного метода интегрирования канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на основе ортогональных разложений с использованием многочленов Чебышёва первого рода. A solvability theorem is proved for a nonlinear system of equations with respect to the approximate Chebyshev coefficients of the highest derivative in an ordinary differential equation. This theorem is a theoretical substantiation for the previously proposed approximate method of solving canonical systems of second-order ordinary differential equations using orthogonal expansions on the basis of Chebyshev polynomials of the first kind.

scholarly journals An implementation of the Chebyshev series method for the approximate analytical solution of second-order ordinary differential equations

2019 ◽  
pp. 97-103
Author(s):  
О.Б. Арушанян ◽  
С.Ф. Залеткин
Keyword(s):  
Differential Equations ◽  
Ordinary Differential Equations ◽  
Canonical System ◽  
Second Order ◽  
Partial Sums ◽  
Problem Solution ◽  
Chebyshev Series ◽  
Canonical Systems ◽  
The Cauchy Problem ◽  
The Right

Описан один метод по применению рядов Чебышёва для интегрирования канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Этот метод основан на аппроксимации решения задачи Коши, его первой и второй производных частичными суммами смещенных рядов Чебышёва. Коэффициенты рядов вычисляются итерационным способом с применением соотношений, связывающих коэффициенты Чебышёва решения задачи Коши, а также коэффициенты Чебышёва первой производной решения с коэффициентами Чебышёва правой части системы. Неотъемлемым элементом вычислительной схемы является использование формулы численного интегрирования Маркова для вычисления коэффициентов Чебышёва правой части системы. В статье не только сообщаются результаты, полученные численными расчетами, но и делается упор на высокоточном аналитическом представлении решения в виде частичной суммы ряда на промежутке интегрирования. A method used to apply the Chebyshev series for solving canonical systems of second order ordinary differential equations is described. This method is based on the approximation of the Cauchy problem solution and its first and second derivatives by partial sums of shifted Chebyshev series. The coefficients of these series are determined iteratively using the relations relating the Chebyshev coefficients of the solution and its first derivative with the Chebyshev coefficients found for the right-hand side of the canonical system by application of Markov's quadrature formula. The obtained numerical results are discussed and the high-precision analytical representations of the solution are proposed in the form of partial sums of Chebyshev series on a given integration segment.

scholarly journals On solvability of a nonlinear system of equations for the Fourier-Chebyshev coefficients in the problem of solving ordinary differential equations using Chebyshev series

2017 ◽  
pp. 169-174
Author(s):  
О.Б. Арушанян ◽  
С.Ф. Залеткин
Keyword(s):  
Nonlinear System ◽  
Differential Equations ◽  
Ordinary Differential Equations ◽  
Analytical Method ◽  
System Of Equations ◽  
Chebyshev Series ◽  
Nonlinear System Of Equations ◽  
Theoretical Substantiation ◽  
Solvability Theorem ◽  
Numerical Analytical Method

Сформулирована и доказана теорема о разрешимости нелинейной системы уравнений относительно приближенных значений коэффициентов Фурье-Чебышёва. Теорема является теоретическим обоснованием ранее предложенного численно-аналитического метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием рядов Чебышёва. A solvability theorem for a nonlinear system of equations with respect to approximate values of Fourier-Chebyshev coefficients is formulated and proved. This theorem is a theoretical substantiation for the previously proposed numerical-analytical method of solving ordinary differential equations using Chebyshev series.

The Geometry of d2y1/dt2 = f (y, ẏ, t) and d2y2/dt2 = g(y, ẏ, t), and Euclidean Spaces

2006 ◽  
Vol 49 (2) ◽  
pp. 170-184
Author(s):  
Richard Atkins
Keyword(s):  
Differential Equations ◽  
Ordinary Differential Equations ◽  
Shortest Paths ◽  
Equivalence Problem ◽  
Second Order ◽  
System Of Differential Equations ◽  
Lagrange Equations ◽  
Invariant Functions ◽  
Underlying Geometry ◽  
The Relationship

AbstractThis paper investigates the relationship between a system of differential equations and the underlying geometry associated with it. The geometry of a surface determines shortest paths, or geodesics connecting nearby points, which are defined as the solutions to a pair of second-order differential equations: the Euler–Lagrange equations of the metric. We ask when the converse holds, that is, when solutions to a system of differential equations reveals an underlying geometry. Specifically, when may the solutions to a given pair of second order ordinary differential equations d2y1/dt2 = f (y, ẏ, t) and d2y2/dt2 = g(y, ẏ, t) be reparameterized by t → T(y, t) so as to give locally the geodesics of a Euclidean space? Our approach is based upon Cartan's method of equivalence. In the second part of the paper, the equivalence problem is solved for a generic pair of second order ordinary differential equations of the above form revealing the existence of 24 invariant functions.

Sign in / Sign up

Export Citation Format

Share Document