scholarly journals Mixed volumes of hypersimplices

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Gaku Liu
Keyword(s):  
Catalan Numbers ◽  
Binomial Coefficients ◽  
Type B ◽  
Combinatorial Interpretation ◽  
Mixed Volumes ◽  
Eulerian Numbers ◽  
Eulerian Number ◽  
Nous Montrons ◽  
Set Of Permutations ◽  
International Audience

International audience In this extended abstract we consider mixed volumes of combinations of hypersimplices. These numbers, called mixed Eulerian numbers, were first considered by A. Postnikov and were shown to satisfy many properties related to Eulerian numbers, Catalan numbers, binomial coefficients, etc. We give a general combinatorial interpretation for mixed Eulerian numbers and prove the above properties combinatorially. In particular, we show that each mixed Eulerian number enumerates a certain set of permutations in $S_n$. We also prove several new properties of mixed Eulerian numbers using our methods. Finally, we consider a type $B$ analogue of mixed Eulerian numbers and give an analogous combinatorial interpretation for these numbers. Dans ce résumé étendu nous considérons les volumes mixtes de combinaisons d’hyper-simplexes. Ces nombres, appelés les nombres Eulériens mixtes, ont été pour la première fois étudiés par A. Postnikov, et il a été montré qu’ils satisfont à de nombreuses propriétés reliées aux nombres Eulériens, au nombres de Catalan, aux coefficients binomiaux, etc. Nous donnons une interprétation combinatoire générale des nombres Eulériens mixtes, et nous prouvons combinatoirement les propriétés mentionnées ci-dessus. En particulier, nous montrons que chaque nombre Eulérien mixte compte les éléments d’un certain sous-ensemble de l’ensemble des permutations $S_n$. Nous établissons également plusieurs nouvelles propriétés des nombres Eulériens mixtes grâce à notre méthode. Pour finir, nous introduisons une généralisation en type $B$ des nombres Eulériens mixtes, et nous en donnons une interprétation combinatoire analogue.

scholarly journals Mixed Volumes of Hypersimplices

10.37236/5770 ◽  
2016 ◽  
Vol 23 (3) ◽  
Author(s):  
Gaku Liu
Keyword(s):  
Catalan Numbers ◽  
Binomial Coefficients ◽  
Type B ◽  
Combinatorial Interpretation ◽  
Mixed Volumes ◽  
Eulerian Numbers ◽  
Eulerian Number ◽  
Set Of Permutations

In this paper we consider mixed volumes of combinations of hypersimplices. These numbers, called "mixed Eulerian numbers", were first considered by A. Postnikov and were shown to satisfy many properties related to Eulerian numbers, Catalan numbers, binomial coefficients, etc. We give a general combinatorial interpretation for mixed Eulerian numbers and prove the above properties combinatorially. In particular, we show that each mixed Eulerian number enumerates a certain set of permutations in $S_n$. We also prove several new properties of mixed Eulerian numbers using our methods. Finally, we consider a type B analogue of mixed Eulerian numbers and give an analogous combinatorial interpretation for these numbers.

scholarly journals Statistics on Lattice Walks and q-Lassalle Numbers

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Lenny Tevlin
Keyword(s):  
Positive Integer ◽  
Generating Function ◽  
Catalan Numbers ◽  
Binomial Coefficients ◽  
Integer Coefficients ◽  
Major Index ◽  
Lattice Walks ◽  
International Audience ◽  
The Difference ◽  
Positive Integers

International audience This paper contains two results. First, I propose a $q$-generalization of a certain sequence of positive integers, related to Catalan numbers, introduced by Zeilberger, see Lassalle (2010). These $q$-integers are palindromic polynomials in $q$ with positive integer coefficients. The positivity depends on the positivity of a certain difference of products of $q$-binomial coefficients.To this end, I introduce a new inversion/major statistics on lattice walks. The difference in $q$-binomial coefficients is then seen as a generating function of weighted walks that remain in the upper half-plan. Cet document contient deux résultats. Tout d’abord, je vous propose un $q$-generalization d’une certaine séquence de nombres entiers positifs, liés à nombres de Catalan, introduites par Zeilberger (Lassalle, 2010). Ces $q$-integers sont des polynômes palindromiques à $q$ à coefficients entiers positifs. La positivité dépend de la positivité d’une certaine différence de produits de $q$-coefficients binomial.Pour ce faire, je vous présente une nouvelle inversion/major index sur les chemins du réseau. La différence de $q$-binomial coefficients est alors considérée comme une fonction de génération de trajets pondérés qui restent dans le demi-plan supérieur.

scholarly journals Pattern avoidance in alternating permutations and tableaux (extended abstract)

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Joel Brewster Lewis
Keyword(s):  
Pattern Avoidance ◽  
Catalan Numbers ◽  
Young Tableaux ◽  
Alternating Permutations ◽  
Special Cases ◽  
Nous Montrons ◽  
Insertion Algorithm ◽  
Generating Trees ◽  
International Audience ◽  
Standard Young Tableaux

International audience We give bijective proofs of pattern-avoidance results for a class of permutations generalizing alternating permutations. The bijections employed include a modified form of the RSK insertion algorithm and recursive bijections based on generating trees. As special cases, we show that the sets $A_{2n}(1234)$ and $A_{2n}(2143)$ are in bijection with standard Young tableaux of shape $\langle 3^n \rangle$. Alternating permutations may be viewed as the reading words of standard Young tableaux of a certain skew shape. In the last section of the paper, we study pattern avoidance in the reading words of standard Young tableaux of any skew shape. We show bijectively that the number of standard Young tableaux of shape $\lambda / \mu$ whose reading words avoid $213$ is a natural $\mu$-analogue of the Catalan numbers. Similar results for the patterns $132$, $231$ and $312$. Nous présentons des preuves bijectives de résultats pour une classe de permutations à motifs exclus qui généralisent les permutations alternantes. Les bijections utilisées reposent sur une modification de l'algorithme d'insertion "RSK" et des bijections récursives basées sur des arbres de génération. Comme cas particuliers, nous montrons que les ensembles $A_{2n}(1234)$ et $A_{2n}(2143)$ sont en bijection avec les tableaux standards de Young de la forme $\langle 3^n \rangle$. Une permutation alternante peut être considérée comme le mot de lecture de certain skew tableau. Dans la dernière section de l'article, nous étudions l'évitement des motifs dans les mots de lecture de skew tableaux généraux. Nous montrons bijectivement que le nombre de tableaux standards de forme $\lambda / \mu$ dont les mots de lecture évitent $213$ est un $\mu$-analogue naturel des nombres de Catalan. Des résultats analogues sont valables pour les motifs $132$, $231$ et $312$.

scholarly journals The down operator and expansions of near rectangular k-Schur functions

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Chris Berg ◽  
Franco Saliola ◽  
Luis Serrano
Keyword(s):  
Weyl Group ◽  
Schur Functions ◽  
Nous Obtenons ◽  
Combinatorial Interpretation ◽  
Affine Weyl Group ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We prove that the Lam-Shimozono ``down operator'' on the affine Weyl group induces a derivation of the affine Fomin-Stanley subalgebra of the affine nilCoxeter algebra. We use this to verify a conjecture of Berg, Bergeron, Pon and Zabrocki describing the expansion of k-Schur functions of ``near rectangles'' in the affine nilCoxeter algebra. Consequently, we obtain a combinatorial interpretation of the corresponding k-Littlewood–Richardson coefficients. Nous montrons que l’opérateur ``down'', défini par Lam et Shimozono sur le groupe de Weyl affine, induit une dérivation de la sous-algèbre affine de Fomin-Stanley de l'algèbre affine de nilCoxeter. Nous employons cette dérivation pour vérifier une conjecture de Berg, Bergeron, Pon et Zabrocki sur l'expansion des k-fonctions de Schur indexées par les partitions qui sont ``presque rectangles''. Par conséquent, nous obtenons une interprétation combinatoire des k-coefficients de Littlewood–Richardson correspondants.

scholarly journals Unital versions of the higher order peak algebras

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Marcelo Aguiar ◽  
Jean-Christophe Novelli ◽  
Jean-Yves Thibon
Keyword(s):  
Higher Order ◽  
Type B ◽  
The Third ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We construct unital extensions of the higher order peak algebras defined by Krob and the third author in [Ann. Comb. 9 (2005), 411―430], and show that they can be obtained as homomorphic images of certain subalgebras of the Mantaci-Reutenauer algebras of type $B$. This generalizes a result of Bergeron, Nyman and the first author [Trans. AMS 356 (2004), 2781―2824]. Nous construisons des extensions unitaires des algèbres de pics d'ordre supérieur définies par Krob et le troisième auteur dans [Ann. Comb. 9 (2005), 411―430], et nous montrons qu'elles peuvent être obtenues comme images homomorphes de certaines sous-algèbres des algèbres de Mantaci-Reutenauer de type $B$. Ceci généralise un résultat dû à Bergeron, Nyman et au premier auteur [Trans. AMS 356 (2004), 2781―2824].

scholarly journals Semi-pointed partition posets

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Bérénice Delcroix-Oger
Keyword(s):  
Hopf Algebra ◽  
Short Description ◽  
Characteristic Polynomials ◽  
Combinatorial Interpretation ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We present here a family of posets which generalizes both partition and pointed partition posets. After a short description of these new posets, we show that they are Cohen-Macaulay, compute their Moebius numbers and their characteristic polynomials. The characteristic polynomials are obtained using a combinatorial interpretation of the incidence Hopf algebra associated to these posets. Nous introduisons ici une famille de posets qui généralise à la fois les poset de partitions et les posets de partitions pointées. Après une description rapide de ces nouveaux posets, nous montrons qu’ils sont Cohen-Macaulay et nous calculons leurs nombres de Moebius et leurs polynômes caractéristiques. Ces derniers sont obtenus grâce à une interprétation combinatoire de l’algèbre de Hopf d’incidence associée à ces posets.

scholarly journals The Homology of the Real Complement of a $k$-parabolic Subspace Arrangement

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Christopher Severs ◽  
Jacob A. White
Keyword(s):  
Morse Theory ◽  
Betti Numbers ◽  
Type A ◽  
Discrete Morse Theory ◽  
Type B ◽  
Combinatorial Interpretation ◽  
Subspace Arrangements ◽  
International Audience ◽  
Nous Utilisons ◽  
Subspace Arrangement

International audience The $k$-parabolic subspace arrangement, introduced by Barcelo, Severs and White, is a generalization of the well known $k$-equal arrangements of type-$A$ and type-$B$. In this paper we use the discrete Morse theory of Forman to study the homology of the complements of $k$-parabolic subspace arrangements. In doing so, we recover some known results of Björner et al. and provide a combinatorial interpretation of the Betti numbers for any $k$-parabolic subspace arrangement. The paper provides results for any $k$-parabolic subspace arrangement, however we also include an extended example of our methods applied to the $k$-equal arrangements of type-$A$ and type-$B$. In these cases, we obtain new formulas for the Betti numbers. L'arrangement $k$-parabolique, introduit par Barcelo, Severs et White, est une généralisation des arrangements, $k$-éguax de type $A$ et de type $B$. Dans cet article, nous utilisons la théorie de Morse discrète proposée par Forman pour étudier l'homologie des compléments d'arrangements $k$-paraboliques. Ce faisant, nous retrouvons les résultats connus de Bjorner et al. mais aussi nous fournissons une interprétation combinatoire des nombres de Betti pour des arrangements $k$-paraboliques. Ce papier fournit alors des résultats pour n'importe quel arrangement $k$-parabolique, cependant nous y présentons un exemple étendu de nos méthodes appliquées aux arrangements $k$-éguax de type $A$ et de type $B$. Pour ce cas, on obtient de nouvelles formules pour les nombres de Betti.

scholarly journals A reciprocity approach to computing generating functions for permutations with no pattern matches

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Miles Eli Jones ◽  
Jeffrey Remmel
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Generating Functions ◽  
New Method ◽  
Combinatorial Interpretation ◽  
Set Of Permutations ◽  
International Audience ◽  
Nous Utilisons

International audience In this paper, we develop a new method to compute generating functions of the form $NM_τ (t,x,y) = \sum\limits_{n ≥0} {\frac{t^n} {n!}}∑_{σ ∈\mathcal{lNM_{n}(τ )}} x^{LRMin(σ)} y^{1+des(σ )}$ where $τ$ is a permutation that starts with $1, \mathcal{NM_n}(τ )$ is the set of permutations in the symmetric group $S_n$ with no $τ$ -matches, and for any permutation $σ ∈S_n$, $LRMin(σ )$ is the number of left-to-right minima of $σ$ and $des(σ )$ is the number of descents of $σ$ . Our method does not compute $NM_τ (t,x,y)$ directly, but assumes that $NM_τ (t,x,y) = \frac{1}{/ (U_τ (t,y))^x}$ where $U_τ (t,y) = \sum_{n ≥0} U_τ ,n(y) \frac{t^n}{ n!}$ so that $U_τ (t,y) = \frac{1}{ NM_τ (t,1,y)}$. We then use the so-called homomorphism method and the combinatorial interpretation of $NM_τ (t,1,y)$ to develop recursions for the coefficient of $U_τ (t,y)$. Dans cet article, nous développons une nouvelle méthode pour calculer les fonctions génératrices de la forme $NM_τ (t,x,y) = \sum\limits_{n ≥0} {\frac{t^n} {n!}}∑_{σ ∈\mathcal{lNM_{n}(τ )}} x^{LRMin(σ)} y^{1+des(σ )}$ où τ est une permutation, $\mathcal{NM_n}(τ )$ est l'ensemble des permutations dans le groupe symétrique $S_n$ sans $τ$-matches, et pour toute permutation $σ ∈S_n$, $LRMin(σ )$ est le nombre de minima de gauche à droite de $σ$ et $des(σ )$ est le nombre de descentes de $σ$ . Notre méthode ne calcule pas $NM_τ (t,x,y)$ directement, mais suppose que $NM_τ (t,x,y) = \frac{1}{/ (U_τ (t,y))^x}$ où $U_τ (t,y) = \sum_{n ≥0} U_τ ,n(y) \frac{t^n}{ n!}$ de sorte que $U_τ (t,y) = \frac{1}{ NM_τ (t,1,y)}$. Nous utilisons ensuite la méthode dite "de l'homomorphisme'' et l'interprétation combinatoire de $NM_τ (t,1,y)$ pour développer des récursions sur le coefficient de $U_τ (t,y)$.

scholarly journals Crossings and nestings in set partitions of classical types

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Martin Rubey ◽  
Christian Stump
Keyword(s):  
Nous Avons ◽  
Type A ◽  
The Other ◽  
Type B ◽  
Set Partition ◽  
Set Partitions ◽  
Type D ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
The One

International audience In this extended abstract, we investigate bijections on various classes of set partitions of classical types that preserve openers and closers. On the one hand we present bijections for types $B$ and $C$ that interchange crossings and nestings, which generalize a construction by Kasraoui and Zeng for type $A$. On the other hand we generalize a bijection to type $B$ and $C$ that interchanges the cardinality of a maximal crossing with the cardinality of a maximal nesting, as given by Chen, Deng, Du, Stanley and Yan for type $A$. For type $D$, we were only able to construct a bijection between non-crossing and non-nesting set partitions. For all classical types we show that the set of openers and the set of closers determine a non-crossing or non-nesting set partition essentially uniquely. Dans ce résumé, nous étudions des bijections entre diverses classes de partitions d'ensemble de types classiques qui préservent les "openers'' et les "closers''. D'une part, nous présentons des bijections pour les types $B$ et $C$ qui échangent croisées et emboôtées, qui généralisent une construction de Kasraoui et Zeng pour le type $A$. D'autre part, nous généralisons une bijection pour le type $B$ et $C$ qui échange la cardinalité d'un croisement maximal avec la cardinalité d'un emboîtement maximal comme il a été fait par Chen, Deng, Du, Stanley et Yan pour le type $A$. Pour le type $D$, nous avons seulement construit une bijection entre les partitions non croisées et non emboîtées. Pour tout les types classiques, nous montrons que l'ensemble des "openers'' et l'ensemble des "closers'' déterminent une partition non croisées ou non emboîtées essentiellement de façon unique.

scholarly journals Kazhdan-Lusztig polynomials of boolean elements

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Pietro Mongelli
Keyword(s):  
Coxeter Groups ◽  
Catalan Numbers ◽  
Weyl Groups ◽  
Schubert Varieties ◽  
Intersection Homology ◽  
Combinatorial Interpretation ◽  
Coxeter Graph ◽  
Signed Permutations ◽  
International Audience ◽  
Product Formulas

International audience We give closed combinatorial product formulas for Kazhdan–Lusztig poynomials and their parabolic analogue of type $q$ in the case of boolean elements, introduced in [M. Marietti, Boolean elements in Kazhdan–Lusztig theory, J. Algebra 295 (2006)], in Coxeter groups whose Coxeter graph is a tree. Such formulas involve Catalan numbers and use a combinatorial interpretation of the Coxeter graph of the group. In the case of classical Weyl groups, this combinatorial interpretation can be restated in terms of statistics of (signed) permutations. As an application of the formulas, we compute the intersection homology Poincaré polynomials of the Schubert varieties of boolean elements. Nous donnons des formules combinatoires pour les polynômes de Kazhdan-Lusztig et leurs analogues paraboliques de type $q$ pour les éléments booléens, introduite dans [M. Marietti, Boolean elements in Kazhdan–Lusztig theory, J. Algebra 295 (2006)], dans les groupes de Coxeter dont le graphe de Coxeter est un arbre. Ces formules utilisent les nombres de Catalan et une interprétation combinatoire des graphes du groupe de Coxeter. Dans le cas des groupes de Weyl classiques, cette interprétation combinatoire peut être reformulée en termes de statistiques de permutations avec signe. Avec ces formules, on peut calculer le polynôme de l’intersection homologie de Poincaré pour la variété de Schubert de éléments booléens.

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