scholarly journals A Pieri rule for skew shapes

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Sami H. Assaf ◽  
Peter R. W. McNamara
Keyword(s):  
Schur Functions ◽  
Classical Case ◽  
Combinatorial Proof ◽  
Schur Function ◽  
Single Row ◽  
Skew Schur Function ◽  
International Audience ◽  
Skew Schur Functions

International audience The Pieri rule expresses the product of a Schur function and a single row Schur function in terms of Schur functions. We extend the classical Pieri rule by expressing the product of a skew Schur function and a single row Schur function in terms of skew Schur functions. Like the classical rule, our rule involves simple additions of boxes to the original skew shape. Our proof is purely combinatorial and extends the combinatorial proof of the classical case. La règle de Pieri exprime le produit d'une fonction de Schur et de la fonction de Schur d'une seule ligne en termes de fonctions de Schur. Nous étendons la règle classique de Pieri en exprimant le produit d'un fonction gauche de Schur et de la fonction de Schur d'une ligne en termes de fonctions gauches de Schur. Comme la règle classique, notre règle implique l'ajout de cases à la forme gauche initiale. Notre preuve est purement combinatoire et étend celle du cas classique.

scholarly journals Skew quantum Murnaghan-Nakayama rule

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Matjaž Konvalinka
Keyword(s):  
Schur Functions ◽  
Schur Function ◽  
Original Proof ◽  
Power Sum ◽  
General Identity ◽  
Skew Schur Function ◽  
International Audience ◽  
Skew Schur Functions

International audience In this extended abstract, we extend recent results of Assaf and McNamara, the skew Pieri rule and the skew Murnaghan-Nakayama rule, to a more general identity, which gives an elegant expansion of the product of a skew Schur function with a quantum power sum function in terms of skew Schur functions. We give two proofs, one completely bijective in the spirit of Assaf-McNamara's original proof, and one via Lam-Lauve-Sotille's skew Littlewood-Richardson rule. Dans cet article nous élargissons le cadre de résultats récents de Assaf et McNamara, la règle dissymétrique de Pieri et la règle dissymétrique de Murnaghan-Nakayama, pour obtenir une identité plus générale donnant un développement élégant du produit de la fonction de Schur dissymétrique par une somme de puissances quantiques, en termes de fonctions de Schur dissymétriques. Nous donnons deux démonstrations, la première suivant l'approche de Assaf-McNamara et la deuxième par le biais de la règle dissymétrique de Littlewood-Richardson obtenue par Lam-Lauve-Sotille.

scholarly journals A Hopf Algebraic Approach to Schur Function Identities

10.37236/5741 ◽  
2017 ◽  
Vol 24 (3) ◽  
Author(s):  
Karen Yeats
Keyword(s):  
Hopf Algebra ◽  
Symmetric Functions ◽  
Algebraic Approach ◽  
Schur Functions ◽  
Schur Function ◽  
Skew Schur Function ◽  
Skew Schur Functions

Using cocommutativity of the Hopf algebra of symmetric functions, certain skew Schur functions are proved to be equal. Some of these skew Schur function identities are new.

scholarly journals Skew Littlewood―Richardson rules from Hopf algebras

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Thomas Lam ◽  
Aaron Lauve ◽  
Frank Sottile
Keyword(s):  
Hopf Algebras ◽  
Symplectic Group ◽  
Schur Functions ◽  
Affine Grassmannian ◽  
International Audience ◽  
Pieri Rules ◽  
Skew Schur Functions ◽  
Nous Utilisons

International audience We use Hopf algebras to prove a version of the Littlewood―Richardson rule for skew Schur functions, which implies a conjecture of Assaf and McNamara. We also establish skew Littlewood―Richardson rules for Schur $P-$ and $Q-$functions and noncommutative ribbon Schur functions, as well as skew Pieri rules for k-Schur functions, dual k-Schur functions, and for the homology of the affine Grassmannian of the symplectic group. Nous utilisons des algèbres de Hopf pour prouver une version de la règle de Littlewood―Richardson pour les fonctions de Schur gauches, qui implique une conjecture d'Assaf et McNamara. Nous établissons également des règles de Littlewood―Richardson gauches pour les $P-$ et $Q-$fonctions de Schur et les fonctions de Schur rubbans non commutatives, ainsi que des règles de Pieri gauches pour les $k-$fonctions de Schur, les $k-$fonctions de Schur duales, et pour l'homologie de la Grassmannienne affine du groupe symplectique.

scholarly journals Quasisymmetric Schur functions

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
James Haglund ◽  
Sarah Mason ◽  
Kurt Luoto ◽  
Steph van Willigenburg
Keyword(s):  
Schur Functions ◽  
Quasisymmetric Function ◽  
Schur Function ◽  
Quasisymmetric Functions ◽  
International Audience ◽  
Quasisymmetric Schur Functions

International audience We introduce a new basis for the algebra of quasisymmetric functions that naturally partitions Schur functions, called quasisymmetric Schur functions. We describe their expansion in terms of fundamental quasisymmetric functions and determine when a quasisymmetric Schur function is equal to a fundamental quasisymmetric function. We conclude by describing a Pieri rule for quasisymmetric Schur functions that naturally generalizes the Pieri rule for Schur functions. Nous étudions une nouvelle base des fonctions quasisymétriques, les fonctions de quasiSchur. Ces fonctions sont obtenues en spécialisant les fonctions de Macdonald dissymétrique. Nous décrivons les compositions que donne une simple fonction quasisymétriques. Nous décrivons aussi une règle par certaines fonctions de Schur.

scholarly journals The Murnaghan―Nakayama rule for k-Schur functions

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jason Bandlow ◽  
Anne Schilling ◽  
Mike Zabrocki
Keyword(s):  
Explicit Formula ◽  
Symmetric Function ◽  
Symmetric Functions ◽  
Schur Functions ◽  
Schur Function ◽  
Noncommutative Symmetric Functions ◽  
Power Sum ◽  
International Audience

International audience We prove a Murnaghan–Nakayama rule for k-Schur functions of Lapointe and Morse. That is, we give an explicit formula for the expansion of the product of a power sum symmetric function and a k-Schur function in terms of k-Schur functions. This is proved using the noncommutative k-Schur functions in terms of the nilCoxeter algebra introduced by Lam and the affine analogue of noncommutative symmetric functions of Fomin and Greene. Nous prouvons une règle de Murnaghan-Nakayama pour les fonctions de k-Schur de Lapointe et Morse, c'est-à-dire que nous donnons une formule explicite pour le développement du produit d'une fonction symétrique "somme de puissances'' et d'une fonction de k-Schur en termes de fonctions k-Schur. Ceci est prouvé en utilisant les fonctions non commutatives k-Schur en termes d'algèbre nilCoxeter introduite par Lam et l'analogue affine des fonctions symétriques non commutatives de Fomin et Greene.

scholarly journals Row-strict quasisymmetric Schur functions

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Sarah K Mason ◽  
Jeffrey Remmel
Keyword(s):  
Schur Functions ◽  
Schur Function ◽  
Nous Obtenons ◽  
Schur Polynomials ◽  
Quasisymmetric Functions ◽  
International Audience ◽  
Quasisymmetric Schur Functions ◽  
The Relationship

International audience Haglund, Luoto, Mason, and van Willigenburg introduced a basis for quasisymmetric functions called the $\textit{quasisymmetric Schur function basis}$ which are generated combinatorially through fillings of composition diagrams in much the same way as Schur functions are generated through reverse column-strict tableaux. We introduce a new basis for quasisymmetric functions called the $\textit{row-strict quasisymmetric Schur function basis}$ which are generated combinatorially through fillings of composition diagrams in much the same way as Schur functions are generated through row-strict tableaux. We describe the relationship between this new basis and other known bases for quasisymmetric functions, as well as its relationship to Schur polynomials. We obtain a refinement of the omega transform operator as a result of these relationships. Haglund, Luoto, Mason, et van Willigenburg ont introduit une base pour les fonctions quasi-symétriques appelée $\textit{base des fonctions de Schur quasi-symétriques}$, qui sont construites en remplissant des diagrammes de compositions, d'une manière très semblable à la construction des fonctions de Schur à partir des tableaux "column-strict'' (ordre strict sur les colonnes). Nous introduisons une nouvelle base pour les fonctions quasi-symétriques appelée $\textit{base des fonctions de Schur quasi-symétriques "row-strict''}$, qui sont construites en remplissant des diagrammes de compositions, d'une manière très semblable à la construction des fonctions de Schur à partir des tableaux "row-strict'' (ordre strict sur les lignes). Nous décrivons la relation entre cette nouvelle base et d'autres bases connues pour les fonctions quasi-symétriques, ainsi que ses relations avec les polynômes de Schur. Nous obtenons un raffinement de l'opérateur oméga comme conséquence de ces relations.

scholarly journals A Parking Function Setting for Nabla Images of Schur Functions

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Yeonkyung Kim
Keyword(s):  
Schur Functions ◽  
Schur Function ◽  
Weighted Sum ◽  
Parking Functions ◽  
Parking Function ◽  
Nabla Operator ◽  
International Audience ◽  
Shuffle Conjecture

International audience In this article, we show how the compositional refinement of the ``Shuffle Conjecture'' due to Jim Haglund, Jennifer Morse, and Mike Zabrocki can be used to express the image of a Schur function under the Bergeron-Garsia Nabla operator as a weighted sum of a suitable collection of ``Parking Functions.'' The validity of these expressions is, of course, going to be conjectural until the compositional refinement of the Shuffle Conjecture is established.

scholarly journals A Littlewood-Richardson type rule for row-strict quasisymmetric Schur functions

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jeffrey Ferreira
Keyword(s):  
Positive Integer ◽  
Schur Functions ◽  
Schur Function ◽  
International Audience ◽  
Quasisymmetric Schur Functions

International audience We establish several properties of an algorithm defined by Mason and Remmel (2010) which inserts a positive integer into a row-strict composition tableau. These properties lead to a Littlewood-Richardson type rule for expanding the product of a row-strict quasisymmetric Schur function and a symmetric Schur function in terms of row-strict quasisymmetric Schur functions. Nous établissons plusieurs propriétés d'un algorithme défini par Mason et Remmel (2010), qui insère un entier positif dans un tableau dont la forme est une composition, avec ordre strict sur les lignes (row-strict). Ces propriétés conduisent à une règle de type Littlewood-Richardson pour étendre le produit d'une fonction de Schur quasi-symétrique "row-strict'' et d'une fonction de Schur symétrique en termes de fonctions de Schur quasi-symétriques "row-strict''.

scholarly journals Powers of the Vandermonde determinant, Schur functions, and the dimension game

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Cristina Ballantine
Keyword(s):  
Young Diagram ◽  
Schur Functions ◽  
Symmetric Polynomial ◽  
Nous Allons ◽  
Vandermonde Determinant ◽  
Schur Function ◽  
Combinatorial Properties ◽  
International Audience

International audience Since every even power of the Vandermonde determinant is a symmetric polynomial, we want to understand its decomposition in terms of the basis of Schur functions. We investigate several combinatorial properties of the coefficients in the decomposition. In particular, I will give a recursive approach for computing the coefficient of the Schur function $s_μ$ in the decomposition of an even power of the Vandermonde determinant in $n+1$ variables in terms of the coefficient of the Schur function $s_λ$ in the decomposition of the same even power of the Vandermonde determinant in $n$ variables if the Young diagram of $μ$ is obtained from the Young diagram of $λ$ by adding a tetris type shape to the top or to the left. Comme toute puissance paire du déterminant de Vandermonde est un polynôme symétrique, nous voulons comprendre sa décomposition dans la base des fonctions de Schur. Nous allons étudier plusieurs propriétés combinatoires des coefficients de la décomposition. En particulier, nous allons donner une approche récursive pour le calcul du coefficient de la fonction de Schur $s_μ$ dans la décomposition d'une puissance paire du déterminant de Vandermonde en $n+1$ variables, en fonction du coefficient de la fonction de Schur $s_λ$ dans la décomposition de la même puissance paire du déterminant de Vandermonde en $n$ variables, lorsque le diagramme de Young de $μ$ est obtenu à partir du diagramme de Young de $λ$ par l'addition d'une forme de type tetris vers le haut ou vers la gauche.

scholarly journals Refinements of the Littlewood-Richardson rule

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
J. Haglund ◽  
K. Luoto ◽  
S. Mason ◽  
S. van Willigenburg
Keyword(s):  
Schur Functions ◽  
Schur Function ◽  
Combinatorial Formula ◽  
Demazure Characters ◽  
International Audience ◽  
Demazure Character ◽  
Quasisymmetric Schur Functions

International audience We refine the classical Littlewood-Richardson rule in several different settings. We begin with a combinatorial rule for the product of a Demazure atom and a Schur function. Building on this, we also describe the product of a quasisymmetric Schur function and a Schur function as a positive sum of quasisymmetric Schur functions. Finally, we provide a combinatorial formula for the product of a Demazure character and a Schur function as a positive sum of Demazure characters. This last rule implies the classical Littlewood-Richardson rule for the multiplication of two Schur functions. Nous décrivons trois nouvelles règles de Littlewood-Richardson, et chaque nouvelle règle partage la vieille règle de Littlewood-Richardson. La première règle multiplie un atome de Demazure et une fonction de Schur. La deuxième multiplie une fonction de quasisymmetric-Schur et une fonction de Schur. La troisième multiplie un caractère de Demazure et une fonction de Schur. Cette dernière règle est une description de la vieille règle de Littlewood-Richardson.

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