scholarly journals Cofree compositions of coalgebras

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Stefan Forcey ◽  
Aaron Lauve ◽  
Frank Sottile
Keyword(s):  
Hopf Algebra ◽  
Category Theory ◽  
The Other ◽  
Nous Concluons ◽  
Nous Montrons ◽  
Higher Category Theory ◽  
International Audience ◽  
Graded Coalgebra

International audience We develop the notion of the composition of two coalgebras, which arises naturally in higher category theory and the theory of species. We prove that the composition of two cofree coalgebras is cofree and give conditions which imply that the composition is a one-sided Hopf algebra. These conditions hold when one coalgebra is a graded Hopf operad $\mathcal{D}$ and the other is a connected graded coalgebra with coalgebra map to $\mathcal{D}$. We conclude with examples of these structures, where the factor coalgebras have bases indexed by the vertices of multiplihedra, composihedra, and hypercubes. Nous développons la notion de composition de coalgèbres, qui apparaît naturellement dans la théorie des catégories d'ordre supérieur et dans la théorie des espèces. Nous montrons que la composée de deux coalgèbres colibres est colibre et nous donnons des conditions qui impliquent que la composée est une algèbre de Hopf unilatérale. Ces conditions sont valables quand l'une des coalgèbres est une opérade de Hopf graduée $\mathcal{D}$ et l'autre est une coalgèbre graduée connexe avec un morphisme vers $\mathcal{D}$. Nous concluons avec des exemples de ces structures, où les coalgèbres composées ont des bases indexées par les sommets de multiplièdres, de composièdres, et d'hypercubes.

scholarly journals The cluster and dual canonical bases of Z [x_11, ..., x_33] are equal

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Brendon Rhoades
Keyword(s):  
Quantum Group ◽  
Polynomial Ring ◽  
Geometric Model ◽  
Cluster Algebra ◽  
Canonical Basis ◽  
The Other ◽  
Monomial Basis ◽  
Dual Canonical Basis ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience The polynomial ring $\mathbb{Z}[x_{11}, . . . , x_{33}]$ has a basis called the dual canonical basis whose quantization facilitates the study of representations of the quantum group $U_q(\mathfrak{sl}3(\mathbb{C}))$. On the other hand, $\mathbb{Z}[x_{11}, . . . , x_{33}]$ inherits a basis from the cluster monomial basis of a geometric model of the type $D_4$ cluster algebra. We prove that these two bases are equal. This extends work of Skandera and proves a conjecture of Fomin and Zelevinsky. This also provides an explicit factorization of the dual canonical basis elements of $\mathbb{Z}[x_{11}, . . . , x_{33}]$ into irreducible polynomials. L'anneau de polynômes $\mathbb{Z}[x_{11}, . . . , x_{33}]$ a une base appelée base duale canonique, et dont une quantification facilite l'étude des représentations du groupe quantique $U_q(\mathfrak{sl}3(\mathbb{C}))$. D'autre part, $\mathbb{Z}[x_{11}, . . . , x_{33}]$ admet une base issue de la base des monômes d'amas de l'algèbre amassée géométrique de type $D_4$. Nous montrons que ces deux bases sont égales. Ceci prolonge les travaux de Skandera et démontre une conjecture de Fomin et Zelevinsky. Ceci fournit également une factorisation explicite en polynômes irréductibles des éléments de la base duale canonique de $\mathbb{Z}[x_{11}, . . . , x_{33}]$ .

scholarly journals Supercharacters, symmetric functions in noncommuting variables (extended abstract)

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Marcelo Aguiar ◽  
Carlos André ◽  
Carolina Benedetti ◽  
Nantel Bergeron ◽  
Zhi Chen ◽  
...  
Keyword(s):  
Hopf Algebra ◽  
Fourier Analysis ◽  
Finite Field ◽  
Hopf Algebras ◽  
Symmetric Functions ◽  
Combinatorial Hopf Algebras ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We identify two seemingly disparate structures: supercharacters, a useful way of doing Fourier analysis on the group of unipotent uppertriangular matrices with coefficients in a finite field, and the ring of symmetric functions in noncommuting variables. Each is a Hopf algebra and the two are isomorphic as such. This allows developments in each to be transferred. The identification suggests a rich class of examples for the emerging field of combinatorial Hopf algebras. Nous montrons que deux structures en apparence bien différentes peuvent être identifiées: les super-caractères, qui sont un outil commode pour faire de l'analyse de Fourier sur le groupe des matrices unipotentes triangulaires supérieures à coefficients dans un corps fini, et l'anneau des fonctions symétriques en variables non-commutatives. Ces deux structures sont des algèbres de Hopf isomorphes. Cette identification permet de traduire dans une structure les dévelopements conçus pour l'autre, et suggère de nombreux exemples dans le domaine nouveau des algèbres de Hopf combinatoires.

scholarly journals Combinatorial Hopf algebra of supercharacters of type D

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Carolina Benedetti
Keyword(s):  
Hopf Algebra ◽  
Finite Field ◽  
Type A ◽  
The Other ◽  
Algebra Structure ◽  
Hopf Algebra Structure ◽  
Type D ◽  
International Audience ◽  
Supercharacter Theory ◽  
Triangular Group

International audience We provide a Hopf algebra structure on the supercharacter theory for the unipotent upper triangular group of type {D} over a finite field. Also, we make further comments with respect to types {B} and {C}. Type {A} was explored by M. Aguiar et. al (2010), thus this extended abstract is a contribution to understand combinatorially the supercharacter theory of the other classical Lie types. Dotamos con una estructura de álgebra de Hopf la teoría de supercaracteres del grupo de matrices unipotentes triangulares superiores de tipo{D} sobre un cuerpo finito. Ademas, discutimos brevemente los tipos {B} y {C}. El tipo A fue explorado por M. Aguiar et al (2010), por lo tanto este resumen extendido es una contribución para entender combinatoriamente la teoría de supercaracteres de los otros tipos de Lie clásicos. Nous construisons une structure d'algèbre de Hopf sur la thérie des supercharactères du groupe de matrices unipotentes triangulaires supéieures de type {D}. Nous donnons aussi quelques commentaires à l'égard des types {B} et {C} . Le type {A} a été explorée par M. Aguiar et al. (2010), donc ce résumé étendu est une contribution à la théorie combinatoire des supercharactères pour les autres types de Lie classiques. \par

scholarly journals Semi-pointed partition posets

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Bérénice Delcroix-Oger
Keyword(s):  
Hopf Algebra ◽  
Short Description ◽  
Characteristic Polynomials ◽  
Combinatorial Interpretation ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We present here a family of posets which generalizes both partition and pointed partition posets. After a short description of these new posets, we show that they are Cohen-Macaulay, compute their Moebius numbers and their characteristic polynomials. The characteristic polynomials are obtained using a combinatorial interpretation of the incidence Hopf algebra associated to these posets. Nous introduisons ici une famille de posets qui généralise à la fois les poset de partitions et les posets de partitions pointées. Après une description rapide de ces nouveaux posets, nous montrons qu’ils sont Cohen-Macaulay et nous calculons leurs nombres de Moebius et leurs polynômes caractéristiques. Ces derniers sont obtenus grâce à une interprétation combinatoire de l’algèbre de Hopf d’incidence associée à ces posets.

scholarly journals Meander Graphs

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Christine E. Heitsch ◽  
Prasad Tetali
Keyword(s):  
Monte Carlo ◽  
Markov Chain ◽  
Markov Chain Monte Carlo ◽  
Closed Loop ◽  
The Other ◽  
Mixing Times ◽  
Worst Case ◽  
Uniform Sampling ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We consider a Markov chain Monte Carlo approach to the uniform sampling of meanders. Combinatorially, a meander $M = [A:B]$ is formed by two noncrossing perfect matchings, above $A$ and below $B$ the same endpoints, which form a single closed loop. We prove that meanders are connected under appropriate pairs of balanced local moves, one operating on $A$ and the other on $B$. We also prove that the subset of meanders with a fixed $B$ is connected under a suitable local move operating on an appropriately defined meandric triple in $A$. We provide diameter bounds under such moves, tight up to a (worst case) factor of two. The mixing times of the Markov chains remain open. Nous considérons une approche de Monte Carlo par chaîne de Markov pour l'échantillonnage uniforme des méandres. Combinatoirement, un méandre $M = [A : B]$ est constitué par deux couplages (matchings) parfaits sans intersection $A$ et $B$, définis sur le même ensemble de points alignés, et qui forment une boucle fermée simple lorsqu'on dessine $A$ "vers le haut'' et $B$ "vers le bas''. Nous montrons que les méandres sont connectés sous l'action de paires appropriées de mouvements locaux équilibrés, l'un opérant sur $A$ et l'autre sur $B$. Nous montrons également que le sous-ensemble de méandres avec un $B$ fixe est connecté sous l'action de mouvements locaux définis sur des "triplets méandriques'' de $A$. Nous fournissons des bornes sur les diamètres pour de tels mouvements, exactes à un facteur 2 près (dans le pire des cas). Les temps de mélange des chaînes de Markov demeurent une question ouverte.

scholarly journals Crossings and nestings in set partitions of classical types

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Martin Rubey ◽  
Christian Stump
Keyword(s):  
Nous Avons ◽  
Type A ◽  
The Other ◽  
Type B ◽  
Set Partition ◽  
Set Partitions ◽  
Type D ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
The One

International audience In this extended abstract, we investigate bijections on various classes of set partitions of classical types that preserve openers and closers. On the one hand we present bijections for types $B$ and $C$ that interchange crossings and nestings, which generalize a construction by Kasraoui and Zeng for type $A$. On the other hand we generalize a bijection to type $B$ and $C$ that interchanges the cardinality of a maximal crossing with the cardinality of a maximal nesting, as given by Chen, Deng, Du, Stanley and Yan for type $A$. For type $D$, we were only able to construct a bijection between non-crossing and non-nesting set partitions. For all classical types we show that the set of openers and the set of closers determine a non-crossing or non-nesting set partition essentially uniquely. Dans ce résumé, nous étudions des bijections entre diverses classes de partitions d'ensemble de types classiques qui préservent les "openers'' et les "closers''. D'une part, nous présentons des bijections pour les types $B$ et $C$ qui échangent croisées et emboôtées, qui généralisent une construction de Kasraoui et Zeng pour le type $A$. D'autre part, nous généralisons une bijection pour le type $B$ et $C$ qui échange la cardinalité d'un croisement maximal avec la cardinalité d'un emboîtement maximal comme il a été fait par Chen, Deng, Du, Stanley et Yan pour le type $A$. Pour le type $D$, nous avons seulement construit une bijection entre les partitions non croisées et non emboîtées. Pour tout les types classiques, nous montrons que l'ensemble des "openers'' et l'ensemble des "closers'' déterminent une partition non croisées ou non emboîtées essentiellement de façon unique.

scholarly journals Macdonald polynomials at $t=q^k$

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jean-Gabriel Luque
Keyword(s):  
Macdonald Polynomials ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We investigate the homogeneous symmetric Macdonald polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ for the specialization $t=q^k$. We show an identity relying the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ and $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. As a consequence, we describe an operator whose eigenvalues characterize the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous nous intéressons aux propriétés des polynômes de Macdonald symétriques $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ pour la spécialisation $t=q^k$. En particulier nous montrons une égalité reliant les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ et $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous en déduisons la description d'un opérateur dont les valeurs propres caractérisent les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$.

scholarly journals A combinatorial non-commutative Hopf algebra of graphs

2014 ◽  
Vol Vol. 16 no. 1 (Combinatorics) ◽  
Author(s):  
Adrian Tanasa ◽  
Gerard Duchamp ◽  
Loïc Foissy ◽  
Nguyen Hoang-Nghia ◽  
Dominique Manchon
Keyword(s):  
Hopf Algebra ◽  
Rooted Trees ◽  
Quantum Field ◽  
International Audience ◽  
The One ◽  
Planar Rooted Trees

Combinatorics International audience A non-commutative, planar, Hopf algebra of planar rooted trees was defined independently by one of the authors in Foissy (2002) and by R. Holtkamp in Holtkamp (2003). In this paper we propose such a non-commutative Hopf algebra for graphs. In order to define a non-commutative product we use a quantum field theoretical (QFT) idea, namely the one of introducing discrete scales on each edge of the graph (which, within the QFT framework, corresponds to energy scales of the associated propagators). Finally, we analyze the associated quadri-coalgebra and codendrifrom structures.

scholarly journals Affine descents and the Steinberg torus

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Kevin Dilks ◽  
T. Kyle Petersen ◽  
John R. Stembridge
Keyword(s):  
Weyl Group ◽  
Generating Functions ◽  
Cell Complex ◽  
Premier Lieu ◽  
Coxeter Complex ◽  
Affine Weyl Group ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Translation Subgroup

International audience Let $W \ltimes L$ be an irreducible affine Weyl group with Coxeter complex $\Sigma$, where $W$ denotes the associated finite Weyl group and $L$ the translation subgroup. The Steinberg torus is the Boolean cell complex obtained by taking the quotient of $\Sigma$ by the lattice $L$. We show that the ordinary and flag $h$-polynomials of the Steinberg torus (with the empty face deleted) are generating functions over $W$ for a descent-like statistic first studied by Cellini. We also show that the ordinary $h$-polynomial has a nonnegative $\gamma$-vector, and hence, symmetric and unimodal coefficients. In the classical cases, we also provide expansions, identities, and generating functions for the $h$-polynomials of Steinberg tori. Nous considérons un groupe de Weyl affine irréductible $W \ltimes L$ avec complexe de Coxeter $\Sigma$, où $W$ désigne le groupe de Weyl fini associé et $L$ le sous-groupe des translations. Le tore de Steinberg est le complexe cellulaire Booléen obtenu comme le quotient de $\Sigma$ par $L$. Nous montrons que les $h$-polynômes, ordinaires et de drapeaux, du tore de Steinberg (sans la face vide) sont des fonctions génératrices sur $W$ pour une statistique de type descente, étudiée en premier lieu par Cellini. Nous montrons également qu'un $h$-polynôme ordinaire possède un $\gamma$-vecteur positif, et par conséquent, a des coefficients symétriques et unimodaux. Dans les cas classiques, nous donnons également des développements, des identités et des fonctions génératrices pour les $h$-polynômes des tores de Steinberg.

scholarly journals Appsgate, a Programmable Domestic Eco-system: Learning from "Living in it"

2018 ◽  
Vol Volume 7, Number 1 (Research articles) ◽  
Author(s):  
Joëlle Coutaz ◽  
James L. Crowley
Keyword(s):  
Real World ◽  
Real Life ◽  
End Users ◽  
Team Members ◽  
Mise En Œuvre ◽  
Person Perspective ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Living Labs ◽  
First Person Perspective

International audience We present an experience with the development and evaluation of AppsGate, an ecosystem for the home that can be programmed by end-users. We show the benefits from using the homes of the project team members as real-life living-labs. In particular, we discuss the first person perspective experience as an effective way to conduct longitudinal experiments in real world settings. We conclude that a programmable habitat is desirable provided that attention cost is minimized Cet article présente un retour d’expérience avec la mise en oeuvre et l’évaluation d’AppsGate, un écosystème domestique programmable par l’habitant. Nous montrons l’apport de l’utilisation des domiciles de membres du projet tout au long du processus de développement, et notamment l’intérêt de « vivre avec » comme technique d’expérimentation longitudinale

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