Corotational formulation for dynamic analysis of flexible offshore structures

Ο στόχος αυτής της έρευνας είναι να αναπτυχθεί ένα ακριβές και αποτελεσματικό συμπεριστροφικό στοιχείο δοκού για τη δυναμική ανάλυση εύκαμπτων ϑαλασσίων κατασκευών. Η στατική διατύπωση της συμπεριστροφικής δοκού βασίζεται κυρίως στο μοντέλο του [60], εφαρμόζοντας ένα διαφορετικό σύστημα συντεταγμένων που οδηγεί σε διαφορετικές εκφράσεις της ελαστικής δύναμης και του μητρώου δυσκαμψίας. Ο τύπος του στοιχείου που εφαρμόζεται είναι ο Bernoulli. Συνεισφορά της παρούσας διατριβής όσον αφορά τη στατική συμπεριστροφική δοκό είναι ότι μελετώνται ακόλουθες δυνάμεις (follower forces) και για τον λόγο αυτό καταστρώνεται το σχετικό μητρώο διόρθωσης. Η δυνατότητα εφαρμογής της προαναφερθείσας ανάπτυξης αποδεικνύεται μέσω ενός αριθμητικού προβλήματος όπου επιτυγχάνεται καλή σύγκριση με τα μοντέλα άλλων δύο ερευνητών. Καταστρώνεται ένα γενικό και αποτελεσματικό δυναμικό μοντέλο για μια χωρική εύκαμπτη δοκό το οποίο είναι ανεξάρτητο από τις ϑεωρίες που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή των μεγάλων μετατοπίσεων και των παραμορφώσεων. Γενικά, στις ϑεωρίες μεγάλων μετατοπίσεων εμπλέκεται ένα σύστημα συντεταγμένων που οδηγεί στη συμπερίληψη ενός Coriolis/γυροσκοπικού πίνακα στην έκφραση της δύναμης αδράνειας του σώματος. Μια συγκεκριμένη μορφή αυτού του πίνακα χρησιμοποιείται για την παραγωγή συνοπτικών εκφράσεων για τους δυναμικούς όρους (δύναμη αδράνειας και δυναμικό εφαπτομενικό μητρώο) που οδηγεί σε αποδοτικό αναλυτικό αλλά και αριθμητικό μοντέλο. Σε επόμενο βήμα, το γενικό δυναμικό μοντέλο εφαρμόζεται στη συμπεριστροφική δοκό και όλοι οι δυναμικοί όροι υπολογίζονται ειδικά για το στοιχείο αυτό. Για την συμπεριστροφική δοκό επιτυγχάνεται περαιτέρω βελτίωση της αποτελεσματικότητας του μοντέλου. Συγκεκριμένα, όλα τα ολοκληρώματα υπολογίζονται αναλυτικά και, επομένως, δεν απαιτείται αριθμητική ολοκλήρωση. Τέλος, στους δυναμικούς πίνακες, οι όροι που αποδεικνύεται ότι δεν είναι σημαντικοί αφαιρούνται από τη διατύπωση. Το προτεινόμενο μοντέλο δίνει καλή σύγκριση με το συμπεριστροφικό μοντέλο του [50] και αποδεικνύεται πιο αποτελεσματικό, καθώς απαιτεί λιγότερο υπολογιστικό χρόνο για διάφορα δυναμικά παραδείγματα. Τέλος, το προτεινόμενο μοντέλο της δυναμικής συμπεριστροφικής δοκού επεκτείνεται για την ανάλυση της κίνησης της δοκού εντός κινούμενου ρευστού εισάγοντας μια τροποποιημένη εξίσωση Morison που υπολογίζει την υδροδυναμική δύναμη σε μια δοκό οποιουδήποτε προσανατολισμού. Η αναφορά [81] αφορά σε ένα υδροδυναμικό μοντέλο όπου παρουσιάζονται οι υδροδυναμικοί όροι για το στοιχείο συμπεριστροφικής δοκού του [26] το οποίο όμως μπορεί να είναι μόνο βυθισμένο στο νερό. Στην παρούσα διατριβή, η κατάστρωση των δυναμικών όρων αφορά τόσο τα βυθισμένα στοιχεία όσο και τα στοιχεία που διαπερνούν την ελεύθερη επιφάνεια του νερού. Για την επικύρωση του παρόντος συμπεριστροφικού και ρευστοδυναμικού μοντέλου, πραγματοποιήθηκαν πειράματα μικρής κλίμακας σχετικά με μια δοκό που υπόκειται σε μεγάλες περιστροφές υπό τη φόρτιση ανέμου. Τα προαναφερθέντα πειράματα καθώς και άλλα προβλήματα αλληλεπίδρασης ρευστού/στερεού χρησιμοποιήθηκαν για την εξέταση της αποτελεσματικότητας του προτεινόμενου μοντέλου. Τα αριθμητικά αποτελέσματα αυτής της έρευνας συγκρίνονται με τα πειραματικά αποτελέσματα καθώς και με αυτά του λογισμικού OrcaFlex και η σύγκριση είναι αρκετά καλή.

Nonlinear Transient Analysis

In this chapter, the author begin by presenting the main causes of non-linearity, which are geometric and material source, change in boundary condition. The last presented source is pretensions. Then they go to the physical understanding of non-linear behavior by presenting the different phases of hysteresis curve sequence of a reinforced concrete structure. In this chapter, readers pass over various numerical formulation, which allow them to deal with non-linearity, namely Lagrange and Euler formulation, total Lagrangian formulation, Piola-Kirchhoff 2, and corotational formulation. Some examples are exposed at the end of the chapter.

A Corotational Formulation Based on Hamilton’s Principle for Geometrically Nonlinear Thin and Thick Planar Beams and Frames

A corotational finite element formulation for two-dimensional beam elements with geometrically nonlinear behavior is presented. The formulation separates the rigid body motion from the pure deformation which is always small relative to the corotational element frame. The stiffness matrices and the mass matrices are evaluated using both Euler-Bernoulli and Timoshenko beam models to reveal the shear effect in thin and thick beams and frames. The nonlinear equilibrium equations are developed using Hamilton’s principle and are defined in the global coordinate system. A MATLAB code is developed for the numerical solution. In static analysis, the code employed an iterative method based on the full Newton-Raphson method without incremental loading, while, in dynamic analysis, the Newmark direct integration implicit method is also utilized. Several examples of flexible beams and frames with large displacements are presented. Not only is the method simple and time-saving, but it is also highly effective and highly accurate.

Static stability and load capacity of pyramidal trusses

The analysis of pyramidal trusses has an immediate practical interest since these structures are currently used in many present-day civil constructions, either as main parts or a constitutive element. They can be used to represent tripod-like structures, cap of masts, tower cranes, big span roofs, and even a portion of a single-layer geodesic dome or of a generic-shaped reticulated shell. This paper examines the nonlinear static stability and load capacity for a simple class of space trusses in the shape of a regular pyramid. Joints located at the vertices of the base polygon are fixed while the joint at the apex is subjected to static loads acting in either the vertical direction, in the horizontal plane, or along a generic oblique direction. Despite their apparent simplicity, these structural systems exhibit a wide variety of post-critical responses, not exhausted by the classical snapping and bifurcation phenomena. In addition to regular primary and secondary branches, the equilibrium paths may include neutral branches, namely branches entirely composed of bifurcation or limit points. The analysis is conducted using the Finite Element Method together with a corotational formulation for the bars. The numerical results are validated in the elastic domain using the closed-form solutions found in literature.