ABSTRACT. The 3-D acoustic wave equation is generally solved using finite difference schemes on the mesh which defines the velocity model. However, whennumerical solution of the wave equation is done by finite difference schemes, attention should be taken with respect to dispersion and numerical stability. To overcomethese problems, one alternative is to solve the wave equation in the Fourier domain. This approach is stabler and makes possible to separate the full wave equation inits unidirectional equations. Thus, the full wave equation is decoupled in two first order differential equations, namely two equations related to the vertical component:upgoing (-Z) and downgoing (+Z) unidirectional equations. Among the solution methods, we can highlight the Split-Step-Plus-Interpolation (SS-PSPI). This methodhas been proven to be quite adequate for migration problems in 3-D media, providing satisfactory results at low computational cost. In this work, 3-D seismic modelingis implemented using Huygens’ principle and an equivalent simulation of the full wave equation solution is obtained by properly applying the solutions of the twouncoupled equations. In this procedure, a point source wavefield located at the surface is extrapolated downward recursively until the last depth level in the velocityfield is reached. A second extrapolation is done in order to extrapolate the wavefield upwards, from the last depth level to the surface level, and at each depth level thepreviously stored wavefield (saved during the downgoing step) is convolved with a reflectivity model in order to simulate secondary sources. To perform depth pre-stackmigration of 3-D datasets, the decoupled wave equations were used and the same process described for seismic modeling is applied for the propagation of sources andreceivers wavefields. Thus, depth migrated images are obtained using appropriate image conditions: the upgoing and downgoing wavefields of sources and receiversare correlated and the migrated images are formed. The seismic modeling and migration methods using upgoing and downgoing wavefields were tested on simple 3-Dmodels. Tests showed that the addition of upgoing wavefield in seismic migration, provide better result and highlight steep deep reflectors which do not appear in theresults using only downgoing wavefields.Keywords: 3-D seismic modeling and migration, Upoing and downgoing wavefields, Split-Step Phase Shift Plus Interpolation method, Decoupled wave equations,One-Way equations.RESUMO. A equação da onda acústica tridimensional é normalmente resolvida usando-se esquemas de diferenças finitas sobre a malha que define o modelo develocidade. Entretanto, deve-se ter cuidado com a dispersão e a estabilidade numérica durante o processo de propagação da onda na malha. Uma outra alternativa, bastante eficiente de se resolver a equação completa da onda, é desacoplando-a em duas equações de onda unidirecionais no domínio transformado de Fourier (solução pseudo-espectral). Assim, a equação completa da onda é separada em duas equações diferenciais de primeira ordem relativa á componente vertical: equação da ondaascendente (-Z) e da onda descendente (+Z). Normalmente, a equação unidirecional é resolvida com diferentes ordens de aproximação. Entre esses métodos, podemos destacar o método “Split-Step-Plus-Interpolation” (SS-PSPI), que tem sido bastante adequado para problemas de migração em meios 3-D, fornecendo resultados aum baixo custo computacional. Neste trabalho, o modelamento sísmico 3-D foi implementado usando-se o princípio de Huygens com as duas equações de onda unidirecionais desacopladas. Com o objetivo de simular uma solução equivalente à solução da equação completa, uma fonte pontual localizada na superfície é extrapoladaem profundidade, de forma recursiva, até atingir o último nível de profundidade na malha do modelo de velocidades. Uma segunda extrapolação é realizada para extrapolar para cima o campo de onda, desde o último nível em profundidade até à superfície do modelo. Assim, os receptores localizados na superfície registram ocampo de onda ascendente, que trazem informações dos refletores em subsuperfície na forma de reflexões e difrações. Para realizar a migração pré-empilhamento em profundidade de dados 3-D, usando-se as equações de onda desacopladas, o mesmo procedimento descrito para o modelamento sísmico é utilizado para a propagação dos campos de onda de fontes e receptores. Imagens migradas são obtidas usando-se condições de imagem apropriadas, onde os campos de onda da fonte e dos receptores, descendente e ascendente, são correlacionados. Sobre modelos 3-D simples foram testados os métodos de modelamento e migração, levando em conta oscampos de onda ascendente e descendente. Ficando, assim, evidenciado que no método de migração sísmica, proposto aqui, a adição do campo de onda ascendente fornece um melhor resultado, ressaltando os refletores íngremes que não aparecem nos resultados utilizando-se apenas a extrapolação do campo de onda descendente.Palavras-chave: Migração e modelagem sísmica 3-D, Migração em duas etapas mais interpolação, equações de ondas unidirecionais.
Fuzzy Numerical Solution via Finite Difference Scheme of Wave Equation in Double Parametrical Fuzzy Number Form
