Spectrum of Own Frequencies of a Spatial Surfacing Grid
Постановка задачи. Рассматривается схема статически определимой фермы пространственного прямоугольного покрытия. Ставится задача найти формулу зависимости нижней оценки первой частоты собственных колебаний конструкции по методу Донкерлея от числа панелей. Ферма имеет опоры по сторонам и состоит из отдельных стержневых ячеек, соединенных в пирамиды. Результаты. Из анализа последовательности аналитических решений для первой частоты ферм с различным числом панелей методом индукции выводятся коэффициенты в искомой формуле. Общие члены последовательностей коэффициентов находятся как решения однородных рекуррентных уравнений, образованных по результатам расчетов с помощью операторов Maple . Найденные зависимости получены в виде полиномов по числу панелей. Дано сравнение аналитического решения с численным. Выводы. Приведен алгоритм вывода аналитической оценки основной частоты колебаний пространственной конструкции в зависимости от числа панелей, массы, размеров и упругих свойств материала. Проанализирован спектр частот колебаний сооружения. Найденные зависимости могут быть использованы в задачах сейсмостойкости и оптимизации конструкции. Statement of the problem. The scheme of a statically definable truss of a spatial rectangular covering is discussed. The problem is to identify the formula for the dependence of the lower estimate of the first frequency of the natural oscillations of the structure by means of the Donkerley method on the number of panels. The truss has supports on the sides and consists of separate rod cells connected in pyramids. Results. Based on the analysis of the sequence of analytical solutions for the first frequency of trusses with a different number of panels by induction, the coefficients in the desired formula are derived. The common members of the sequences of coefficients are found as solutions of homogeneous recurrent equations formed according to the results of the calculations using Maple operators. The resulting dependences are obtained in the form of polynomials by the number of panels. A comparison of the analytical solution with the numerical one is provided. Conclusions. An algorithm for deriving an analytical estimate of the fundamental frequency of oscillations of a spatial structure depending on the number of panels, mass, size, and elastic properties of the material is shown. The spectrum of oscillation frequencies of the structure is analyzed. The resulting dependences can be employed in seismic and structural optimization problems.