scholarly journals On the Topology of the Cambrian Semilattices

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Myrto Kallipoliti ◽  
Henri Mühle
Keyword(s):  
Coxeter Group ◽  
Closed Interval ◽  
Open Interval ◽  
Weak Order ◽  
International Audience ◽  
Nous Utilisons

International audience For an arbitrary Coxeter group $W$, David Speyer and Nathan Reading defined Cambrian semilattices $C_{\gamma}$ as certain sub-semilattices of the weak order on $W$. In this article, we define an edge-labelling using the realization of Cambrian semilattices in terms of $\gamma$-sortable elements, and show that this is an EL-labelling for every closed interval of $C_{\gamma}$. In addition, we use our labelling to show that every finite open interval in a Cambrian semilattice is either contractible or spherical, and we characterize the spherical intervals, generalizing a result by Nathan Reading. Pour tout groupe de Coxeter $W$, David Speyer et Nathan Reading ont défini les demi-treillis Cambriens comme certains sous-demi-treillis de l’ordre faible sur $W$. Dans cet article, nous définissons un étiquetage des arêtes basé sur la réalisation des demi-treillis Cambriens en termes d’éléments$\gamma$-triables, et prouvons que c’est un étiquetage EL pour tout intervalle fermé de $C_{\gamma}$. Nous utilisons de plus cet étiquetage pour ontrer que tout intervalle ouvert fini dans un demi-treillis Cambrien est soit contractile soit sphérique, et nous caractérisons les intervalles sphériques,généralisant ainsi un résultat de Nathan Reading.

scholarly journals On the Topology of the Cambrian Semilattices

10.37236/2910 ◽  
2013 ◽  
Vol 20 (2) ◽  
Author(s):  
Myrto Kallipoliti ◽  
Henri Mühle
Keyword(s):  
Coxeter Group ◽  
Closed Interval ◽  
Open Interval ◽  
Weak Order ◽  
Edge Labeling

For an arbitrary Coxeter group $W$, Reading and Speyer defined Cambrian semilattices $\mathcal{C}_{\gamma}$ as sub-semilattices of the weak order on $W$ induced by so-called $\gamma$-sortable elements. In this article, we define an edge-labeling of $\mathcal{C}_{\gamma}$, and show that this is an EL-labeling for every closed interval of $\mathcal{C}_{\gamma}$. In addition, we use our labeling to show that every finite open interval in a Cambrian semilattice is either contractible or spherical, and we characterize the spherical intervals, generalizing a result by Reading.

scholarly journals The facial weak order in finite Coxeter groups

2020 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 28th... ◽  
Author(s):  
Aram Dermenjian ◽  
Christophe Hohlweg ◽  
Vincent Pilaud
Keyword(s):  
Coxeter Group ◽  
Coxeter Groups ◽  
Geometric Interpretation ◽  
Weak Order ◽  
Maximal Length ◽  
Lattice Congruence ◽  
Finite Coxeter Group ◽  
International Audience

International audience We investigate a poset structure that extends the weak order on a finite Coxeter group W to the set of all faces of the permutahedron of W. We call this order the facial weak order. We first provide two alternative characterizations of this poset: a first one, geometric, that generalizes the notion of inversion sets of roots, and a second one, combinatorial, that uses comparisons of the minimal and maximal length representatives of the cosets. These characterizations are then used to show that the facial weak order is in fact a lattice, generalizing a well-known result of A. Bjo ̈rner for the classical weak order. Finally, we show that any lattice congruence of the classical weak order induces a lattice congruence of the facial weak order, and we give a geometric interpretation of its classes.

Some strong convergence theorems for eigenvalues of general sample covariance matrices

2021 ◽  
Author(s):  
Yanqing Yin
Keyword(s):  
General Population ◽  
Strong Convergence ◽  
Spectral Properties ◽  
Closed Interval ◽  
Open Interval ◽  
Convergence Result ◽  
Covariance Matrices ◽  
Sample Covariance Matrices ◽  
Sample Covariance ◽  
Class Of Matrices

The aim of this paper is to investigate the spectral properties of sample covariance matrices under a more general population. We consider a class of matrices of the form [Formula: see text], where [Formula: see text] is a [Formula: see text] nonrandom matrix and [Formula: see text] is an [Formula: see text] matrix consisting of i.i.d standard complex entries. [Formula: see text] as [Formula: see text] while [Formula: see text] can be arbitrary but no smaller than [Formula: see text]. We first prove that under some mild assumptions, with probability 1, for all large [Formula: see text], there will be no eigenvalues in any closed interval contained in an open interval which is outside the supports of the limiting distributions for all sufficiently large [Formula: see text]. Then we get the strong convergence result for the extreme eigenvalues as an extension of Bai-Yin law.

scholarly journals How to get the weak order out of a digraph ?

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Francois Viard
Keyword(s):  
Wreath Product ◽  
Symmetric Function ◽  
Coxeter Groups ◽  
Symmetric Functions ◽  
Weak Order ◽  
Möbius Function ◽  
Mobius Function ◽  
Acyclic Digraph ◽  
International Audience

International audience We construct a poset from a simple acyclic digraph together with a valuation on its vertices, and we compute the values of its Möbius function. We show that the weak order on Coxeter groups $A$<sub>$n-1$</sub>, $B$<sub>$n$</sub>, $Ã$<sub>$n$</sub>, and the flag weak order on the wreath product &#8484;<sub>$r$</sub> &#8768; $S$<sub>$n$</sub> introduced by Adin, Brenti and Roichman (2012), are special instances of our construction. We conclude by briefly explaining how to use our work to define quasi-symmetric functions, with a special emphasis on the $A$<sub>$n-1$</sub> case, in which case we obtain the classical Stanley symmetric function. On construit une famille d’ensembles ordonnés à partir d’un graphe orienté, simple et acyclique munit d’une valuation sur ses sommets, puis on calcule les valeurs de leur fonction de Möbius respective. On montre que l’ordre faible sur les groupes de Coxeter $A$<sub>$n-1$</sub>, $B$<sub>$n$</sub>, $Ã$<sub>$n$</sub>, ainsi qu’une variante de l’ordre faible sur les produits en couronne &#8484;<sub>$r$</sub> &#8768; $S$<sub>$n$</sub> introduit par Adin, Brenti et Roichman (2012), sont des cas particuliers de cette construction. On conclura en expliquant brièvement comment ce travail peut-être utilisé pour définir des fonction quasi-symétriques, en insistant sur l’exemple de l’ordre faible sur $A$<sub>$n-1$</sub> où l’on obtient les séries de Stanley classiques.

scholarly journals Open-interval graphs versus closed-interval graphs

1987 ◽  
Vol 63 (1) ◽  
pp. 97-100 ◽  
Author(s):  
P. Frankl ◽  
H. Maehara
Keyword(s):  
Closed Interval ◽  
Open Interval ◽  
Interval Graphs

scholarly journals Boolean complexes and boolean numbers

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Bridget Eileen Tenner
Keyword(s):  
Coxeter Group ◽  
Bruhat Order ◽  
Graph Invariant ◽  
Coxeter System ◽  
Combinatorial Properties ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Order Ideals ◽  
Simplicial Poset ◽  
The Ideal

International audience The Bruhat order gives a poset structure to any Coxeter group. The ideal of elements in this poset having boolean principal order ideals forms a simplicial poset. This simplicial poset defines the boolean complex for the group. In a Coxeter system of rank n, we show that the boolean complex is homotopy equivalent to a wedge of (n-1)-dimensional spheres. The number of these spheres is the boolean number, which can be computed inductively from the unlabeled Coxeter system, thus defining a graph invariant. For certain families of graphs, the boolean numbers have intriguing combinatorial properties. This work involves joint efforts with Claesson, Kitaev, and Ragnarsson. \par L'ordre de Bruhat munit tout groupe de Coxeter d'une structure de poset. L'idéal composé des éléments de ce poset engendrant des idéaux principaux ordonnés booléens, forme un poset simplicial. Ce poset simplicial définit le complexe booléen pour le groupe. Dans un système de Coxeter de rang n, nous montrons que le complexe booléen est homotopiquement équivalent à un bouquet de sphères de dimension (n-1). Le nombre de ces sphères est le nombre booléen, qui peut être calculé inductivement à partir du système de Coxeter non-étiquetté; définissant ainsi un invariant de graphe. Pour certaines familles de graphes, les nombres booléens satisfont des propriétés combinatoires intriguantes. Ce travail est une collaboration entre Claesson, Kitaev, et Ragnarsson.

scholarly journals A preorder-free construction of the Kazhdan-Lusztig representations of $S_n$, with connections to the Clausen representations

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Charles Buehrle ◽  
Mark Skandera
Keyword(s):  
Polynomial Ring ◽  
Transition Matrices ◽  
Free Construction ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Original Construction ◽  
Nous Utilisons ◽  
Invent Math

International audience We use the polynomial ring $\mathbb{C}[x_{1,1},\ldots,x_{n,n}]$ to modify the Kazhdan-Lusztig construction of irreducible $S_n$-modules. This modified construction produces exactly the same matrices as the original construction in [$\textit{Invent. Math}$ $\mathbf{53}$ (1979)], but does not employ the Kazhdan-Lusztig preorders. We also show that our modules are related by unitriangular transition matrices to those constructed by Clausen in [$\textit{J. Symbolic Comput.}$ $\textbf{11}$ (1991)]. This provides a $\mathbb{C}[x_{1,1},\ldots,x_{n,n}]$-analog of results of Garsia-McLarnan in [$\textit{Adv. Math.}$ $\textbf{69}$ (1988)]. Nous utilisons l'anneau $\mathbb{C}[x_{1,1},\ldots,x_{n,n}]$ pour modifier la construction Kazhdan-Lusztig des modules-$S_n$ irréductibles dans $\mathbb{C}[S_n]$. Cette construction modifiée produit exactement les mêmes matrices que la construction originale dans [$\textit{Invent. Math}$ $\mathbf{53}$ (1979)], mais sans employer les préordres de Kazhdan-Lusztig. Nous montrons aussi que nos modules sont reliés par des matrices unitriangulaires aux modules construits par Clausen dans [$\textit{J. Symbolic Comput.}$ $\textbf{11}$ (1991)]. Ce résultat donne un $\mathbb{C}[x_{1,1},\ldots,x_{n,n}]$-analogue des résultats de Garsia-McLarnan dans [$\textit{Adv. Math.}$ $\textbf{69}$ (1988)].

scholarly journals Counting Quiver Representations over Finite Fields Via Graph Enumeration

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Geir Helleloid ◽  
Fernando Rodriguez-Villegas
Keyword(s):  
Finite Field ◽  
Finite Fields ◽  
Quiver Representations ◽  
Dimension Vector ◽  
Compte Rendu ◽  
Isomorphism Classes ◽  
International Audience ◽  
Derivatives Of ◽  
Nous Utilisons ◽  
Complete Account

International audience Let $\Gamma$ be a quiver on $n$ vertices $v_1, v_2, \ldots , v_n$ with $g_{ij}$ edges between $v_i$ and $v_j$, and let $\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{N}^n$. Hua gave a formula for $A_{\Gamma}(\boldsymbol{\alpha}, q)$, the number of isomorphism classes of absolutely indecomposable representations of $\Gamma$ over the finite field $\mathbb{F}_q$ with dimension vector $\boldsymbol{\alpha}$. We use Hua's formula to show that the derivatives of $A_{\Gamma}(\boldsymbol{\alpha}, q)$ with respect to $q$, when evaluated at $q = 1$, are polynomials in the variables $g_{ij}$, and we can compute the highest degree terms in these polynomials. The formulas for these coefficients depend on the enumeration of certain families of connected graphs. This note simply gives an overview of these results; a complete account of this research is available on the arXiv and has been submitted for publication. Soit $\Gamma$ un carquois sur $n$ sommets $ v_1, v_2, \ldots , v_n$ avec $g_{ij}$ arêtes entre $v_i$ et $v_j$, et soit $\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{N}^n$. Hua a donné une formule pour $A_{\Gamma}(\boldsymbol{\alpha}, q)$, le nombre de classes d'isomorphisme absolument indécomposables de représentations de $\Gamma$ sur le corps fini $\mathbb{F}_q$ avec vecteur de dimension $\boldsymbol{\alpha}$. Nous utilisons la formule de Hua pour montrer que les dérivées de $A_{\Gamma}(\boldsymbol{\alpha}, q)$ par rapport à $q$, alors évaluée à $q=1$, sont des polynômes dans les variables $g_{ij}$, et on peut calculer les termes de plus haut degré de ces polynômes. Les formules pour ces coefficients dépendent de l'énumération de certaines familles de graphes connectés. Cette note donne simplement un aperçu de ces résultats, un compte rendu complet de cette recherche est disponible sur arXiv et a été soumis pour publication.

scholarly journals The short toric polynomial

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Gábor Hetyei
Keyword(s):  
Lower Bound ◽  
Reflection Principle ◽  
Lattice Path ◽  
Simple Polytope ◽  
Independent Form ◽  
International Audience ◽  
Bound Theorem ◽  
Lattice Path Enumeration ◽  
Nous Utilisons ◽  
Eulerian Poset

International audience We introduce the short toric polynomial associated to a graded Eulerian poset. This polynomial contains the same information as Stanley's pair of toric polynomials, but allows different algebraic manipulations. Stanley's intertwined recurrence may be replaced by a single recurrence, in which the degree of the discarded terms is independent of the rank. A short toric variant of the formula by Bayer and Ehrenborg, expressing the toric h-vector in terms of the cd-index, may be stated in a rank-independent form, and it may be shown using weighted lattice path enumeration and the reflection principle. We use our techniques to derive a formula expressing the toric h-vector of a dual simplicial Eulerian poset in terms of its f-vector. This formula implies Gessel's formula for the toric h-vector of a cube, and may be used to prove that the nonnegativity of the toric h-vector of a simple polytope is a consequence of the Generalized Lower Bound Theorem holding for simplicial polytopes. Nous introduisons le polynôme torique court associé à un ensemble ordonné Eulérien. Ce polynôme contient la même information que le couple de polynômes toriques de Stanley, mais il permet des manipulations algébriques différentes. La récurrence entrecroisée de Stanley peut être remplacée par une seule récurrence dans laquelle le degré des termes écartés est indépendant du rang. La variante torique courte de la formule de Bayer et Ehrenborg, qui exprime le vecteur torique d'un ensemble ordonné Eulérien en termes de son cd-index, est énoncée sous une forme qui ne dépend pas du rang et qui peut être démontrée en utilisant une énumération des chemins pondérés et le principe de réflexion. Nous utilisons nos techniques pour dériver une formule exprimant le vecteur h-torique d'un ensemble ordonné Eulérien dont le dual est simplicial, en termes de son f-vecteur. Cette formule implique la formule de Gessel pour le vecteur h-torique d'un cube, et elle peut être utilisée pour démontrer que la positivité du vecteur h-torique d'un polytope simple est une conséquence du Théorème de la Borne Inférieure Généralisé appliqué aux polytopes simpliciaux.

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