scholarly journals Growth function for a class of monoids

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Marie Albenque ◽  
Philippe Nadeau
Keyword(s):  
Type A ◽  
Growth Function ◽  
Combinatorial Proof ◽  
Koszul Algebras ◽  
Homogeneous Case ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Coxeter Systems

International audience In this article we study a class of monoids that includes Garside monoids, and give a simple combinatorial proof of a formula for the formal sum of all elements of the monoid. This leads to a formula for the growth function of the monoid in the homogeneous case, and can also be lifted to a resolution of the monoid algebra. These results are then applied to known monoids related to Coxeter systems: we give the growth function of the Artin-Tits monoids, and do the same for the dual braid monoids. In this last case we show that the monoid algebras of the dual braid monoids of type A and B are Koszul algebras. Nous étudions une classe de monoïdes incluant les monoïdes de Garside, et donnons une preuve combinatoire simple d'une formule pour la somme formelle de leurs éléments. Cela mène à une formule pour la fonction de croissance du monoïde dans le cas homogène, et peut être aussi relevé en une résolution de l'algèbre de monoïdes. Ces résultats sont ensuite appliqués aux monoïdes liés aux systèmes de Coxeter : nous donnons la fonction de croissance des monoïdes d'Artin-Tits ainsi que des monoïdes duaux ; pour ces derniers nous montrons que leur algèbre de monoïde en types A et B est une algèbre de Koszul.

scholarly journals Newton Polytopes of Cluster Variables of Type $A_n$

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Adam Kalman
Keyword(s):  
Type A ◽  
Laurent Expansion ◽  
Cluster Algebras ◽  
Newton Polytope ◽  
Newton Polytopes ◽  
Affine Hull ◽  
Cluster Variable ◽  
Nous Montrons ◽  
The Face ◽  
International Audience

International audience We study Newton polytopes of cluster variables in type $A_n$ cluster algebras, whose cluster and coefficient variables are indexed by the diagonals and boundary segments of a polygon. Our main results include an explicit description of the affine hull and facets of the Newton polytope of the Laurent expansion of any cluster variable, with respect to any cluster. In particular, we show that every Laurent monomial in a Laurent expansion of a type $A$ cluster variable corresponds to a vertex of the Newton polytope. We also describe the face lattice of each Newton polytope via an isomorphism with the lattice of elementary subgraphs of the associated snake graph. Nous étudions polytopes de Newton des variables amassées dans les algèbres amassées de type A, dont les variables sont indexés par les diagonales et les côtés d’un polygone. Nos principaux résultats comprennent une description explicite de l’enveloppe affine et facettes du polytope de Newton du développement de Laurent de toutes variables amassées. En particulier, nous montrons que tout monôme Laurent dans un développement de Laurent de variable amassée de type A correspond à un sommet du polytope de Newton. Nous décrivons aussi le treillis des facesde chaque polytope de Newton via un isomorphisme avec le treillis des sous-graphes élémentaires du “snake graph” qui est associé.

scholarly journals Flag Gromov-Witten invariants via crystals

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jennifer Morse ◽  
Anne Schilling
Keyword(s):  
Weyl Group ◽  
Type A ◽  
Schubert Calculus ◽  
Schur Function ◽  
Flag Varieties ◽  
Highest Weight ◽  
Affine Weyl Group ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Complete Flag

International audience We apply ideas from crystal theory to affine Schubert calculus and flag Gromov-Witten invariants. By defining operators on certain decompositions of elements in the type-$A$ affine Weyl group, we produce a crystal reflecting the internal structure of Specht modules associated to permutation diagrams. We show how this crystal framework can be applied to study the product of a Schur function with a $k$-Schur function. Consequently, we prove that a subclass of 3-point Gromov-Witten invariants of complete flag varieties for $\mathbb{C}^n$ enumerate the highest weight elements under these operators. Nous appliquons des idées provenant de la théorie des bases cristallines au calcul de Schubert affine et aux invariants de drapeaux de Gromov–Witten. Nous définissons des opérateurs sur certaines décompositions d’éléments de groupes de Weyl affines en type $A$ afin de construire une base cristalline encodant la structure interne des modules de Specht associés aux diagrammes de permutations. Nous montrons comment la structure de cristal permet d’étudier le produit d’une fonction de Schur avec une $k$-fonction de Schur. En conséquence, nous prouvons que la sous-classe des invariants de 3-points de Gromov–Witten d’une variété complète de drapeaux complets pour $\mathbb{C}^n$ énumère les éléments de poids maximaux pour ces opérateurs.

scholarly journals Touchard-Riordan formulas, T-fractions, and Jacobi's triple product identity

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Matthieu Josuat-Vergès ◽  
Jang-Soo Kim
Keyword(s):  
Functional Equation ◽  
Triple Product ◽  
Combinatorial Proof ◽  
Jacobi’S Triple Product Identity ◽  
Product Identity ◽  
Nous Montrons ◽  
Schröder Paths ◽  
International Audience ◽  
Finite Sum ◽  
Jacobi's Triple Product Identity

International audience We give a combinatorial proof of a Touchard-Riordan-like formula discovered by the first author. As a consequence we find a connection between his formula and Jacobi's triple product identity. We then give a combinatorial analog of Jacobi's triple product identity by showing that a finite sum can be interpreted as a generating function of weighted Schröder paths, so that the triple product identity is recovered by taking the limit. This can be stated in terms of some continued fractions called T-fractions, whose important property is the fact that they satisfy some functional equation. We show that this result permits to explain and generalize some Touchard-Riordan-like formulas appearing in enumerative problems. Nous donnons une preuve combinatoire d'une formule à la Touchard-Riordan due au premier auteur. En conséquence, nous faisons appara\^ıtre un lien entre cette formule et l'identité du produit triple de Jacobi. Nous donnons un analogue combinatoire à l'identité du produit triple en montrant qu'une somme finie peut être interprétée comme fonction génératrice de chemins de Schröder pondérés, de sorte que l'identité du produit triple s'obtient en passant à la limite. Ceci peut être énoncé en termes de fractions continues appelées T-fractions, dont la propriété importante est le fait qu'elle satisfont certaines équations fonctionnelles. Nous montrons que ce résultat permet d'expliquer et généraliser certaines formules à la Touchard-Riordan apparaissant dans des problèmes d'énumération.

scholarly journals The Shi arrangement and the Ish arrangement

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Drew Armstrong ◽  
Brendon Rhoades
Keyword(s):  
Degrees Of Freedom ◽  
Type A ◽  
Grand Nombre ◽  
Set Partition ◽  
Affine Weyl Group ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
New Interpretation ◽  
Arrangements Of Hyperplanes ◽  
Shi Arrangement

International audience This paper is about two arrangements of hyperplanes. The first — the Shi arrangement — was introduced by Jian-Yi Shi to describe the Kazhdan-Lusztig cells in the affine Weyl group of type A. The second — the Ish arrangement — was recently defined by the first author who used the two arrangements together to give a new interpretation of the q,t-Catalan numbers of Garsia and Haiman. In the present paper we will define a mysterious "combinatorial symmetry'' between the two arrangements and show that this symmetry preserves a great deal of information. For example, the Shi and Ish arrangements share the same characteristic polynomial, the same numbers of regions, bounded regions, dominant regions, regions with c "ceilings'' and d "degrees of freedom'', etc. Moreover, all of these results hold in the greater generality of "deleted'' Shi and Ish arrangements corresponding to an arbitrary subgraph of the complete graph. Our proofs are based on nice combinatorial labellings of Shi and Ish regions and a new set partition-valued statistic on these regions. Cet article traite de deux arrangements d'hyperplans. Le premier — arrangement Shi — a été introduit par Jian-Yi Shi pour décrire les cellules de Kazhdan-Lusztig du groupe de Weyl affine de type A. Le deuxième — arrangement Ish — a été récemment défini par le premier auteur pour donner une nouvelle interprétation des nombres q,t-Catalan de Garsia et Haiman. Ici nous définissons une mystérieuse "symétrie combinatoire" entre les deux arrangements et nous montrons que cette symétrie conserve un grand nombre d'informations. Par exemple, les arrangements Shi et Ish ont le même polynôme caractéristique, le même nombre de régions, de régions bornées, de régions dominantes, de régions avec c "plafonds'' et d "degrés de liberté'', etc. En outre, ces résultats se généralisent aux arrangements Shi et Ish "deleted'' correspondant à un sous-graphe arbitraire du graphe complet. Nos preuves reposent sur des étiquetages combinatoires des régions Shi et Ish, et sur une nouvelle statistique associée.

scholarly journals On an algebraicity theorem of Kontsevich

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Christophe Reutenauer ◽  
Marco Robado
Keyword(s):  
Combinatorial Proof ◽  
Noncommutative Version ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Planar Maps ◽  
Full Proof ◽  
Dyck Words

International audience We give in a particular case a combinatorial proof of a recent algebraicity result of Kontsevich; the proof uses generalized one-sided and two-sided Dyck words, or equivalently, excursions and bridges. We indicate a noncommutative version of these notions, which could lead to a full proof. We show also a relation with pointed planar maps. Nous donnons, dans un cas particulier, une preuve combinatoire d'un rèsultat rècent d'algèbricitè de Kontsevich; la preuve utilise des mots de Dyck gènèralisès d'un cotè et deux cotès ou de façon èquivalente, excursions et ponts. Nous indiquons une version non-commutative de ces notions, qui pourrait conduire à une preuve complète. Nous montrons aussi une relation avec des cartes planaires pointèes.

scholarly journals Bijections of dominant regions in the $m$-Shi arrangements of type $A$, $B$ and $C$

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Myrto Kallipoliti ◽  
Eleni Tzanaki
Keyword(s):  
Type A ◽  
Lattice Paths ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Shi Arrangement ◽  
Nous Utilisons

International audience In the present paper, the relation between the dominant regions in the $m$-Shi arrangement of types $B_n/C_n$, and those of the $m$-Shi arrangement of type $A_{n-1}$ is investigated. More precisely, it is shown explicitly how the sets $R^m(B_n)$ and $R^m(C_n)$, of dominant regions of the $m$-Shi arrangement of types $B_n$ and $C_n$ respectively, can be projected to the set $R^m(A_{n-1})$ of dominant regions of the $m$-Shi arrangement of type $A_{n-1}$. This is done by using two different viewpoints for the representative alcoves of these regions: the Shi tableaux and the abacus diagrams. Moreover, bijections between the sets $R^m(B_n)$, $R^m(C_n)$, and lattice paths inside a rectangle $n\times{mn}$ are provided. Dans cet article, nous étudions la relation entre les régions dominantes du $m$-arrangement de Shi de types $B_n/C_n$ et ceux du $m$-arrangement de Shi de type $A_{n-1}$. Plus précisément, nous montrons comment les ensembles $R^m(B_n)$ et $R^m(C_n)$, des régions dominantes du $m$ -arrangement de Shi de types $B_n$ et $C_n$ respectivement, peuvent être projetés sur l’ensemble $R^m(A_{n-1})$ des régions dominantes du $m$-arrangement de Shi de types $A_{n-1}$. Pour cela nous utilisons deux points de vue différents sur les alcôves représentatives de ces régions: les tableaux de Shi et les diagrammes d’abaques. De plus, nous fournissons des bijections entre les ensembles $R^m(B_n)$, $R^m(C_n)$, et les chemins à l’intérieur d’un rectangle $n\times{mn}$.

scholarly journals Crossings and nestings in set partitions of classical types

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Martin Rubey ◽  
Christian Stump
Keyword(s):  
Nous Avons ◽  
Type A ◽  
The Other ◽  
Type B ◽  
Set Partition ◽  
Set Partitions ◽  
Type D ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
The One

International audience In this extended abstract, we investigate bijections on various classes of set partitions of classical types that preserve openers and closers. On the one hand we present bijections for types $B$ and $C$ that interchange crossings and nestings, which generalize a construction by Kasraoui and Zeng for type $A$. On the other hand we generalize a bijection to type $B$ and $C$ that interchanges the cardinality of a maximal crossing with the cardinality of a maximal nesting, as given by Chen, Deng, Du, Stanley and Yan for type $A$. For type $D$, we were only able to construct a bijection between non-crossing and non-nesting set partitions. For all classical types we show that the set of openers and the set of closers determine a non-crossing or non-nesting set partition essentially uniquely. Dans ce résumé, nous étudions des bijections entre diverses classes de partitions d'ensemble de types classiques qui préservent les "openers'' et les "closers''. D'une part, nous présentons des bijections pour les types $B$ et $C$ qui échangent croisées et emboôtées, qui généralisent une construction de Kasraoui et Zeng pour le type $A$. D'autre part, nous généralisons une bijection pour le type $B$ et $C$ qui échange la cardinalité d'un croisement maximal avec la cardinalité d'un emboîtement maximal comme il a été fait par Chen, Deng, Du, Stanley et Yan pour le type $A$. Pour le type $D$, nous avons seulement construit une bijection entre les partitions non croisées et non emboîtées. Pour tout les types classiques, nous montrons que l'ensemble des "openers'' et l'ensemble des "closers'' déterminent une partition non croisées ou non emboîtées essentiellement de façon unique.

scholarly journals Multi-cluster complexes

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Cesar Ceballos ◽  
Jean-Philippe Labbé ◽  
Christian Stump
Keyword(s):  
Coxeter Groups ◽  
Type A ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Cluster Complex ◽  
Geometric Properties ◽  
Cluster Complexes ◽  
Combinatorial Description ◽  
Compatibility Relation ◽  
Positive Roots ◽  
International Audience

International audience We present a family of simplicial complexes called \emphmulti-cluster complexes. These complexes generalize the concept of cluster complexes, and extend the notion of multi-associahedra of types ${A}$ and ${B}$ to general finite Coxeter groups. We study combinatorial and geometric properties of these objects and, in particular, provide a simple combinatorial description of the compatibility relation among the set of almost positive roots in the cluster complex. Nous présentons une famille de complexes simpliciaux appelés \emphcomplexes des multi-amas. Ces complexes généralisent le concept de complexes des amas et étendent la notion de multi-associaèdre de type ${A}$ et ${B}$ aux groupes de Coxeter finis. Nous étudions des propriétés combinatoires et géométriques de ces objets et, en particulier nous fournissons une description combinatoire simple de la relation de compatibilité sur l'ensemble des racines presque positives du complexe des amas.

scholarly journals Macdonald polynomials at $t=q^k$

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jean-Gabriel Luque
Keyword(s):  
Macdonald Polynomials ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We investigate the homogeneous symmetric Macdonald polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ for the specialization $t=q^k$. We show an identity relying the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ and $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. As a consequence, we describe an operator whose eigenvalues characterize the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous nous intéressons aux propriétés des polynômes de Macdonald symétriques $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ pour la spécialisation $t=q^k$. En particulier nous montrons une égalité reliant les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ et $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous en déduisons la description d'un opérateur dont les valeurs propres caractérisent les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$.

scholarly journals Affine descents and the Steinberg torus

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Kevin Dilks ◽  
T. Kyle Petersen ◽  
John R. Stembridge
Keyword(s):  
Weyl Group ◽  
Generating Functions ◽  
Cell Complex ◽  
Premier Lieu ◽  
Coxeter Complex ◽  
Affine Weyl Group ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Translation Subgroup

International audience Let $W \ltimes L$ be an irreducible affine Weyl group with Coxeter complex $\Sigma$, where $W$ denotes the associated finite Weyl group and $L$ the translation subgroup. The Steinberg torus is the Boolean cell complex obtained by taking the quotient of $\Sigma$ by the lattice $L$. We show that the ordinary and flag $h$-polynomials of the Steinberg torus (with the empty face deleted) are generating functions over $W$ for a descent-like statistic first studied by Cellini. We also show that the ordinary $h$-polynomial has a nonnegative $\gamma$-vector, and hence, symmetric and unimodal coefficients. In the classical cases, we also provide expansions, identities, and generating functions for the $h$-polynomials of Steinberg tori. Nous considérons un groupe de Weyl affine irréductible $W \ltimes L$ avec complexe de Coxeter $\Sigma$, où $W$ désigne le groupe de Weyl fini associé et $L$ le sous-groupe des translations. Le tore de Steinberg est le complexe cellulaire Booléen obtenu comme le quotient de $\Sigma$ par $L$. Nous montrons que les $h$-polynômes, ordinaires et de drapeaux, du tore de Steinberg (sans la face vide) sont des fonctions génératrices sur $W$ pour une statistique de type descente, étudiée en premier lieu par Cellini. Nous montrons également qu'un $h$-polynôme ordinaire possède un $\gamma$-vecteur positif, et par conséquent, a des coefficients symétriques et unimodaux. Dans les cas classiques, nous donnons également des développements, des identités et des fonctions génératrices pour les $h$-polynômes des tores de Steinberg.

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