scholarly journals Newton Polytopes of Cluster Variables of Type $A_n$

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Adam Kalman
Keyword(s):  
Type A ◽  
Laurent Expansion ◽  
Cluster Algebras ◽  
Newton Polytope ◽  
Newton Polytopes ◽  
Affine Hull ◽  
Cluster Variable ◽  
Nous Montrons ◽  
The Face ◽  
International Audience

International audience We study Newton polytopes of cluster variables in type $A_n$ cluster algebras, whose cluster and coefficient variables are indexed by the diagonals and boundary segments of a polygon. Our main results include an explicit description of the affine hull and facets of the Newton polytope of the Laurent expansion of any cluster variable, with respect to any cluster. In particular, we show that every Laurent monomial in a Laurent expansion of a type $A$ cluster variable corresponds to a vertex of the Newton polytope. We also describe the face lattice of each Newton polytope via an isomorphism with the lattice of elementary subgraphs of the associated snake graph. Nous étudions polytopes de Newton des variables amassées dans les algèbres amassées de type A, dont les variables sont indexés par les diagonales et les côtés d’un polygone. Nos principaux résultats comprennent une description explicite de l’enveloppe affine et facettes du polytope de Newton du développement de Laurent de toutes variables amassées. En particulier, nous montrons que tout monôme Laurent dans un développement de Laurent de variable amassée de type A correspond à un sommet du polytope de Newton. Nous décrivons aussi le treillis des facesde chaque polytope de Newton via un isomorphisme avec le treillis des sous-graphes élémentaires du “snake graph” qui est associé.

scholarly journals Links in the complex of weakly separated collections

2020 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 28th... ◽  
Author(s):  
Suho Oh ◽  
David Speyer
Keyword(s):  
Short Note ◽  
Cluster Algebras ◽  
Combinatorial Objects ◽  
The Face ◽  
International Audience ◽  
Plabic Graphs ◽  
Positive Integers ◽  
Do So

International audience Plabic graphs are combinatorial objects used to study the totally nonnegative Grassmannian. Faces of plabic graphs are labeled by k-element sets of positive integers, and a collection of such k-element sets are the face labels of a plabic graph if that collection forms a maximal weakly separated collection. There are moves that one can apply to plabic graphs, and thus to maximal weakly separated collections, analogous to mutations of seeds in cluster algebras. In this short note, we show if two maximal weakly separated collections can be mutated from one to another, then one can do so while freezing the face labels they have in common. In particular, this provides a new, and we think simpler, proof of Postnikov's result that any two reduced plabic graphs with the same decorated permutations can be mutated to each other.

scholarly journals Flag Gromov-Witten invariants via crystals

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jennifer Morse ◽  
Anne Schilling
Keyword(s):  
Weyl Group ◽  
Type A ◽  
Schubert Calculus ◽  
Schur Function ◽  
Flag Varieties ◽  
Highest Weight ◽  
Affine Weyl Group ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Complete Flag

International audience We apply ideas from crystal theory to affine Schubert calculus and flag Gromov-Witten invariants. By defining operators on certain decompositions of elements in the type-$A$ affine Weyl group, we produce a crystal reflecting the internal structure of Specht modules associated to permutation diagrams. We show how this crystal framework can be applied to study the product of a Schur function with a $k$-Schur function. Consequently, we prove that a subclass of 3-point Gromov-Witten invariants of complete flag varieties for $\mathbb{C}^n$ enumerate the highest weight elements under these operators. Nous appliquons des idées provenant de la théorie des bases cristallines au calcul de Schubert affine et aux invariants de drapeaux de Gromov–Witten. Nous définissons des opérateurs sur certaines décompositions d’éléments de groupes de Weyl affines en type $A$ afin de construire une base cristalline encodant la structure interne des modules de Specht associés aux diagrammes de permutations. Nous montrons comment la structure de cristal permet d’étudier le produit d’une fonction de Schur avec une $k$-fonction de Schur. En conséquence, nous prouvons que la sous-classe des invariants de 3-points de Gromov–Witten d’une variété complète de drapeaux complets pour $\mathbb{C}^n$ énumère les éléments de poids maximaux pour ces opérateurs.

scholarly journals The Shi arrangement and the Ish arrangement

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Drew Armstrong ◽  
Brendon Rhoades
Keyword(s):  
Degrees Of Freedom ◽  
Type A ◽  
Grand Nombre ◽  
Set Partition ◽  
Affine Weyl Group ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
New Interpretation ◽  
Arrangements Of Hyperplanes ◽  
Shi Arrangement

International audience This paper is about two arrangements of hyperplanes. The first — the Shi arrangement — was introduced by Jian-Yi Shi to describe the Kazhdan-Lusztig cells in the affine Weyl group of type A. The second — the Ish arrangement — was recently defined by the first author who used the two arrangements together to give a new interpretation of the q,t-Catalan numbers of Garsia and Haiman. In the present paper we will define a mysterious "combinatorial symmetry'' between the two arrangements and show that this symmetry preserves a great deal of information. For example, the Shi and Ish arrangements share the same characteristic polynomial, the same numbers of regions, bounded regions, dominant regions, regions with c "ceilings'' and d "degrees of freedom'', etc. Moreover, all of these results hold in the greater generality of "deleted'' Shi and Ish arrangements corresponding to an arbitrary subgraph of the complete graph. Our proofs are based on nice combinatorial labellings of Shi and Ish regions and a new set partition-valued statistic on these regions. Cet article traite de deux arrangements d'hyperplans. Le premier — arrangement Shi — a été introduit par Jian-Yi Shi pour décrire les cellules de Kazhdan-Lusztig du groupe de Weyl affine de type A. Le deuxième — arrangement Ish — a été récemment défini par le premier auteur pour donner une nouvelle interprétation des nombres q,t-Catalan de Garsia et Haiman. Ici nous définissons une mystérieuse "symétrie combinatoire" entre les deux arrangements et nous montrons que cette symétrie conserve un grand nombre d'informations. Par exemple, les arrangements Shi et Ish ont le même polynôme caractéristique, le même nombre de régions, de régions bornées, de régions dominantes, de régions avec c "plafonds'' et d "degrés de liberté'', etc. En outre, ces résultats se généralisent aux arrangements Shi et Ish "deleted'' correspondant à un sous-graphe arbitraire du graphe complet. Nos preuves reposent sur des étiquetages combinatoires des régions Shi et Ish, et sur une nouvelle statistique associée.

scholarly journals Growth function for a class of monoids

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Marie Albenque ◽  
Philippe Nadeau
Keyword(s):  
Type A ◽  
Growth Function ◽  
Combinatorial Proof ◽  
Koszul Algebras ◽  
Homogeneous Case ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Coxeter Systems

International audience In this article we study a class of monoids that includes Garside monoids, and give a simple combinatorial proof of a formula for the formal sum of all elements of the monoid. This leads to a formula for the growth function of the monoid in the homogeneous case, and can also be lifted to a resolution of the monoid algebra. These results are then applied to known monoids related to Coxeter systems: we give the growth function of the Artin-Tits monoids, and do the same for the dual braid monoids. In this last case we show that the monoid algebras of the dual braid monoids of type A and B are Koszul algebras. Nous étudions une classe de monoïdes incluant les monoïdes de Garside, et donnons une preuve combinatoire simple d'une formule pour la somme formelle de leurs éléments. Cela mène à une formule pour la fonction de croissance du monoïde dans le cas homogène, et peut être aussi relevé en une résolution de l'algèbre de monoïdes. Ces résultats sont ensuite appliqués aux monoïdes liés aux systèmes de Coxeter : nous donnons la fonction de croissance des monoïdes d'Artin-Tits ainsi que des monoïdes duaux ; pour ces derniers nous montrons que leur algèbre de monoïde en types A et B est une algèbre de Koszul.

scholarly journals A Cluster Expansion Formula ($A_n$ case)

10.37236/788 ◽  
2008 ◽  
Vol 15 (1) ◽  
Author(s):  
Ralf Schiffler
Keyword(s):  
Finite Type ◽  
Cluster Expansion ◽  
Regular Polygon ◽  
Cluster Algebra ◽  
Type A ◽  
Cluster Algebras ◽  
Expansion Formula ◽  
Cluster Variable

We consider the Ptolemy cluster algebras, which are cluster algebras of finite type $A$ (with non-trivial coefficients) that have been described by Fomin and Zelevinsky using triangulations of a regular polygon. Given any seed $\Sigma$ in a Ptolemy cluster algebra, we present a formula for the expansion of an arbitrary cluster variable in terms of the cluster variables of the seed $\Sigma$. Our formula is given in a combinatorial way, using paths on a triangulation of the polygon that corresponds to the seed $\Sigma$.

scholarly journals Bijections of dominant regions in the $m$-Shi arrangements of type $A$, $B$ and $C$

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Myrto Kallipoliti ◽  
Eleni Tzanaki
Keyword(s):  
Type A ◽  
Lattice Paths ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Shi Arrangement ◽  
Nous Utilisons

International audience In the present paper, the relation between the dominant regions in the $m$-Shi arrangement of types $B_n/C_n$, and those of the $m$-Shi arrangement of type $A_{n-1}$ is investigated. More precisely, it is shown explicitly how the sets $R^m(B_n)$ and $R^m(C_n)$, of dominant regions of the $m$-Shi arrangement of types $B_n$ and $C_n$ respectively, can be projected to the set $R^m(A_{n-1})$ of dominant regions of the $m$-Shi arrangement of type $A_{n-1}$. This is done by using two different viewpoints for the representative alcoves of these regions: the Shi tableaux and the abacus diagrams. Moreover, bijections between the sets $R^m(B_n)$, $R^m(C_n)$, and lattice paths inside a rectangle $n\times{mn}$ are provided. Dans cet article, nous étudions la relation entre les régions dominantes du $m$-arrangement de Shi de types $B_n/C_n$ et ceux du $m$-arrangement de Shi de type $A_{n-1}$. Plus précisément, nous montrons comment les ensembles $R^m(B_n)$ et $R^m(C_n)$, des régions dominantes du $m$ -arrangement de Shi de types $B_n$ et $C_n$ respectivement, peuvent être projetés sur l’ensemble $R^m(A_{n-1})$ des régions dominantes du $m$-arrangement de Shi de types $A_{n-1}$. Pour cela nous utilisons deux points de vue différents sur les alcôves représentatives de ces régions: les tableaux de Shi et les diagrammes d’abaques. De plus, nous fournissons des bijections entre les ensembles $R^m(B_n)$, $R^m(C_n)$, et les chemins à l’intérieur d’un rectangle $n\times{mn}$.

scholarly journals Crossings and nestings in set partitions of classical types

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Martin Rubey ◽  
Christian Stump
Keyword(s):  
Nous Avons ◽  
Type A ◽  
The Other ◽  
Type B ◽  
Set Partition ◽  
Set Partitions ◽  
Type D ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
The One

International audience In this extended abstract, we investigate bijections on various classes of set partitions of classical types that preserve openers and closers. On the one hand we present bijections for types $B$ and $C$ that interchange crossings and nestings, which generalize a construction by Kasraoui and Zeng for type $A$. On the other hand we generalize a bijection to type $B$ and $C$ that interchanges the cardinality of a maximal crossing with the cardinality of a maximal nesting, as given by Chen, Deng, Du, Stanley and Yan for type $A$. For type $D$, we were only able to construct a bijection between non-crossing and non-nesting set partitions. For all classical types we show that the set of openers and the set of closers determine a non-crossing or non-nesting set partition essentially uniquely. Dans ce résumé, nous étudions des bijections entre diverses classes de partitions d'ensemble de types classiques qui préservent les "openers'' et les "closers''. D'une part, nous présentons des bijections pour les types $B$ et $C$ qui échangent croisées et emboôtées, qui généralisent une construction de Kasraoui et Zeng pour le type $A$. D'autre part, nous généralisons une bijection pour le type $B$ et $C$ qui échange la cardinalité d'un croisement maximal avec la cardinalité d'un emboîtement maximal comme il a été fait par Chen, Deng, Du, Stanley et Yan pour le type $A$. Pour le type $D$, nous avons seulement construit une bijection entre les partitions non croisées et non emboîtées. Pour tout les types classiques, nous montrons que l'ensemble des "openers'' et l'ensemble des "closers'' déterminent une partition non croisées ou non emboîtées essentiellement de façon unique.

scholarly journals Oriented Flip Graphs and Noncrossing Tree Partitions

2020 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 28th... ◽  
Author(s):  
Alexander Garver ◽  
Thomas McConville
Keyword(s):  
Cluster Algebra ◽  
Type A ◽  
Cluster Algebras ◽  
Exchange Graph ◽  
Simple Characterization ◽  
International Audience ◽  
Flip Graph

International audience Given a tree embedded in a disk, we define two lattices - the oriented flip graph of noncrossing arcs and the lattice of noncrossing tree partitions. When the interior vertices of the tree have degree 3, the oriented flip graph is equivalent to the oriented exchange graph of a type A cluster algebra. Our main result is an isomorphism between the shard intersection order of the oriented flip graph and the lattice of noncrossing tree partitions. As a consequence, we deduce a simple characterization of c-matrices of type A cluster algebras.

scholarly journals Laurent phenomenon and simple modules of quiver Hecke algebras

2019 ◽  
Vol 155 (12) ◽  
pp. 2263-2295 ◽  
Author(s):  
Masaki Kashiwara ◽  
Myungho Kim
Keyword(s):  
Simple Module ◽  
Hecke Algebras ◽  
Duke Math ◽  
Cluster Algebras ◽  
Coordinate Ring ◽  
Simple Modules ◽  
Laurent Phenomenon ◽  
Cluster Variable ◽  
Quantum Cluster

In this paper we study consequences of the results of Kang et al. [Monoidal categorification of cluster algebras, J. Amer. Math. Soc. 31 (2018), 349–426] on a monoidal categorification of the unipotent quantum coordinate ring $A_{q}(\mathfrak{n}(w))$ together with the Laurent phenomenon of cluster algebras. We show that if a simple module $S$ in the category ${\mathcal{C}}_{w}$ strongly commutes with all the cluster variables in a cluster $[\mathscr{C}]$, then $[S]$ is a cluster monomial in $[\mathscr{C}]$. If $S$ strongly commutes with cluster variables except for exactly one cluster variable $[M_{k}]$, then $[S]$ is either a cluster monomial in $[\mathscr{C}]$ or a cluster monomial in $\unicode[STIX]{x1D707}_{k}([\mathscr{C}])$. We give a new proof of the fact that the upper global basis is a common triangular basis (in the sense of Qin [Triangular bases in quantum cluster algebras and monoidal categorification conjectures, Duke Math. 166 (2017), 2337–2442]) of the localization $\widetilde{A}_{q}(\mathfrak{n}(w))$ of $A_{q}(\mathfrak{n}(w))$ at the frozen variables. A characterization on the commutativity of a simple module $S$ with cluster variables in a cluster $[\mathscr{C}]$ is given in terms of the denominator vector of $[S]$ with respect to the cluster $[\mathscr{C}]$.

scholarly journals Multi-cluster complexes

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Cesar Ceballos ◽  
Jean-Philippe Labbé ◽  
Christian Stump
Keyword(s):  
Coxeter Groups ◽  
Type A ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Cluster Complex ◽  
Geometric Properties ◽  
Cluster Complexes ◽  
Combinatorial Description ◽  
Compatibility Relation ◽  
Positive Roots ◽  
International Audience

International audience We present a family of simplicial complexes called \emphmulti-cluster complexes. These complexes generalize the concept of cluster complexes, and extend the notion of multi-associahedra of types ${A}$ and ${B}$ to general finite Coxeter groups. We study combinatorial and geometric properties of these objects and, in particular, provide a simple combinatorial description of the compatibility relation among the set of almost positive roots in the cluster complex. Nous présentons une famille de complexes simpliciaux appelés \emphcomplexes des multi-amas. Ces complexes généralisent le concept de complexes des amas et étendent la notion de multi-associaèdre de type ${A}$ et ${B}$ aux groupes de Coxeter finis. Nous étudions des propriétés combinatoires et géométriques de ces objets et, en particulier nous fournissons une description combinatoire simple de la relation de compatibilité sur l'ensemble des racines presque positives du complexe des amas.

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