scholarly journals Mixed Statistics on $01$-Fillings of Moon Polyominoes

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
William Y. C. Chen ◽  
Andrew Y. Z. Wang ◽  
Catherine H. Yan ◽  
Alina F. Y. Zhao
Keyword(s):  
Joint Distribution ◽  
Bottom Cell ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We establish a stronger symmetry between the numbers of northeast and southeast chains in the context of $01$-fillings of moon polyominoes. Let $\mathcal{M}$ be a moon polyomino. Consider all the $01$-fillings of $\mathcal{M}$ in which every row has at most one $1$. We introduce four mixed statistics with respect to a bipartition of rows or columns of $\mathcal{M}$. More precisely, let $S$ be a subset of rows of $\mathcal{M}$. For any filling $M$, the top-mixed (resp. bottom-mixed) statistic $\alpha (S; M)$ (resp. $\beta (S; M)$) is the sum of the number of northeast chains whose top (resp. bottom) cell is in $S$, together with the number of southeast chains whose top (resp. bottom) cell is in the complement of $S$. Similarly, we define the left-mixed and right-mixed statistics $\gamma (T; M)$ and $\delta (T; M)$, where $T$ is a subset of the columns. Let $\lambda (A; M)$ be any of these four statistics $\alpha (S; M)$, $\beta (S; M)$, $\gamma (T; M)$ and $\delta (T; M)$. We show that the joint distribution of the pair $(\lambda (A; M), \lambda (M/A; M))$ is symmetric and independent of the subsets $S, T$. In particular, the pair of statistics $(\lambda (A;M), \lambda (M/A; M))$ is equidistributed with $(\mathrm{se}(M), \mathrm{ne}(M))$, where $\mathrm{se}(M)$ and $\mathrm{ne}(M)$ are the numbers of southeast chains and northeast chains of $M$, respectively. Nous établissons une symétrie plus forte entre les nombres de chaînes nord-est et sud-est dans le cadre des remplissages $01$ des polyominos lune. Soit $\mathcal{M}$ un polyomino lune. Considérez tous les remplissages $01$ de $\mathcal{M}$ dans lesquels chaque rangée contient au plus un $1$. Nous présentons quatre statistiques mixtes sur les bipartitions des rangées et des colonnes de $\mathcal{M}$. Plus précisément, soit $S$ un sous-ensemble de rangées de $\mathcal{M}$. Pour tout remplissage $M$, la statistique mixte du dessus (resp. du dessous) $\alpha (S; M)$ (resp. $\beta (S; M)$) est la somme du nombre de chaînes nord-est dont le dessus (resp. le dessous) est dans $S$, et du nombre de chaînes sud-est dont la cellule supérieure (resp. inférieure) est dans le complément de $S$. De même, nous définissons les statistiques mixtes à gauche et à droite $\gamma (T; M)$ et $\delta (T; M)$, où $T$ est un sous-ensemble des colonnes. Soit $\lambda (A; M)$ une des quatre statistiques$\alpha (S; M)$, $\beta (S; M)$, $\gamma (T; M)$ et $\delta (T; M)$. Nous montrons que la distribution commune des paires $(\lambda (A; M), \lambda (M/A; M))$ est symétrique et indépendante des sous-ensembles $S, T$. En particulier, la paire de statistiques $(\lambda (A;M), \lambda (M/A; M))$ est équidistribuée avec $(\mathrm{se}(M), \mathrm{ne}(M))$, où $\mathrm{se}(M)$ et $\mathrm{ne}(M)$ sont les nombres de chaînes sud-est et nord-est de $M$ respectivement.

scholarly journals Arc-Coloured Permutations

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Lily Yen
Keyword(s):  
Generating Functions ◽  
Joint Distribution ◽  
Rational Functions ◽  
Set Partitions ◽  
Combinatorial Objects ◽  
Crossing Numbers ◽  
Rational Series ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Labelled Graphs

International audience The equidistribution of many crossing and nesting statistics exists in several combinatorial objects like matchings, set partitions, permutations, and embedded labelled graphs. The involutions switching nesting and crossing numbers for set partitions given by Krattenthaler, also by Chen, Deng, Du, Stanley, and Yan, and for permutations given by Burrill, Mishna, and Post involved passing through tableau-like objects. Recently, Chen and Guo for matchings, and Marberg for set partitions extended the result to coloured arc annotated diagrams. We prove that symmetric joint distribution continues to hold for arc-coloured permutations. As in Marberg's recent work, but through a different interpretation, we also conclude that the ordinary generating functions for all j-noncrossing, k-nonnesting, r-coloured permutations according to size n are rational functions. We use the interpretation to automate the generation of these rational series for both noncrossing and nonnesting coloured set partitions and permutations. <begin>otherlanguage*</begin>french L'équidistribution de plusieurs statistiques décrites en termes d'emboitements et de chevauchements d'arcs s'observes dans plusieurs familles d'objects combinatoires, tels que les couplages, partitions d'ensembles, permutations et graphes étiquetés. L'involution échangeant le nombre d'emboitements et de chevauchements dans les partitions d'ensemble due à Krattenthaler, et aussi Chen, Deng, Du, Stanley et Yan, et l'involution similaire dans les permutations due à Burrill, Mishna et Post, requièrent d'utiliser des objets de type tableaux. Récemment, Chen et Guo pour les couplages, et Marberg pour les partitions d'ensembles, ont étendu ces résultats au cas de diagrammes arc-annotés coloriés. Nous démontrons que la propriété d'équidistribution s'observe est aussi vraie dans le cas de permutations aux arcs coloriés. Tout comme dans le travail résent de Marberg, mais via un autre chemin, nous montrons que les séries génératrices ordinaires des permutations r-coloriées ayant au plus j chevauchements et k emboitements, comptées selon la taille n, sont des fonctions rationnelles. Nous décrivons aussi des algorithmes permettant de calculer ces fonctions rationnelles pour les partitions d'ensembles et les permutations coloriées sans emboitement ou sans chevauchement. <end>otherlanguage*</end>

scholarly journals On $k$-crossings and $k$-nestings of permutations

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Sophie Burrill ◽  
Marni Mishna ◽  
Jacob Post
Keyword(s):  
Joint Distribution ◽  
Crossing Number ◽  
Nous Obtenons ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We introduce $k$-crossings and $k$-nestings of permutations. We show that the crossing number and the nesting number of permutations have a symmetric joint distribution. As a corollary, the number of $k$-noncrossing permutations is equal to the number of $k$-nonnesting permutations. We also provide some enumerative results for $k$-noncrossing permutations for some values of $k$. Nous introduisons les $k$-chevauchement d'arcs et les $k$-empilements d'arcs de permutations. Nous montrons que l'index de chevauchement et l'index de empilement ont une distribution conjointe symétrique pour les permutations de taille $n$. Comme corollaire, nous obtenons que le nombre de permutations n'ayant pas un $k$-chevauchement est égal au nombre de permutations n'ayant un $k$-empilement. Nous fournissons également quelques résultats énumératifs.

scholarly journals Local extrema in random permutations and the structure of longest alternating subsequences

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Dan Romik
Keyword(s):  
Joint Distribution ◽  
Random Permutation ◽  
Random Permutations ◽  
Local Minima ◽  
New Approach ◽  
Successive Minimum ◽  
Local Extrema ◽  
Nous Montrons ◽  
Dimensional Distribution ◽  
International Audience

International audience Let $\textbf{as}_n$ denote the length of a longest alternating subsequence in a uniformly random permutation of order $n$. Stanley studied the distribution of $\textbf{as}_n$ using algebraic methods, and showed in particular that $\mathbb{E}(\textbf{as}_n) = (4n+1)/6$ and $\textrm{Var}(\textbf{as}_n) = (32n-13)/180$. From Stanley's result it can be shown that after rescaling, $\textbf{as}_n$ converges in the limit to the Gaussian distribution. In this extended abstract we present a new approach to the study of $\textbf{as}_n$ by relating it to the sequence of local extrema of a random permutation, which is shown to form a "canonical'' longest alternating subsequence. Using this connection we reprove the abovementioned results in a more probabilistic and transparent way. We also study the distribution of the values of the local minima and maxima, and prove that in the limit the joint distribution of successive minimum-maximum pairs converges to the two-dimensional distribution whose density function is given by $f(s,t) = 3(1-s)t e^{t-s}$. Pour une permutation aléatoire d'ordre $n$, on désigne par $\textbf{as}_n$ la longueur maximale d'une de ses sous-suites alternantes. Stanley a étudié la distribution de $\textbf{as}_n$ en utilisant des méthodes algébriques, et il a démontré en particulier que $\mathbb{E}(\textbf{as}_n) = (4n+1)/6$ et $\textrm{Var}(\textbf{as}_n) = (32n-13)/180$. A partir du résultat de Stanley on peut montrer qu'après changement d'échelle, $\textbf{as}_n$ converge vers la distribution normale. Nous présentons ici une approche nouvelle pour l'étude de $\textbf{as}_n$, en la reliant à la suite des extrema locaux d'une permutation aléatoire, dont nous montrons qu'elle constitue une sous-suite alternante maximale "canonique''. En utilisant cette relation, nous prouvons à nouveau les résultats mentionnés ci-dessus d'une façon plus probabiliste et transparente. En plus, nous prouvons un résultat asymptotique sur la distribution limite des paires formées d'un minimum et d'un maximum locaux consécutifs.

scholarly journals $k$-distant crossings and nestings of matchings and partitions

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Dan Drake ◽  
Jang Soo Kim
Keyword(s):  
Orthogonal Polynomials ◽  
Joint Distribution ◽  
Research Paper ◽  
Set Partitions ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We define and consider $k$-distant crossings and nestings for matchings and set partitions, which are a variation of crossings and nestings in which the distance between vertices is important. By modifying an involution of Kasraoui and Zeng (Electronic J. Combinatorics 2006, research paper 33), we show that the joint distribution of $k$-distant crossings and nestings is symmetric. We also study the numbers of $k$-distant noncrossing matchings and partitions for small $k$, which are counted by well-known sequences, as well as the orthogonal polynomials related to $k$-distant noncrossing matchings and partitions. We extend Chen et al.'s $r$-crossings and enhanced $r$-crossings. Nous définissons les notions de croisements et imbrications $k$-distants sur les appariements et les partitions d'ensemble, qui sont une variation sur les notions usuelles prenant en compte la distance entre les sommets. En modifiant une involution de Kasraoui et Zeng (Electronic J. Combinatorics 2006, research paper 33), nous montrons que la distribution jointe des croisements et imbrications $k$-distants est symétrique. Nous étudions le nombre d'involutions et de partitions sans croisement $k$-distant pour de petites valeurs de $k$, qui sont des suites d'entiers bien connues, ainsi que les polynômes orthogonaux qui leur sont reliés. Nous étendons les notions de $r$-croisements et $r$-croisements améliorés dues à Chen et al.

scholarly journals Macdonald polynomials at $t=q^k$

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jean-Gabriel Luque
Keyword(s):  
Macdonald Polynomials ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We investigate the homogeneous symmetric Macdonald polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ for the specialization $t=q^k$. We show an identity relying the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ and $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. As a consequence, we describe an operator whose eigenvalues characterize the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous nous intéressons aux propriétés des polynômes de Macdonald symétriques $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ pour la spécialisation $t=q^k$. En particulier nous montrons une égalité reliant les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ et $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous en déduisons la description d'un opérateur dont les valeurs propres caractérisent les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$.

scholarly journals The profile of unlabeled trees

2005 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AD,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Bernhard Gittenberger
Keyword(s):  
Local Time ◽  
Joint Distribution ◽  
Random Trees ◽  
Rooted Trees ◽  
Brownian Excursion ◽  
Level Number ◽  
International Audience ◽  
The Times ◽  
Simply Generated Trees

International audience We consider the number of nodes in the levels of unlabeled rooted random trees and show that the joint distribution of several level sizes (where the level number is scaled by $\sqrt{n}$) weakly converges to the distribution of the local time of a Brownian excursion evaluated at the times corresponding to the level numbers. This extends existing results for simply generated trees and forests to the case of unlabeled rooted trees.

scholarly journals Affine descents and the Steinberg torus

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Kevin Dilks ◽  
T. Kyle Petersen ◽  
John R. Stembridge
Keyword(s):  
Weyl Group ◽  
Generating Functions ◽  
Cell Complex ◽  
Premier Lieu ◽  
Coxeter Complex ◽  
Affine Weyl Group ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Translation Subgroup

International audience Let $W \ltimes L$ be an irreducible affine Weyl group with Coxeter complex $\Sigma$, where $W$ denotes the associated finite Weyl group and $L$ the translation subgroup. The Steinberg torus is the Boolean cell complex obtained by taking the quotient of $\Sigma$ by the lattice $L$. We show that the ordinary and flag $h$-polynomials of the Steinberg torus (with the empty face deleted) are generating functions over $W$ for a descent-like statistic first studied by Cellini. We also show that the ordinary $h$-polynomial has a nonnegative $\gamma$-vector, and hence, symmetric and unimodal coefficients. In the classical cases, we also provide expansions, identities, and generating functions for the $h$-polynomials of Steinberg tori. Nous considérons un groupe de Weyl affine irréductible $W \ltimes L$ avec complexe de Coxeter $\Sigma$, où $W$ désigne le groupe de Weyl fini associé et $L$ le sous-groupe des translations. Le tore de Steinberg est le complexe cellulaire Booléen obtenu comme le quotient de $\Sigma$ par $L$. Nous montrons que les $h$-polynômes, ordinaires et de drapeaux, du tore de Steinberg (sans la face vide) sont des fonctions génératrices sur $W$ pour une statistique de type descente, étudiée en premier lieu par Cellini. Nous montrons également qu'un $h$-polynôme ordinaire possède un $\gamma$-vecteur positif, et par conséquent, a des coefficients symétriques et unimodaux. Dans les cas classiques, nous donnons également des développements, des identités et des fonctions génératrices pour les $h$-polynômes des tores de Steinberg.

scholarly journals Appsgate, a Programmable Domestic Eco-system: Learning from "Living in it"

2018 ◽  
Vol Volume 7, Number 1 (Research articles) ◽  
Author(s):  
Joëlle Coutaz ◽  
James L. Crowley
Keyword(s):  
Real World ◽  
Real Life ◽  
End Users ◽  
Team Members ◽  
Mise En Œuvre ◽  
Person Perspective ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Living Labs ◽  
First Person Perspective

International audience We present an experience with the development and evaluation of AppsGate, an ecosystem for the home that can be programmed by end-users. We show the benefits from using the homes of the project team members as real-life living-labs. In particular, we discuss the first person perspective experience as an effective way to conduct longitudinal experiments in real world settings. We conclude that a programmable habitat is desirable provided that attention cost is minimized Cet article présente un retour d’expérience avec la mise en oeuvre et l’évaluation d’AppsGate, un écosystème domestique programmable par l’habitant. Nous montrons l’apport de l’utilisation des domiciles de membres du projet tout au long du processus de développement, et notamment l’intérêt de « vivre avec » comme technique d’expérimentation longitudinale

scholarly journals Mixed volumes of hypersimplices

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Gaku Liu
Keyword(s):  
Catalan Numbers ◽  
Binomial Coefficients ◽  
Type B ◽  
Combinatorial Interpretation ◽  
Mixed Volumes ◽  
Eulerian Numbers ◽  
Eulerian Number ◽  
Nous Montrons ◽  
Set Of Permutations ◽  
International Audience

International audience In this extended abstract we consider mixed volumes of combinations of hypersimplices. These numbers, called mixed Eulerian numbers, were first considered by A. Postnikov and were shown to satisfy many properties related to Eulerian numbers, Catalan numbers, binomial coefficients, etc. We give a general combinatorial interpretation for mixed Eulerian numbers and prove the above properties combinatorially. In particular, we show that each mixed Eulerian number enumerates a certain set of permutations in $S_n$. We also prove several new properties of mixed Eulerian numbers using our methods. Finally, we consider a type $B$ analogue of mixed Eulerian numbers and give an analogous combinatorial interpretation for these numbers. Dans ce résumé étendu nous considérons les volumes mixtes de combinaisons d’hyper-simplexes. Ces nombres, appelés les nombres Eulériens mixtes, ont été pour la première fois étudiés par A. Postnikov, et il a été montré qu’ils satisfont à de nombreuses propriétés reliées aux nombres Eulériens, au nombres de Catalan, aux coefficients binomiaux, etc. Nous donnons une interprétation combinatoire générale des nombres Eulériens mixtes, et nous prouvons combinatoirement les propriétés mentionnées ci-dessus. En particulier, nous montrons que chaque nombre Eulérien mixte compte les éléments d’un certain sous-ensemble de l’ensemble des permutations $S_n$. Nous établissons également plusieurs nouvelles propriétés des nombres Eulériens mixtes grâce à notre méthode. Pour finir, nous introduisons une généralisation en type $B$ des nombres Eulériens mixtes, et nous en donnons une interprétation combinatoire analogue.

scholarly journals Bridge Graphs and Deodhar Parametrizations for Positroid Varieties

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Rachel Karpman
Keyword(s):  
Particle Physics ◽  
Dense Subset ◽  
Regular Map ◽  
Nous Montrons ◽  
Planar Network ◽  
International Audience ◽  
Nous Appellerons ◽  
Combinatorial Constructions ◽  
Obtient Alors ◽  
The Relationship

International audience A <i>parametrization</i> of a positroid variety $\Pi$ of dimension $d$ is a regular map $(\mathbb{C}^{\times})^{d} \rightarrow \Pi$ which is birational onto a dense subset of $\Pi$. There are several remarkable combinatorial constructions which yield parametrizations of positroid varieties. We investigate the relationship between two families of such parametrizations, and prove they are essentially the same. Our first family is defined in terms of Postnikov’s <i>boundary measurement map</i>, and the domain of each parametrization is the space of edge weights of a planar network. We focus on a special class of planar networks called <i>bridge graphs</i>, which have applications to particle physics. Our second family arises from Marsh and Rietsch’s parametrizations of Deodhar components of the flag variety, which are indexed by certain subexpressions of reduced words. Projecting to the Grassmannian gives a family of parametrizations for each positroid variety. We show that each Deodhar parametrization for a positroid variety corresponds to a bridge graph, while each parametrization from a bridge graph agrees with some projected Deodhar parametrization. Soit $\Pi$ une variété positroïde. Nous appellerons <i>paramétrisation</i> toute application régulière $(\mathbb{C}^{\times})^{d} \rightarrow \Pi$ qui est un isomorphisme birégulier sur un sous-ensemble dense de $\Pi$. On sait que plusieurs constructions combinatoires donnent des paramétrisations intéressantes. Le but du présent article est d’investiguer deux familles de telles paramétrisations et de montrer, essentiellement, qu’elles coïncident. La première famille trouve son origine dans la <i>fonction de mesure des bords</i> de Postnikov. Le domaine de chaque paramétrisation est en ce cas-ci l’ensemble de poids des arêtes d’un réseau planaire pondéré. Nous nous concentrons sur une classe particulière de réseaux planaires, les <i>graphes de ponts</i>, ayant des applications à la physique subatomique. La deuxième famille provient des paramétrisations de Marsh et de Rietsch des composantes de Deodhar (indexées par certaines sous-expressions de mots réduits de permutations) de la variété de drapeaux. On obtient alors des paramétrisations de cellules de positroïdes en appliquant la projection à la grassmannienne. Nous montrons que chaque paramétrisation de Deodhar correspond à un graphe de ponts; d’autre part, chaque paramétrisation provenant d’un graphe de ponts s’accorde avec quelque paramétrisation de Deodhar.

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