scholarly journals Arc-Coloured Permutations

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Lily Yen
Keyword(s):  
Generating Functions ◽  
Joint Distribution ◽  
Rational Functions ◽  
Set Partitions ◽  
Combinatorial Objects ◽  
Crossing Numbers ◽  
Rational Series ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Labelled Graphs

International audience The equidistribution of many crossing and nesting statistics exists in several combinatorial objects like matchings, set partitions, permutations, and embedded labelled graphs. The involutions switching nesting and crossing numbers for set partitions given by Krattenthaler, also by Chen, Deng, Du, Stanley, and Yan, and for permutations given by Burrill, Mishna, and Post involved passing through tableau-like objects. Recently, Chen and Guo for matchings, and Marberg for set partitions extended the result to coloured arc annotated diagrams. We prove that symmetric joint distribution continues to hold for arc-coloured permutations. As in Marberg's recent work, but through a different interpretation, we also conclude that the ordinary generating functions for all j-noncrossing, k-nonnesting, r-coloured permutations according to size n are rational functions. We use the interpretation to automate the generation of these rational series for both noncrossing and nonnesting coloured set partitions and permutations. <begin>otherlanguage*</begin>french L'équidistribution de plusieurs statistiques décrites en termes d'emboitements et de chevauchements d'arcs s'observes dans plusieurs familles d'objects combinatoires, tels que les couplages, partitions d'ensembles, permutations et graphes étiquetés. L'involution échangeant le nombre d'emboitements et de chevauchements dans les partitions d'ensemble due à Krattenthaler, et aussi Chen, Deng, Du, Stanley et Yan, et l'involution similaire dans les permutations due à Burrill, Mishna et Post, requièrent d'utiliser des objets de type tableaux. Récemment, Chen et Guo pour les couplages, et Marberg pour les partitions d'ensembles, ont étendu ces résultats au cas de diagrammes arc-annotés coloriés. Nous démontrons que la propriété d'équidistribution s'observe est aussi vraie dans le cas de permutations aux arcs coloriés. Tout comme dans le travail résent de Marberg, mais via un autre chemin, nous montrons que les séries génératrices ordinaires des permutations r-coloriées ayant au plus j chevauchements et k emboitements, comptées selon la taille n, sont des fonctions rationnelles. Nous décrivons aussi des algorithmes permettant de calculer ces fonctions rationnelles pour les partitions d'ensembles et les permutations coloriées sans emboitement ou sans chevauchement. <end>otherlanguage*</end>

scholarly journals Crossings and Nestings for Arc-Coloured Permutations and Automation

10.37236/4080 ◽  
2015 ◽  
Vol 22 (1) ◽  
Author(s):  
Lily Yen
Keyword(s):  
Generating Functions ◽  
Joint Distribution ◽  
Rational Functions ◽  
Set Partitions ◽  
Combinatorial Objects

Symmetric joint distribution between crossings and nestings was established in several combinatorial objects. Recently, Marberg extended Chen and Guo's result on coloured matchings to coloured set partitions following a multi-dimensional generalization of the bijection and enumerative methods from Chen, Deng, Du, Stanley, and Yan. We complete the study for arc-coloured permutations by establishing symmetric joint distribution for crossings and nestings and by showing that the ordinary generating functions for $j$-noncrossing, $k$-nonnesting, $r$-coloured permutations according to size $n$ are rational functions. Finally, we automate the generation of these rational functions and analyse the first $70$ series.

scholarly journals The sandpile model, polyominoes, and a $q,t$-Narayana polynomial

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Mark Dukes ◽  
Yvan Le Borgne
Keyword(s):  
Generating Functions ◽  
Complete Bipartite Graph ◽  
Combinatorial Structures ◽  
Set Partitions ◽  
Sandpile Model ◽  
Combinatorial Objects ◽  
Dyck Paths ◽  
Special Cases ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We give a polyomino characterisation of recurrent configurations of the sandpile model on the complete bipartite graph $K_{m,n}$ in which one designated vertex is the sink. We present a bijection from these recurrent configurations to decorated parallelogram polyominoes whose bounding box is a $m×n$ rectangle. Other combinatorial structures appear in special cases of this correspondence: for example bicomposition matrices (a matrix analogue of set partitions), and (2+2)-free posets. A canonical toppling process for recurrent configurations gives rise to a path within the associated parallelogram polyominoes. We define a collection of polynomials that we call $q,t$-Narayana polynomials, the generating functions of the bistatistic $(\mathsf{area ,parabounce} )$ on the set of parallelogram polyominoes, akin to Haglund's $(\mathsf{area ,hagbounce} )$ bistatistic on Dyck paths. In doing so, we have extended a bistatistic of Egge et al. to the set of parallelogram polyominoes. This is one answer to their question concerning extensions to other combinatorial objects. We conjecture the $q,t$-Narayana polynomials to be symmetric and discuss the proofs for numerous special cases. We also show a relationship between the $q,t$-Catalan polynomials and our bistatistic $(\mathsf{area ,parabounce}) $on a subset of parallelogram polyominoes. Pour le modèle du tas de sable sur un graphe $K_m,n$ biparti complet, on donne une description des configurations rècurrentes à l'aide d'une bijection avec des polyominos parallèlogrammes dècorès de rectangle englobant $m×n$. D'autres classes combinatoires apparaissent comme des cas particuliers de cette construction: par exemple les matrices de bicomposition et les ordres partiels évitant le motif (2+2). Un processus d'éboulement canonique des configurations récurrentes se traduit par un chemin bondissant dans le polyomino parallèlogramme associè. Nous définissons une famille de polynômes, baptisée de $q,t$-Narayana, à travers la distribution d'une paire de statistique $(\mathsf{aire, poidscheminbondissant})$ sur les polyominos parallélogrammes similaire à celle de Haglund définissant les polynômes de $q,t$-Catalan sur les chemins de Dyck. Ainsi nous étendons une paire de statistique de Egge et d'autres à l'ensemble des polynominos parallélogrammes. Cela répond à l'une de leur question sur des généralistations à d'autres objets combinatoires. Nous conjecturons que les polynômes de $q,t$-Narayana sont symétriques et discutons des preuves de plusieurs cas particuliers. Nous montrons ègalement une relation avec les polynômes de $q,t$-Catalan en restreignant notre paire de statistique à un sous-ensemble des polyominos parallélogrammes.

scholarly journals $k$-distant crossings and nestings of matchings and partitions

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Dan Drake ◽  
Jang Soo Kim
Keyword(s):  
Orthogonal Polynomials ◽  
Joint Distribution ◽  
Research Paper ◽  
Set Partitions ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We define and consider $k$-distant crossings and nestings for matchings and set partitions, which are a variation of crossings and nestings in which the distance between vertices is important. By modifying an involution of Kasraoui and Zeng (Electronic J. Combinatorics 2006, research paper 33), we show that the joint distribution of $k$-distant crossings and nestings is symmetric. We also study the numbers of $k$-distant noncrossing matchings and partitions for small $k$, which are counted by well-known sequences, as well as the orthogonal polynomials related to $k$-distant noncrossing matchings and partitions. We extend Chen et al.'s $r$-crossings and enhanced $r$-crossings. Nous définissons les notions de croisements et imbrications $k$-distants sur les appariements et les partitions d'ensemble, qui sont une variation sur les notions usuelles prenant en compte la distance entre les sommets. En modifiant une involution de Kasraoui et Zeng (Electronic J. Combinatorics 2006, research paper 33), nous montrons que la distribution jointe des croisements et imbrications $k$-distants est symétrique. Nous étudions le nombre d'involutions et de partitions sans croisement $k$-distant pour de petites valeurs de $k$, qui sont des suites d'entiers bien connues, ainsi que les polynômes orthogonaux qui leur sont reliés. Nous étendons les notions de $r$-croisements et $r$-croisements améliorés dues à Chen et al.

scholarly journals Affine descents and the Steinberg torus

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Kevin Dilks ◽  
T. Kyle Petersen ◽  
John R. Stembridge
Keyword(s):  
Weyl Group ◽  
Generating Functions ◽  
Cell Complex ◽  
Premier Lieu ◽  
Coxeter Complex ◽  
Affine Weyl Group ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Translation Subgroup

International audience Let $W \ltimes L$ be an irreducible affine Weyl group with Coxeter complex $\Sigma$, where $W$ denotes the associated finite Weyl group and $L$ the translation subgroup. The Steinberg torus is the Boolean cell complex obtained by taking the quotient of $\Sigma$ by the lattice $L$. We show that the ordinary and flag $h$-polynomials of the Steinberg torus (with the empty face deleted) are generating functions over $W$ for a descent-like statistic first studied by Cellini. We also show that the ordinary $h$-polynomial has a nonnegative $\gamma$-vector, and hence, symmetric and unimodal coefficients. In the classical cases, we also provide expansions, identities, and generating functions for the $h$-polynomials of Steinberg tori. Nous considérons un groupe de Weyl affine irréductible $W \ltimes L$ avec complexe de Coxeter $\Sigma$, où $W$ désigne le groupe de Weyl fini associé et $L$ le sous-groupe des translations. Le tore de Steinberg est le complexe cellulaire Booléen obtenu comme le quotient de $\Sigma$ par $L$. Nous montrons que les $h$-polynômes, ordinaires et de drapeaux, du tore de Steinberg (sans la face vide) sont des fonctions génératrices sur $W$ pour une statistique de type descente, étudiée en premier lieu par Cellini. Nous montrons également qu'un $h$-polynôme ordinaire possède un $\gamma$-vecteur positif, et par conséquent, a des coefficients symétriques et unimodaux. Dans les cas classiques, nous donnons également des développements, des identités et des fonctions génératrices pour les $h$-polynômes des tores de Steinberg.

scholarly journals Triangulations of $\Delta_{n-1} \times \Delta_{d-1}$ and Tropical Oriented Matroids

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Suho Oh ◽  
Hwanchul Yoo
Keyword(s):  
Oriented Matroids ◽  
Oriented Matroid ◽  
Nous Proposons ◽  
Combinatorial Objects ◽  
New Class ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Tropical Polytopes

International audience Develin and Sturmfels showed that regular triangulations of $\Delta_{n-1} \times \Delta_{d-1}$ can be thought of as tropical polytopes. Tropical oriented matroids were defined by Ardila and Develin, and were conjectured to be in bijection with all subdivisions of $\Delta_{n-1} \times \Delta_{d-1}$. In this paper, we show that any triangulation of $\Delta_{n-1} \times \Delta_{d-1}$ encodes a tropical oriented matroid. We also suggest a new class of combinatorial objects that may describe all subdivisions of a bigger class of polytopes. Develin et Sturmfels ont montré que les triangulations de $\Delta_{n-1} \times \Delta_{d-1}$ peuvent être considérées comme des polytopes tropicaux. Les matroïdes orientés tropicaux ont été définis par Ardila et Develin, et ils ont été conjecturés être en bijection avec les subdivisions de $\Delta_{n-1} \times \Delta_{d-1}$. Dans cet article, nous montrons que toute triangulation de $\Delta_{n-1} \times \Delta_{d-1}$ encode un matroïde orienté tropical. De plus, nous proposons une nouvelle classe d'objets combinatoires qui peuvent décrire toutes les subdivisions d'une plus grande classe de polytopes.

scholarly journals Mixed Statistics on $01$-Fillings of Moon Polyominoes

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
William Y. C. Chen ◽  
Andrew Y. Z. Wang ◽  
Catherine H. Yan ◽  
Alina F. Y. Zhao
Keyword(s):  
Joint Distribution ◽  
Bottom Cell ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We establish a stronger symmetry between the numbers of northeast and southeast chains in the context of $01$-fillings of moon polyominoes. Let $\mathcal{M}$ be a moon polyomino. Consider all the $01$-fillings of $\mathcal{M}$ in which every row has at most one $1$. We introduce four mixed statistics with respect to a bipartition of rows or columns of $\mathcal{M}$. More precisely, let $S$ be a subset of rows of $\mathcal{M}$. For any filling $M$, the top-mixed (resp. bottom-mixed) statistic $\alpha (S; M)$ (resp. $\beta (S; M)$) is the sum of the number of northeast chains whose top (resp. bottom) cell is in $S$, together with the number of southeast chains whose top (resp. bottom) cell is in the complement of $S$. Similarly, we define the left-mixed and right-mixed statistics $\gamma (T; M)$ and $\delta (T; M)$, where $T$ is a subset of the columns. Let $\lambda (A; M)$ be any of these four statistics $\alpha (S; M)$, $\beta (S; M)$, $\gamma (T; M)$ and $\delta (T; M)$. We show that the joint distribution of the pair $(\lambda (A; M), \lambda (M/A; M))$ is symmetric and independent of the subsets $S, T$. In particular, the pair of statistics $(\lambda (A;M), \lambda (M/A; M))$ is equidistributed with $(\mathrm{se}(M), \mathrm{ne}(M))$, where $\mathrm{se}(M)$ and $\mathrm{ne}(M)$ are the numbers of southeast chains and northeast chains of $M$, respectively. Nous établissons une symétrie plus forte entre les nombres de chaînes nord-est et sud-est dans le cadre des remplissages $01$ des polyominos lune. Soit $\mathcal{M}$ un polyomino lune. Considérez tous les remplissages $01$ de $\mathcal{M}$ dans lesquels chaque rangée contient au plus un $1$. Nous présentons quatre statistiques mixtes sur les bipartitions des rangées et des colonnes de $\mathcal{M}$. Plus précisément, soit $S$ un sous-ensemble de rangées de $\mathcal{M}$. Pour tout remplissage $M$, la statistique mixte du dessus (resp. du dessous) $\alpha (S; M)$ (resp. $\beta (S; M)$) est la somme du nombre de chaînes nord-est dont le dessus (resp. le dessous) est dans $S$, et du nombre de chaînes sud-est dont la cellule supérieure (resp. inférieure) est dans le complément de $S$. De même, nous définissons les statistiques mixtes à gauche et à droite $\gamma (T; M)$ et $\delta (T; M)$, où $T$ est un sous-ensemble des colonnes. Soit $\lambda (A; M)$ une des quatre statistiques$\alpha (S; M)$, $\beta (S; M)$, $\gamma (T; M)$ et $\delta (T; M)$. Nous montrons que la distribution commune des paires $(\lambda (A; M), \lambda (M/A; M))$ est symétrique et indépendante des sous-ensembles $S, T$. En particulier, la paire de statistiques $(\lambda (A;M), \lambda (M/A; M))$ est équidistribuée avec $(\mathrm{se}(M), \mathrm{ne}(M))$, où $\mathrm{se}(M)$ et $\mathrm{ne}(M)$ sont les nombres de chaînes sud-est et nord-est de $M$ respectivement.

scholarly journals Tamari Lattices for Parabolic Quotients of the Symmetric Group

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Henri Mühle ◽  
Nathan Williams
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Coxeter Groups ◽  
Weak Order ◽  
Set Partitions ◽  
Tamari Lattice ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Tamari Lattices

International audience We present a generalization of the Tamari lattice to parabolic quotients of the symmetric group. More precisely, we generalize the notions of 231-avoiding permutations, noncrossing set partitions, and nonnesting set partitions to parabolic quotients, and show bijectively that these sets are equinumerous. Furthermore, the restriction of weak order on the parabolic quotient to the parabolic 231-avoiding permutations is a lattice quotient. Lastly, we suggest how to extend these constructions to all Coxeter groups. Nous présentons une généralisation du treillis de Tamari aux quotients paraboliques du groupe symétrique. Plus précisément, nous généralisons les notions de permutations qui évitent le motif 231, les partitions non-croisées, et les partitions non-emboîtées aux quotients paraboliques, et nous montrons de façon bijective que ces ensembles sont équipotents. En restreignant l’ordre faible du quotient parabolique aux permutations paraboliques qui évitent le motif 231, on obtient un quotient de treillis d’ordre faible. Enfin, nous suggérons comment étendre ces constructions à tous les groupes de Coxeter.

scholarly journals Asymptotics of lattice walks via analytic combinatorics in several variables

2020 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 28th... ◽  
Author(s):  
Stephen Melczer ◽  
Mark C. Wilson
Keyword(s):  
Generating Functions ◽  
Kernel Method ◽  
Rational Functions ◽  
Two Dimensional ◽  
Combinatorial Properties ◽  
Analytic Combinatorics ◽  
Several Variables ◽  
Algebra Approach ◽  
Finite Set ◽  
International Audience

International audience We consider the enumeration of walks on the two-dimensional non-negative integer lattice with steps defined by a finite set S ⊆ {±1, 0}2 . Up to isomorphism there are 79 unique two-dimensional models to consider, and previous work in this area has used the kernel method, along with a rigorous computer algebra approach, to show that 23 of the 79 models admit D-finite generating functions. In 2009, Bostan and Kauers used Pade ́-Hermite approximants to guess differential equations which these 23 generating functions satisfy, in the process guessing asymptotics of their coefficient sequences. In this article we provide, for the first time, a complete rigorous verification of these guesses. Our technique is to use the kernel method to express 19 of the 23 generating functions as diagonals of tri-variate rational functions and apply the methods of analytic combinatorics in several variables (the remaining 4 models have algebraic generating functions and can thus be handled by univariate techniques). This approach also shows the link between combinatorial properties of the models and features of its asymptotics such as asymptotic and polynomial growth factors. In addition, we give expressions for the number of walks returning to the x-axis, the y-axis, and the origin, proving recently conjectured asymptotics of Bostan, Chyzak, van Hoeij, Kauers, and Pech.

scholarly journals On $k$-crossings and $k$-nestings of permutations

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Sophie Burrill ◽  
Marni Mishna ◽  
Jacob Post
Keyword(s):  
Joint Distribution ◽  
Crossing Number ◽  
Nous Obtenons ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We introduce $k$-crossings and $k$-nestings of permutations. We show that the crossing number and the nesting number of permutations have a symmetric joint distribution. As a corollary, the number of $k$-noncrossing permutations is equal to the number of $k$-nonnesting permutations. We also provide some enumerative results for $k$-noncrossing permutations for some values of $k$. Nous introduisons les $k$-chevauchement d'arcs et les $k$-empilements d'arcs de permutations. Nous montrons que l'index de chevauchement et l'index de empilement ont une distribution conjointe symétrique pour les permutations de taille $n$. Comme corollaire, nous obtenons que le nombre de permutations n'ayant pas un $k$-chevauchement est égal au nombre de permutations n'ayant un $k$-empilement. Nous fournissons également quelques résultats énumératifs.

scholarly journals Partition and composition matrices: two matrix analogues of set partitions

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Anders Claesson ◽  
Mark Dukes ◽  
Martina Kubitzke
Keyword(s):  
Transfer Matrix ◽  
Transfer Matrix Method ◽  
Matrix Method ◽  
Set Partitions ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
One To One ◽  
Natural Result ◽  
Ascent Sequences ◽  
Nous Utilisons

International audience This paper introduces two matrix analogues for set partitions; partition and composition matrices. These two analogues are the natural result of lifting the mapping between ascent sequences and integer matrices given in Dukes & Parviainen (2010). We prove that partition matrices are in one-to-one correspondence with inversion tables. Non-decreasing inversion tables are shown to correspond to partition matrices with a row ordering relation. Partition matrices which are s-diagonal are classified in terms of inversion tables. Bidiagonal partition matrices are enumerated using the transfer-matrix method and are equinumerous with permutations which are sortable by two pop-stacks in parallel. We show that composition matrices on the set $X$ are in one-to-one correspondence with (2+2)-free posets on $X$.We show that pairs of ascent sequences and permutations are in one-to-one correspondence with (2+2)-free posets whose elements are the cycles of a permutation, and use this relation to give an expression for the number of (2+2)-free posets on $\{1,\ldots,n\}$. Ce papier introduit deux analogues matriciels des partitions d'ensembles: les matrices de composition et de partition. Ces deux analogues sont le produit naturel du relèvement de l'application entre suites de montées et matrices d'entiers introduite dans Dukes & Parviainen (2010). Nous démontrons que les matrices de partition sont en bijection avec les tables d'inversion, les tables d'inversion croissantes correspondant aux matrices de partition avec une relation d'ordre sur les lignes. Les matrices de partition s-diagonales sont classées en fonction de leurs tables d'inversion. Les matrices de partition bidiagonales sont énumérées par la méthode de matrices de transfert et ont même cardinalité que les permutations triables par deux piles en parallèle. Nous montrons que les matrices de composition sur l'ensemble $X$ sont en bijection avec les ensembles ordonnés (2+2)-libres sur $X$. Nous prouvons que les paires de suites de montées et de permutations sont en bijection avec les ensembles ordonnés (2+2)-libres dont les éléments sont les cycles d'une permutation, et nous utilisons cette relation pour exprimer le nombre d'ensembles ordonnés (2+2)-libres sur $\{1,\ldots,n\}$.

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