scholarly journals Word equations in a uniquely divisible group

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Christopher J. Hillar ◽  
Lionel Levine ◽  
Darren Rhea
Keyword(s):  
Positive Integer ◽  
Complete Classification ◽  
Irreducible Factor ◽  
Nous Obtenons ◽  
Nous Pensons ◽  
Word Equation ◽  
Nous Montrons ◽  
Finite Word ◽  
Word Equations ◽  
International Audience

International audience We study equations in groups $G$ with unique $m$-th roots for each positive integer $m$. A word equation in two letters is an expression of the form$ w(X,A) = B$, where $w$ is a finite word in the alphabet ${X,A}$. We think of $A,B ∈G$ as fixed coefficients, and $X ∈G$ as the unknown. Certain word equations, such as $XAXAX=B$, have solutions in terms of radicals: $X = A^-1/2(A^1/2BA^1/2)^1/3A^-1/2$, while others such as $X^2 A X = B$ do not. We obtain the first known infinite families of word equations not solvable by radicals, and conjecture a complete classification. To a word w we associate a polynomial $P_w ∈ℤ[x,y]$ in two commuting variables, which factors whenever $w$ is a composition of smaller words. We prove that if $P_w(x^2,y^2)$ has an absolutely irreducible factor in $ℤ[x,y]$, then the equation $w(X,A)=B$ is not solvable in terms of radicals. Nous étudions des équations dans les groupes $G$ avec les $m$-th racines uniques pour chaque nombre entier positif m. Une équation de mot dans deux lettres est une expression de la forme $w(X, A) = B$, où $w$ est un mot fini dans l'alphabet ${X, A}$. Nous pensons $A, B ∈G$ en tant que coefficients fixes, et $X ∈G$ en tant que inconnu. Certaines équations de mot, telles que $XAXAX=B$, ont des solutions en termes de radicaux: $X = A^-1/2(A^1/2BA^1/2)^1/3A^-1/2$, alors que d'autres tel que $X^2 A X = B$ ne font pas. Nous obtenons les familles infinies d'abord connues des équations de mot non solubles par des radicaux, et conjecturons une classification complété. Á un mot $w$ nous associons un polynôme $P_w ∈ℤ[x, y]$ dans deux variables de permutation, qui factorise toutes les fois que $w$ est une composition de plus petits mots. Nous montrons que si $P_w(x^2, y^2)$ a un facteur absolument irréductible dans $ℤ[x, y]$, alors l'équation $w(X, A)=B$ n'est pas soluble en termes de radicaux.

scholarly journals The down operator and expansions of near rectangular k-Schur functions

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Chris Berg ◽  
Franco Saliola ◽  
Luis Serrano
Keyword(s):  
Weyl Group ◽  
Schur Functions ◽  
Nous Obtenons ◽  
Combinatorial Interpretation ◽  
Affine Weyl Group ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We prove that the Lam-Shimozono ``down operator'' on the affine Weyl group induces a derivation of the affine Fomin-Stanley subalgebra of the affine nilCoxeter algebra. We use this to verify a conjecture of Berg, Bergeron, Pon and Zabrocki describing the expansion of k-Schur functions of ``near rectangles'' in the affine nilCoxeter algebra. Consequently, we obtain a combinatorial interpretation of the corresponding k-Littlewood–Richardson coefficients. Nous montrons que l’opérateur ``down'', défini par Lam et Shimozono sur le groupe de Weyl affine, induit une dérivation de la sous-algèbre affine de Fomin-Stanley de l'algèbre affine de nilCoxeter. Nous employons cette dérivation pour vérifier une conjecture de Berg, Bergeron, Pon et Zabrocki sur l'expansion des k-fonctions de Schur indexées par les partitions qui sont ``presque rectangles''. Par conséquent, nous obtenons une interprétation combinatoire des k-coefficients de Littlewood–Richardson correspondants.

scholarly journals On $k$-crossings and $k$-nestings of permutations

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Sophie Burrill ◽  
Marni Mishna ◽  
Jacob Post
Keyword(s):  
Joint Distribution ◽  
Crossing Number ◽  
Nous Obtenons ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We introduce $k$-crossings and $k$-nestings of permutations. We show that the crossing number and the nesting number of permutations have a symmetric joint distribution. As a corollary, the number of $k$-noncrossing permutations is equal to the number of $k$-nonnesting permutations. We also provide some enumerative results for $k$-noncrossing permutations for some values of $k$. Nous introduisons les $k$-chevauchement d'arcs et les $k$-empilements d'arcs de permutations. Nous montrons que l'index de chevauchement et l'index de empilement ont une distribution conjointe symétrique pour les permutations de taille $n$. Comme corollaire, nous obtenons que le nombre de permutations n'ayant pas un $k$-chevauchement est égal au nombre de permutations n'ayant un $k$-empilement. Nous fournissons également quelques résultats énumératifs.

scholarly journals Demazure crystals and the energy function

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Anne Schilling ◽  
Peter Tingley
Keyword(s):  
Energy Function ◽  
Tensor Products ◽  
Macdonald Polynomials ◽  
Close Connection ◽  
Whittaker Functions ◽  
Nous Obtenons ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Demazure Character ◽  
Demazure Crystals

International audience There is a close connection between Demazure crystals and tensor products of Kirillov–Reshetikhin crystals. For example, certain Demazure crystals are isomorphic as classical crystals to tensor products of Kirillov–Reshetikhin crystals via a canonically chosen isomorphism. Here we show that this isomorphism intertwines the natural affine grading on Demazure crystals with a combinatorially defined energy function. As a consequence, we obtain a formula of the Demazure character in terms of the energy function, which has applications to nonsymmetric Macdonald polynomials and $q$-deformed Whittaker functions. Les cristaux de Demazure et les produits tensoriels de cristaux Kirillov–Reshetikhin sont étroitement liés. Par exemple, certains cristaux de Demazure sont isomorphes, en tant que cristaux classiques, à des produits tensoriels de cristaux Kirillov–Reshetikhin via un isomorphisme que l'on peut choisir canoniquement. Ici, nous montrons que cet isomorphisme entremêle la graduation affine naturelle des cristaux de Demazure avec une fonction énergie définie combinatoirement. Comme conséquence, nous obtenons une formule pour le caractère de Demazure exprimée au moyen de la fonction énergie, avec des applications aux polynômes de Macdonald non symétriques et aux fonctions de Whittaker $q$-déformées.

scholarly journals Integrality of hook ratios

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Paul-Olivier Dehaye
Keyword(s):  
Number Theory ◽  
Additional Condition ◽  
Complete Classification ◽  
Additive Combinatorics ◽  
Nous Obtenons ◽  
Analogous Question ◽  
International Audience ◽  
Cette Question

International audience We study integral ratios of hook products of quotient partitions. This question is motivated by an analogous question in number theory concerning integral factorial ratios. We prove an analogue of a theorem of Landau that already applied in the factorial case. Under the additional condition that the ratio has one more factor on the denominator than the numerator, we provide a complete classification. Ultimately this relies on Kneser's theorem in additive combinatorics. Nous étudions les fractions de produits d'équerres de partitions quotients. Cette question fait écho à une question en théorie des nombres sur les quotients entiers de factorielles. Nous prouvons un analogue du théorème de Landau, qui aidait déjà dans le cas des factorielles. Sous l'hypothèse supplémentaire d'une fraction avec un facteur de plus au dénominateur qu'au numérateur, nous obtenons une classification complète. Cette partie de la preuve repose sur un théorème de Kneser en combinatoire additive.

scholarly journals $n!$ matchings, $n!$ posets (extended abstract)

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Anders Claesson ◽  
Svante Linusson
Keyword(s):  
Specific Pattern ◽  
Independent Interest ◽  
Nous Proposons ◽  
Combinatorial Objects ◽  
Nous Pensons ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Ascent Sequences

International audience We show that there are $n!$ matchings on $2n$ points without, so called, left (neighbor) nestings. We also define a set of naturally labelled $(2+2)$-free posets, and show that there are $n!$ such posets on $n$ elements. Our work was inspired by Bousquet-Mélou, Claesson, Dukes and Kitaev [J. Combin. Theory Ser. A. 117 (2010) 884―909]. They gave bijections between four classes of combinatorial objects: matchings with no neighbor nestings (due to Stoimenow), unlabelled $(2+2)$-free posets, permutations avoiding a specific pattern, and so called ascent sequences. We believe that certain statistics on our matchings and posets could generalize the work of Bousquet-Mélou et al. and we make a conjecture to that effect. We also identify natural subsets of matchings and posets that are equinumerous to the class of unlabeled $(2+2)$-free posets. We give bijections that show the equivalence of (neighbor) restrictions on nesting arcs with (neighbor) restrictions on crossing arcs. These bijections are thought to be of independent interest. One of the bijections maps via certain upper-triangular integer matrices that have recently been studied by Dukes and Parviainen [Electron. J. Combin. 17 (2010) #R53]. Nous montrons qu'il y a $n!$ couplages sur $2n$ points sans emboîtement (de voisins) à gauche. Nous définissons aussi un ensemble d'EPO (ensembles partiellement ordonnés) sans motif $(2+2)$ naturellement étiquetés, et montrons qu'il y a $n!$ tels EPO sur $n$ éléments. Notre travail a été inspiré par Bousquet-Mélou, Claesson, Dukes et Kitaev [J. Combin. Theory Ser. A. 117 (2010) 884―909]. Ces auteurs donnent des bijections entre quatre classes d'objets combinatoires: couplages sans emboîtement de voisins (dû à Stoimenow), EPO sans motif $(2+2)$ non étiquetés, permutations évitant un certain motif, et des objets appelés suites à montées. Nous pensons que certaines statistiques sur nos couplages et nos EPO pourraient généraliser le travail de Bousquet-Mélou et al. et nous proposons une conjecture à ce sujet. Nous identifions aussi des sous-ensembles naturels de couplages et d'EPO qui sont énumérés par la même séquence que la classe des EPO sans motif $(2+2)$ non étiquetés. Nous donnons des bijections qui démontrent l'équivalence entre les restrictions sur les emboîtements (d'arcs voisins) et les restrictions sur les croisements (d'arcs voisins). Nous pensons que ces bijections présentent un intérêt propre. L'une de ces bijections passe par certaines matrices triangulaires supérieures à coefficients entiers qui ont été récemment étudiées par Dukes et Parviainen [Electron. J. Combin. 17 (2010) #R53].

scholarly journals Deodhar Elements in Kazhdan-Lusztig Theory

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Brant Jones
Keyword(s):  
Coxeter Groups ◽  
Pattern Avoidance ◽  
Weyl Groups ◽  
Schubert Varieties ◽  
Combinatorial Formula ◽  
Nous Obtenons ◽  
Integer Coefficients ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Lusztig Polynomials

International audience The Kazhdan-Lusztig polynomials for finite Weyl groups arise in representation theory as well as the geometry of Schubert varieties. It was proved very soon after their introduction that they have nonnegative integer coefficients, but no simple all positive interpretation for them is known in general. Deodhar has given a framework, which generally involves recursion, to express the Kazhdan-Lusztig polynomials in a very attractive form. We use a new kind of pattern-avoidance that can be defined for general Coxeter groups to characterize when Deodhar's algorithm yields a non-recursive combinatorial formula for Kazhdan-Lusztig polynomials $P_{x,w}(q)$ of finite Weyl groups. This generalizes results of Billey-Warrington which identified the $321$-hexagon-avoiding permutations, and Fan-Green which identified the fully-tight Coxeter groups. We also show that the leading coefficient known as $\mu (x,w)$ for these Kazhdan―Lusztig polynomials is always either $0$ or $1$. Finally, we generalize the simple combinatorial formula for the Kazhdan―Lusztig polynomials of the $321$-hexagon-avoiding permutations to the case when $w$ is hexagon avoiding and maximally clustered. Les polynômes de Kazhdan-Lusztig $P_{x,w}(q)$ des groupes de Weyl finis apparaissent en théorie des représentations, ainsi qu’en géométrie des variétés de Schubert. Il a été démontré peu après leur introduction qu’ils avaient des coefficients entiers positifs, mais on ne connaît toujours pas d’interprétation combinatoire simple de cette propriété dans le cas général. Deodhar a proposé un cadre donnant un algorithme, en général récursif, calculant des formules attractives pour les polynômes de Kazhdan-Lusztig. Billey-Warrington ont démontré que cet algorithme est non récursif lorsque$w$ évite les hexagones et les $321$ et qu’il donne des formules combinatoires simples. Nous introduisons une notion d’évitement de schémas dansles groupes de Coxeter quelconques nous permettant de généraliser les résultats de Billey-Warrington à tout groupe de Weyl fini. Nous montrons que le coefficient de tête $\mu (x,w)$ de ces polynômes de Kazhdan-Lusztig est toujours $0$ ou $1$. Cela généralise aussi des résultats de Fan-Greenqui identifient les groupes de Coxeter complètement serrés. Enfin, en type $A$, nous obtenons une classe plus large de permutations évitant la récursion.

scholarly journals Matrices with restricted entries and q-analogues of permutations (extended abstract)

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Joel Brewster Lewis ◽  
Ricky Ini Liu ◽  
Alejandro H. Morales ◽  
Greta Panova ◽  
Steven V Sam ◽  
...  
Keyword(s):  
Finite Field ◽  
Symmetric Matrices ◽  
Closed Formula ◽  
Nous Obtenons ◽  
Open Questions ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Invertible Matrices

International audience We study the functions that count matrices of given rank over a finite field with specified positions equal to zero. We show that these matrices are $q$-analogues of permutations with certain restricted values. We obtain a simple closed formula for the number of invertible matrices with zero diagonal, a $q$-analogue of derangements, and a curious relationship between invertible skew-symmetric matrices and invertible symmetric matrices with zero diagonal. In addition, we provide recursions to enumerate matrices and symmetric matrices with zero diagonal by rank. Finally, we provide a brief exposition of polynomiality results for enumeration questions related to those mentioned, and give several open questions. Nous étudions certaines fonctions qui comptent des matrices à coefficients dans un corps fini d'un rang donné ayant certaines entrées égales à zéro. Nous montrons que ces matrices sont des $q$-analogues des permutations avec certaines valeurs restreintes, et nous obtenons une formule simple et fermée pour calculer le nombre de matrices inversibles avec zéro sur toute la diagonale. De plus nous donnons des récursions pour énumérer par le rang les matrices et les matrices symétriques avec des zéros sur la diagonale. Pour finir, nous faisons un exposé concis des résultats sur la polynomialité des fonctions énumératives liées à celles qui sont mentionnées antérieurement, et nous incluons plusieurs questions ouvertes.

scholarly journals Macdonald polynomials at $t=q^k$

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jean-Gabriel Luque
Keyword(s):  
Macdonald Polynomials ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We investigate the homogeneous symmetric Macdonald polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ for the specialization $t=q^k$. We show an identity relying the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ and $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. As a consequence, we describe an operator whose eigenvalues characterize the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous nous intéressons aux propriétés des polynômes de Macdonald symétriques $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ pour la spécialisation $t=q^k$. En particulier nous montrons une égalité reliant les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ et $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous en déduisons la description d'un opérateur dont les valeurs propres caractérisent les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$.

scholarly journals Finite Eulerian posets which are binomial or Sheffer

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Hoda Bidkhori
Keyword(s):  
Generating Functions ◽  
Complete Classification ◽  
International Audience ◽  
Original Question ◽  
Eulerian Posets

International audience In this paper we study finite Eulerian posets which are binomial or Sheffer. These important classes of posets are related to the theory of generating functions and to geometry. The results of this paper are organized as follows: (1) We completely determine the structure of Eulerian binomial posets and, as a conclusion, we are able to classify factorial functions of Eulerian binomial posets; (2) We give an almost complete classification of factorial functions of Eulerian Sheffer posets by dividing the original question into several cases; (3) In most cases above, we completely determine the structure of Eulerian Sheffer posets, a result stronger than just classifying factorial functions of these Eulerian Sheffer posets. We also study Eulerian triangular posets. This paper answers questions posed by R. Ehrenborg and M. Readdy. This research is also motivated by the work of R. Stanley about recognizing the \emphboolean lattice by looking at smaller intervals. Nous étudions les ensembles partiellement ordonnés finis (EPO) qui sont soit binomiaux soit de type Sheffer (deux notions reliées aux séries génératrices et à la géométrie). Nos résultats sont les suivants: (1) nous déterminons la structure des EPO Euleriens et binomiaux; nous classifions ainsi les fonctions factorielles de tous ces EPO; (2) nous donnons une classification presque complète des fonctions factorielles des EPO Euleriens de type Sheffer; (3) dans la plupart de ces cas, nous déterminons complètement la structure des EPO Euleriens et Sheffer, ce qui est plus fort que classifier leurs fonctions factorielles. Nous étudions aussi les EPO Euleriens triangulaires. Cet article répond à des questions de R. Ehrenborg and M. Readdy. Il est aussi motivé par le travail de R. Stanley sur la reconnaissance du treillis booléen via l'étude des petits intervalles.

scholarly journals Solutions to twisted word equations and equations in virtually free groups

2020 ◽  
Vol 30 (04) ◽  
pp. 731-819
Author(s):  
Volker Diekert ◽  
Murray Elder
Keyword(s):  
Free Groups ◽  
Expressive Power ◽  
Solution Set ◽  
Complexity Bound ◽  
Free Monoids ◽  
Word Equation ◽  
All Solutions ◽  
Standard Normal ◽  
Word Equations ◽  
Solving Equations

It is well known that the problem solving equations in virtually free groups can be reduced to the problem of solving twisted word equations with regular constraints over free monoids with involution. In this paper, we prove that the set of all solutions of a twisted word equation is an EDT0L language whose specification can be computed in PSPACE . Within the same complexity bound we can decide whether the solution set is empty, finite, or infinite. In the second part of the paper we apply the results for twisted equations to obtain in PSPACE an EDT0L description of the solution set of equations with rational constraints for finitely generated virtually free groups in standard normal forms with respect to a natural set of generators. If the rational constraints are given by a homomorphism into a fixed (or “small enough”) finite monoid, then our algorithms can be implemented in [Formula: see text], that is, in quasi-quadratic nondeterministic space. Our results generalize the work by Lohrey and Sénizergues (ICALP 2006) and Dahmani and Guirardel (J. of Topology 2010) with respect to both complexity and expressive power. Neither paper gave any concrete complexity bound and the results in these papers are stated for subsets of solutions only, whereas our results concern all solutions.

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