scholarly journals Involutions of the Symmetric Group and Congruence B-Orbits (Extended Abstract)

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Eli Bagno ◽  
Yonah Cherniavsky
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Rank Function ◽  
Symmetric Matrices ◽  
Combinatorial Description ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Congruence Classes

International audience We study the poset of Borel congruence classes of symmetric matrices ordered by containment of closures. We give a combinatorial description of this poset and calculate its rank function. We discuss the relation between this poset and the Bruhat poset of involutions of the symmetric group. Also we present the poset of Borel congruence classes of anti-symmetric matrices ordered by containment of closures. We show that there exists a bijection between the set of these classes and the set of involutions of the symmetric group. We give two formulas for the rank function of this poset. Nous étudions l'ensemble ordonné des classes de congruence de matrices symétriques ordonnées par containment de leurs fermetures. Nous donnons une description combinatoire de cet ensemble et calculons sa fonction rang. Nous étudions les relations entre cet ensemble et l'ensemble des involutions du groupe symétrique ordonné selon l'ordre de Bruhat. Nous montrons qu'il existe une bijection parmi l'ensemble ordonné de classes de congruences de Borel des matrices anti-symétriques et l'ensemble des involutions du groupe symétrique. On termine en donnant deux formules pour la fonction rang pour ce dernier ensemble.

scholarly journals ON INVOLUTIONS OF THE SYMMETRIC GROUP AND CONGRUENCE B-ORBITS OF ANTI-SYMMETRIC MATRICES

2011 ◽  
Vol 21 (05) ◽  
pp. 841-856 ◽  
Author(s):  
YONAH CHERNIAVSKY
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Rank Function ◽  
Symmetric Matrices ◽  
Congruence Classes

We present the poset of Borel congruence classes of anti-symmetric matrices ordered by containment of closures. We show that there exists a bijection between the set of these classes and the set of involutions of the symmetric group. We give two formulas for the rank function of this poset.

scholarly journals Tamari Lattices for Parabolic Quotients of the Symmetric Group

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Henri Mühle ◽  
Nathan Williams
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Coxeter Groups ◽  
Weak Order ◽  
Set Partitions ◽  
Tamari Lattice ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Tamari Lattices

International audience We present a generalization of the Tamari lattice to parabolic quotients of the symmetric group. More precisely, we generalize the notions of 231-avoiding permutations, noncrossing set partitions, and nonnesting set partitions to parabolic quotients, and show bijectively that these sets are equinumerous. Furthermore, the restriction of weak order on the parabolic quotient to the parabolic 231-avoiding permutations is a lattice quotient. Lastly, we suggest how to extend these constructions to all Coxeter groups. Nous présentons une généralisation du treillis de Tamari aux quotients paraboliques du groupe symétrique. Plus précisément, nous généralisons les notions de permutations qui évitent le motif 231, les partitions non-croisées, et les partitions non-emboîtées aux quotients paraboliques, et nous montrons de façon bijective que ces ensembles sont équipotents. En restreignant l’ordre faible du quotient parabolique aux permutations paraboliques qui évitent le motif 231, on obtient un quotient de treillis d’ordre faible. Enfin, nous suggérons comment étendre ces constructions à tous les groupes de Coxeter.

scholarly journals Contextual partial commutations

2010 ◽  
Vol Vol. 12 no. 4 ◽  
Author(s):  
Christian Choffrut ◽  
Robert Mercas
Keyword(s):  
Cross Sections ◽  
Free Monoid ◽  
Special Issue ◽  
Closure Properties ◽  
Combinatorial Description ◽  
Different Types ◽  
International Audience ◽  
Congruence Classes

special issue dedicated to the second edition of the conference AutoMathA: from Mathematics to Applications International audience We consider the monoid T with the presentation < a, b; aab = aba > which is ''close'' to trace monoids. We prove two different types of results. First, we give a combinatorial description of the lexicographically minimum and maximum representatives of their congruence classes in the free monoid \a, b\* and solve the classical equations, such as commutation and conjugacy in T. Then we study the closure properties of the two subfamilies of the rational subsets of T whose lexicographically minimum and maximum cross-sections respectively, are rational in \a, b\*.

scholarly journals On a Subposet of the Tamari Lattice

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Sebastian A. Csar ◽  
Rik Sengupta ◽  
Warut Suksompong
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Partial Order ◽  
Tamari Lattice ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
The Common ◽  
Binary Functions

International audience We discuss some properties of a subposet of the Tamari lattice introduced by Pallo (1986), which we call the comb poset. We show that three binary functions that are not well-behaved in the Tamari lattice are remarkably well-behaved within an interval of the comb poset: rotation distance, meets and joins, and the common parse words function for a pair of trees. We relate this poset to a partial order on the symmetric group studied by Edelman (1989). Nous discutons d'un subposet du treillis de Tamari introduit par Pallo. Nous appellons ce poset le comb poset. Nous montrons que trois fonctions binaires qui ne se comptent pas bien dans le trellis de Tamari se comptent bien dans un intervalle du comb poset : distance dans le trellis de Tamari, le supremum et l'infimum et les parsewords communs. De plus, nous discutons un rapport entre ce poset et un ordre partiel dans le groupe symétrique étudié par Edelman.

scholarly journals The Bruhat order on conjugation-invariant sets of involutions in the symmetric group

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Mikael Hansson
Keyword(s):  
Fixed Point ◽  
Symmetric Group ◽  
Fixed Points ◽  
Bruhat Order ◽  
Rank Function ◽  
Invariant Sets ◽  
Graded Poset ◽  
International Audience ◽  
Complete Characterisation

12 pages, 3 figures International audience Let $I_n$ be the set of involutions in the symmetric group $S_n$, and for $A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}$, let \[ F_n^A=\{\sigma \in I_n \mid \text{$\sigma$ has $a$ fixed points for some $a \in A$}\}. \] We give a complete characterisation of the sets $A$ for which $F_n^A$, with the order induced by the Bruhat order on $S_n$, is a graded poset. In particular, we prove that $F_n^{\{1\}}$ (i.e., the set of involutions with exactly one fixed point) is graded, which settles a conjecture of Hultman in the affirmative. When $F_n^A$ is graded, we give its rank function. We also give a short new proof of the EL-shellability of $F_n^{\{0\}}$ (i.e., the set of fixed point-free involutions), which was recently proved by Can, Cherniavsky, and Twelbeck. Soit $I_n$ l’ensemble d’involutions dans le groupe symétrique $S_n$, et pour $A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}$, soit\[ F_n^A=\{\sigma \in I_n \mid \text{$\sigma$ a $a$ points fixes pour quelque $a \in A$}\}. \] Nous caractérisons tous les ensembles $A$ dont les $F_n^A$ , avec l’ordre induit par l’ordre de Bruhat sur $S_n$, est un posetgradué. En particulier, nous démontrons que $F_n^{\{1\}}$ (c’est-à-dire, l’ensemble d’involutions avec précis en point fixe)est gradué, ce qui résout une conjecture d’Hultman à l’affirmative. Lorsque $F_n^A$ est gradué, nous donnons sa fonctionde rang. En plus, nous donnons une nouvelle démonstration courte l’EL-shellability de $F_n^{\{0\}}$ (c’est-à-dire, l’ensembled’involutions sans points fixes), établie récemment par Can, Cherniavsky et Twelbeck.

scholarly journals The topology of restricted partition posets

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Richard Ehrenborg ◽  
JiYoon Jung
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Homotopy Type ◽  
Integer Partitions ◽  
Order Complex ◽  
Specht Module ◽  
Set Partitions ◽  
Nous Montrons ◽  
Restricted Partition ◽  
International Audience ◽  
Border Strip

International audience For each composition $\vec{c}$ we show that the order complex of the poset of pointed set partitions $Π ^• _{\vec{c}}$ is a wedge of $β\vec{c}$ spheres of the same dimensions, where $β\vec{c}$ is the number of permutations with descent composition ^$\vec{c}$. Furthermore, the action of the symmetric group on the top homology is isomorphic to the Specht module $S^B$ where $B$ is a border strip associated to the composition $\vec{c}$. We also study the filter of pointed set partitions generated by a knapsack integer partitions and show the analogous results on homotopy type and action on the top homology. Pour chaque composition $\vec{c}$ nous montrons que le complexe simplicial des chaînes de l'ensemble ordonné $Π ^• _{\vec{c}}$ des partitions pointées d'un ensemble est un bouquet de $β\vec{c}$ sphères de même dimension, où $β\vec{c}$ est le nombre de permutations ayant la composition de descentes $\vec{c}$. De plus, l'action du groupe symétrique sur le groupe d'homologie de degré maximum est isomorphe au module de Specht $S^B$ où $B$ est la bande frontalière associée à la composition $\vec{c}$. Nous étudions aussi le filtre des partitions pointées d'un ensemble, engendré par des partitions d'entiers de type "sac à dos'' et nous démontrons des résultats analogues pour le type d'homotopie et pour l'action sur le groupe d'homologie de degré maximum.

scholarly journals Matrices with restricted entries and q-analogues of permutations (extended abstract)

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Joel Brewster Lewis ◽  
Ricky Ini Liu ◽  
Alejandro H. Morales ◽  
Greta Panova ◽  
Steven V Sam ◽  
...  
Keyword(s):  
Finite Field ◽  
Symmetric Matrices ◽  
Closed Formula ◽  
Nous Obtenons ◽  
Open Questions ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Invertible Matrices

International audience We study the functions that count matrices of given rank over a finite field with specified positions equal to zero. We show that these matrices are $q$-analogues of permutations with certain restricted values. We obtain a simple closed formula for the number of invertible matrices with zero diagonal, a $q$-analogue of derangements, and a curious relationship between invertible skew-symmetric matrices and invertible symmetric matrices with zero diagonal. In addition, we provide recursions to enumerate matrices and symmetric matrices with zero diagonal by rank. Finally, we provide a brief exposition of polynomiality results for enumeration questions related to those mentioned, and give several open questions. Nous étudions certaines fonctions qui comptent des matrices à coefficients dans un corps fini d'un rang donné ayant certaines entrées égales à zéro. Nous montrons que ces matrices sont des $q$-analogues des permutations avec certaines valeurs restreintes, et nous obtenons une formule simple et fermée pour calculer le nombre de matrices inversibles avec zéro sur toute la diagonale. De plus nous donnons des récursions pour énumérer par le rang les matrices et les matrices symétriques avec des zéros sur la diagonale. Pour finir, nous faisons un exposé concis des résultats sur la polynomialité des fonctions énumératives liées à celles qui sont mentionnées antérieurement, et nous incluons plusieurs questions ouvertes.

scholarly journals An extension of Tamari lattices

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Louis-François Préville-Ratelle ◽  
Xavier Viennot
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Binary Tree ◽  
Prime Numbers ◽  
Binary Trees ◽  
Square Lattice ◽  
Reverse Order ◽  
Tamari Lattice ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Tamari Lattices

International audience For any finite path $v$ on the square lattice consisting of north and east unit steps, we construct a poset Tam$(v)$ that consists of all the paths lying weakly above $v$ with the same endpoints as $v$. For particular choices of $v$, we recover the traditional Tamari lattice and the $m$-Tamari lattice. In particular this solves the problem of extending the $m$-Tamari lattice to any pair $(a; b)$ of relatively prime numbers in the context of the so-called rational Catalan combinatorics.For that purpose we introduce the notion of canopy of a binary tree and explicit a bijection between pairs $(u; v)$ of paths in Tam$(v)$ and binary trees with canopy $v$. Let $(\overleftarrow{v})$ be the path obtained from $v$ by reading the unit steps of $v$ in reverse order and exchanging east and north steps. We show that the poset Tam$(v)$ is isomorphic to the dual of the poset Tam$(\overleftarrow{v})$ and that Tam$(v)$ is isomorphic to the set of binary trees having the canopy $v$, which is an interval of the ordinary Tamari lattice. Thus the usual Tamari lattice is partitioned into (smaller) lattices Tam$(v)$, where the $v$’s are all the paths of length $n-1$ on the square lattice.We explain possible connections between the poset Tam$(v)$ and (the combinatorics of) the generalized diagonal coinvariant spaces of the symmetric group. Pour tout chemin $v$ sur le réseau carré formé de pas Nord et Est, nous construisons un ensemble partiellement ordonné Tam $(v)$ dont les éléments sont les chemins au dessus de $v$ et ayant les mêmes extrémités. Pour certains choix de $v$ nous retrouvons le classique treillis de Tamari ainsi que son extension $m$-Tamari. En particulier nous résolvons le problème d’étendre le treillis $m$-Tamari à toute paire $(a; b)$ d’entiers premiers entre eux dans le contexte de la combinatoire rationnelle de Catalan.Pour ceci nous introduisons la notion de canopée d’un arbre binaire et explicitons une bijection entre les paires $(u; v)$ de chemins dans Tam$(v)$ et les arbres binaires ayant la canopée $v$. Soit $(\overleftarrow{v})$ le chemin obtenu en lisant les pas en ordre inverse et en échangeant les pas Est et Nord. Nous montrons que Tam$(v)$ est isomorphe au dual de Tam$(\overleftarrow{v})$ et que Tam$(v)$ est isomorphe à l’ensemble des arbres binaires ayant la canopée $v$, qui est un intervalle du treillis de Tamari ordinaire. Ainsi le traditionnel treillis de Tamari admet une partition en plus petits treillis Tam$(v)$, où les $v$ sont tous les chemins de longueur $n-1$ sur le réseau carré. Enfin nous explicitons les liens possibles entre l’ensemble ordonné Tam$(v)$ et (la combinatoire des) espaces diagonaux coinvariants généralisés du groupe symétrique.

scholarly journals Multi-cluster complexes

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Cesar Ceballos ◽  
Jean-Philippe Labbé ◽  
Christian Stump
Keyword(s):  
Coxeter Groups ◽  
Type A ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Cluster Complex ◽  
Geometric Properties ◽  
Cluster Complexes ◽  
Combinatorial Description ◽  
Compatibility Relation ◽  
Positive Roots ◽  
International Audience

International audience We present a family of simplicial complexes called \emphmulti-cluster complexes. These complexes generalize the concept of cluster complexes, and extend the notion of multi-associahedra of types ${A}$ and ${B}$ to general finite Coxeter groups. We study combinatorial and geometric properties of these objects and, in particular, provide a simple combinatorial description of the compatibility relation among the set of almost positive roots in the cluster complex. Nous présentons une famille de complexes simpliciaux appelés \emphcomplexes des multi-amas. Ces complexes généralisent le concept de complexes des amas et étendent la notion de multi-associaèdre de type ${A}$ et ${B}$ aux groupes de Coxeter finis. Nous étudions des propriétés combinatoires et géométriques de ces objets et, en particulier nous fournissons une description combinatoire simple de la relation de compatibilité sur l'ensemble des racines presque positives du complexe des amas.

scholarly journals Macdonald polynomials at $t=q^k$

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jean-Gabriel Luque
Keyword(s):  
Macdonald Polynomials ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We investigate the homogeneous symmetric Macdonald polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ for the specialization $t=q^k$. We show an identity relying the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ and $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. As a consequence, we describe an operator whose eigenvalues characterize the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous nous intéressons aux propriétés des polynômes de Macdonald symétriques $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ pour la spécialisation $t=q^k$. En particulier nous montrons une égalité reliant les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ et $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous en déduisons la description d'un opérateur dont les valeurs propres caractérisent les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$.

Sign in / Sign up

Export Citation Format

Share Document