scholarly journals The topology of restricted partition posets

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Richard Ehrenborg ◽  
JiYoon Jung
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Homotopy Type ◽  
Integer Partitions ◽  
Order Complex ◽  
Specht Module ◽  
Set Partitions ◽  
Nous Montrons ◽  
Restricted Partition ◽  
International Audience ◽  
Border Strip

International audience For each composition $\vec{c}$ we show that the order complex of the poset of pointed set partitions $Π ^• _{\vec{c}}$ is a wedge of $β\vec{c}$ spheres of the same dimensions, where $β\vec{c}$ is the number of permutations with descent composition ^$\vec{c}$. Furthermore, the action of the symmetric group on the top homology is isomorphic to the Specht module $S^B$ where $B$ is a border strip associated to the composition $\vec{c}$. We also study the filter of pointed set partitions generated by a knapsack integer partitions and show the analogous results on homotopy type and action on the top homology. Pour chaque composition $\vec{c}$ nous montrons que le complexe simplicial des chaînes de l'ensemble ordonné $Π ^• _{\vec{c}}$ des partitions pointées d'un ensemble est un bouquet de $β\vec{c}$ sphères de même dimension, où $β\vec{c}$ est le nombre de permutations ayant la composition de descentes $\vec{c}$. De plus, l'action du groupe symétrique sur le groupe d'homologie de degré maximum est isomorphe au module de Specht $S^B$ où $B$ est la bande frontalière associée à la composition $\vec{c}$. Nous étudions aussi le filtre des partitions pointées d'un ensemble, engendré par des partitions d'entiers de type "sac à dos'' et nous démontrons des résultats analogues pour le type d'homotopie et pour l'action sur le groupe d'homologie de degré maximum.

scholarly journals Tamari Lattices for Parabolic Quotients of the Symmetric Group

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Henri Mühle ◽  
Nathan Williams
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Coxeter Groups ◽  
Weak Order ◽  
Set Partitions ◽  
Tamari Lattice ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Tamari Lattices

International audience We present a generalization of the Tamari lattice to parabolic quotients of the symmetric group. More precisely, we generalize the notions of 231-avoiding permutations, noncrossing set partitions, and nonnesting set partitions to parabolic quotients, and show bijectively that these sets are equinumerous. Furthermore, the restriction of weak order on the parabolic quotient to the parabolic 231-avoiding permutations is a lattice quotient. Lastly, we suggest how to extend these constructions to all Coxeter groups. Nous présentons une généralisation du treillis de Tamari aux quotients paraboliques du groupe symétrique. Plus précisément, nous généralisons les notions de permutations qui évitent le motif 231, les partitions non-croisées, et les partitions non-emboîtées aux quotients paraboliques, et nous montrons de façon bijective que ces ensembles sont équipotents. En restreignant l’ordre faible du quotient parabolique aux permutations paraboliques qui évitent le motif 231, on obtient un quotient de treillis d’ordre faible. Enfin, nous suggérons comment étendre ces constructions à tous les groupes de Coxeter.

scholarly journals The Frobenius Complex

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Eric Clark ◽  
Richard Ehrenborg
Keyword(s):  
Homotopy Equivalent ◽  
Order Complex ◽  
Frobenius Problem ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Frobenius Complex

International audience Motivated by the classical Frobenius problem, we introduce the Frobenius poset on the integers $\mathbb{Z}$, that is, for a sub-semigroup $\Lambda$ of the non-negative integers $(\mathbb{N},+)$, we define the order by $n \leq_{\Lambda} m$ if $m-n \in \Lambda$. When $\Lambda$ is generated by two relatively prime integers $a$ and $b$, we show that the order complex of an interval in the Frobenius poset is either contractible or homotopy equivalent to a sphere. We also show that when $\Lambda$ is generated by the integers $\{a,a+d,a+2d,\ldots,a+(a-1)d\}$, the order complex is homotopy equivalent to a wedge of spheres. Motivé par le problème de Frobenius classique, nous introduisons l'ensemble partiellement ordonné de Frobenius sur les entiers $\mathbb{Z}$, c.à.d. que pour un sous-semigroupe $\Lambda$ de les entiers non-négatifs $(\mathbb{N},+)$ nous définissons l'ordre par $n \leq_{\Lambda} m$ si $m-n \in \Lambda$. Quand le $\Lambda$ est engendré par deux nombres $a$ et $b$, relativement premiers entre eux, nous montrons que le complexe des chaînes d'un intervalle quelconque dans l'ensemble partiellement ordonné de Frobenius est soit contractible soit homotopiquement équivalent à une sphère. Nous montrons aussi que dans le cas où $\Lambda$ est engendré par les entiers $\{a,a+d,a+2d,\ldots,a+(a-1)d\}$, le complexe des chaînes a le type de homotopie d'un bouquet de sphères.

scholarly journals Arc-Coloured Permutations

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Lily Yen
Keyword(s):  
Generating Functions ◽  
Joint Distribution ◽  
Rational Functions ◽  
Set Partitions ◽  
Combinatorial Objects ◽  
Crossing Numbers ◽  
Rational Series ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Labelled Graphs

International audience The equidistribution of many crossing and nesting statistics exists in several combinatorial objects like matchings, set partitions, permutations, and embedded labelled graphs. The involutions switching nesting and crossing numbers for set partitions given by Krattenthaler, also by Chen, Deng, Du, Stanley, and Yan, and for permutations given by Burrill, Mishna, and Post involved passing through tableau-like objects. Recently, Chen and Guo for matchings, and Marberg for set partitions extended the result to coloured arc annotated diagrams. We prove that symmetric joint distribution continues to hold for arc-coloured permutations. As in Marberg's recent work, but through a different interpretation, we also conclude that the ordinary generating functions for all j-noncrossing, k-nonnesting, r-coloured permutations according to size n are rational functions. We use the interpretation to automate the generation of these rational series for both noncrossing and nonnesting coloured set partitions and permutations. <begin>otherlanguage*</begin>french L'équidistribution de plusieurs statistiques décrites en termes d'emboitements et de chevauchements d'arcs s'observes dans plusieurs familles d'objects combinatoires, tels que les couplages, partitions d'ensembles, permutations et graphes étiquetés. L'involution échangeant le nombre d'emboitements et de chevauchements dans les partitions d'ensemble due à Krattenthaler, et aussi Chen, Deng, Du, Stanley et Yan, et l'involution similaire dans les permutations due à Burrill, Mishna et Post, requièrent d'utiliser des objets de type tableaux. Récemment, Chen et Guo pour les couplages, et Marberg pour les partitions d'ensembles, ont étendu ces résultats au cas de diagrammes arc-annotés coloriés. Nous démontrons que la propriété d'équidistribution s'observe est aussi vraie dans le cas de permutations aux arcs coloriés. Tout comme dans le travail résent de Marberg, mais via un autre chemin, nous montrons que les séries génératrices ordinaires des permutations r-coloriées ayant au plus j chevauchements et k emboitements, comptées selon la taille n, sont des fonctions rationnelles. Nous décrivons aussi des algorithmes permettant de calculer ces fonctions rationnelles pour les partitions d'ensembles et les permutations coloriées sans emboitement ou sans chevauchement. <end>otherlanguage*</end>

scholarly journals Partition and composition matrices: two matrix analogues of set partitions

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Anders Claesson ◽  
Mark Dukes ◽  
Martina Kubitzke
Keyword(s):  
Transfer Matrix ◽  
Transfer Matrix Method ◽  
Matrix Method ◽  
Set Partitions ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
One To One ◽  
Natural Result ◽  
Ascent Sequences ◽  
Nous Utilisons

International audience This paper introduces two matrix analogues for set partitions; partition and composition matrices. These two analogues are the natural result of lifting the mapping between ascent sequences and integer matrices given in Dukes & Parviainen (2010). We prove that partition matrices are in one-to-one correspondence with inversion tables. Non-decreasing inversion tables are shown to correspond to partition matrices with a row ordering relation. Partition matrices which are s-diagonal are classified in terms of inversion tables. Bidiagonal partition matrices are enumerated using the transfer-matrix method and are equinumerous with permutations which are sortable by two pop-stacks in parallel. We show that composition matrices on the set $X$ are in one-to-one correspondence with (2+2)-free posets on $X$.We show that pairs of ascent sequences and permutations are in one-to-one correspondence with (2+2)-free posets whose elements are the cycles of a permutation, and use this relation to give an expression for the number of (2+2)-free posets on $\{1,\ldots,n\}$. Ce papier introduit deux analogues matriciels des partitions d'ensembles: les matrices de composition et de partition. Ces deux analogues sont le produit naturel du relèvement de l'application entre suites de montées et matrices d'entiers introduite dans Dukes & Parviainen (2010). Nous démontrons que les matrices de partition sont en bijection avec les tables d'inversion, les tables d'inversion croissantes correspondant aux matrices de partition avec une relation d'ordre sur les lignes. Les matrices de partition s-diagonales sont classées en fonction de leurs tables d'inversion. Les matrices de partition bidiagonales sont énumérées par la méthode de matrices de transfert et ont même cardinalité que les permutations triables par deux piles en parallèle. Nous montrons que les matrices de composition sur l'ensemble $X$ sont en bijection avec les ensembles ordonnés (2+2)-libres sur $X$. Nous prouvons que les paires de suites de montées et de permutations sont en bijection avec les ensembles ordonnés (2+2)-libres dont les éléments sont les cycles d'une permutation, et nous utilisons cette relation pour exprimer le nombre d'ensembles ordonnés (2+2)-libres sur $\{1,\ldots,n\}$.

scholarly journals On a Subposet of the Tamari Lattice

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Sebastian A. Csar ◽  
Rik Sengupta ◽  
Warut Suksompong
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Partial Order ◽  
Tamari Lattice ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
The Common ◽  
Binary Functions

International audience We discuss some properties of a subposet of the Tamari lattice introduced by Pallo (1986), which we call the comb poset. We show that three binary functions that are not well-behaved in the Tamari lattice are remarkably well-behaved within an interval of the comb poset: rotation distance, meets and joins, and the common parse words function for a pair of trees. We relate this poset to a partial order on the symmetric group studied by Edelman (1989). Nous discutons d'un subposet du treillis de Tamari introduit par Pallo. Nous appellons ce poset le comb poset. Nous montrons que trois fonctions binaires qui ne se comptent pas bien dans le trellis de Tamari se comptent bien dans un intervalle du comb poset : distance dans le trellis de Tamari, le supremum et l'infimum et les parsewords communs. De plus, nous discutons un rapport entre ce poset et un ordre partiel dans le groupe symétrique étudié par Edelman.

scholarly journals Nonzero coefficients in restrictions and tensor products of supercharacters of $U_n(q)$ (extended abstract)

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Stephen Lewis ◽  
Nathaniel Thiem
Keyword(s):  
Tensor Product ◽  
Symmetric Group ◽  
Nonnegative Integer ◽  
Set Partitions ◽  
Triangular Matrices ◽  
Upper Triangular Matrices ◽  
Branching Rules ◽  
International Audience ◽  
Supercharacter Theory ◽  
Donne Lieu

International audience The standard supercharacter theory of the finite unipotent upper-triangular matrices $U_n(q)$ gives rise to a beautiful combinatorics based on set partitions. As with the representation theory of the symmetric group, embeddings of $U_m(q) \subseteq U_n(q)$ for $m \leq n$ lead to branching rules. Diaconis and Isaacs established that the restriction of a supercharacter of $U_n(q)$ is a nonnegative integer linear combination of supercharacters of $U_m(q)$ (in fact, it is polynomial in $q$). In a first step towards understanding the combinatorics of coefficients in the branching rules of the supercharacters of $U_n(q)$, this paper characterizes when a given coefficient is nonzero in the restriction of a supercharacter and the tensor product of two supercharacters. These conditions are given uniformly in terms of complete matchings in bipartite graphs. La théorie standard des supercaractères des matrices triangulaires supérieures unipotentes finies $U_n(q)$ donne lieu à une merveilleuse combinatoire basée sur les partitions d'ensembles. Comme avec la théorie des représentations du groupe symétrique, Les plongements $U_m(q) \subseteq U_n(q)$ pour $m \leq n$ mènent aux règles de branchement. Diaconis et Isaacs ont montré que la restriction d'un supercaractère de $U_n(q)$ est une combinaison linéaire des supercaractères de $U_m(q)$ avec des coefficients entiers non négatifs (en fait, elle est polynomiale en $q$). Dans une première étape vers la compréhension de la combinatoire des coefficients dans les règles de branchement des supercaractères de $U_n(q)$, ce texte caractérise les coefficients non nuls dans la restriction d'un supercaractère et dans le produit des tenseurs de deux supercaractères. Ces conditions sont données uniformément en termes des couplages complets dans des graphes bipartis.

scholarly journals $k$-distant crossings and nestings of matchings and partitions

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Dan Drake ◽  
Jang Soo Kim
Keyword(s):  
Orthogonal Polynomials ◽  
Joint Distribution ◽  
Research Paper ◽  
Set Partitions ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We define and consider $k$-distant crossings and nestings for matchings and set partitions, which are a variation of crossings and nestings in which the distance between vertices is important. By modifying an involution of Kasraoui and Zeng (Electronic J. Combinatorics 2006, research paper 33), we show that the joint distribution of $k$-distant crossings and nestings is symmetric. We also study the numbers of $k$-distant noncrossing matchings and partitions for small $k$, which are counted by well-known sequences, as well as the orthogonal polynomials related to $k$-distant noncrossing matchings and partitions. We extend Chen et al.'s $r$-crossings and enhanced $r$-crossings. Nous définissons les notions de croisements et imbrications $k$-distants sur les appariements et les partitions d'ensemble, qui sont une variation sur les notions usuelles prenant en compte la distance entre les sommets. En modifiant une involution de Kasraoui et Zeng (Electronic J. Combinatorics 2006, research paper 33), nous montrons que la distribution jointe des croisements et imbrications $k$-distants est symétrique. Nous étudions le nombre d'involutions et de partitions sans croisement $k$-distant pour de petites valeurs de $k$, qui sont des suites d'entiers bien connues, ainsi que les polynômes orthogonaux qui leur sont reliés. Nous étendons les notions de $r$-croisements et $r$-croisements améliorés dues à Chen et al.

scholarly journals A Baxter class of a different kind, and other bijective results using tableau sequences ending with a row shape

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Sophie Burrill ◽  
Stephen Melczer ◽  
Marni Mishna
Keyword(s):  
Recent Result ◽  
Young Tableaux ◽  
Set Partitions ◽  
Nous Permet ◽  
Nous Montrons ◽  
Il Y A ◽  
International Audience

International audience Tableau sequences of bounded height have been central to the analysis of $k$-noncrossing set partitions and matchings. We show here that families of sequences that end with a row shape are particularly compelling and lead to some interesting connections. First, we prove that hesitating tableaux of height at most two ending with a row shape are counted by Baxter numbers. This permits us to define three new Baxter classes which, remarkably, do not obviously possess the antipodal symmetry of other known Baxter classes. Oscillating tableau of height bounded by $k$ ending in a row are in bijection with Young tableaux of bounded height 2$k$. We discuss this recent result, and somegenerating function implications. Many of our proofs are analytic in nature, so there are intriguing combinatorial bijections to be found. Les séquences de tableau de hauteur bornée sont au centre de l’analyse des partages et couplages. Nous montrons que les familles de séquences qui se terminent par une seule ligne sont particulièrement fascinantes. Tout d’abord, nous prouvons que les tableaux hésitants de hauteur au plus deux se terminant par une seule ligne sont dénombrés par les nombres de Baxter. Cela nous permet de définir trois nouvelles classes Baxter qui, remarquablement, ne possèdent évidemment pas la symétrie antipode des autres classes Baxter connus. Nous discutons le résultat récent qui dit que les tableaux oscillants de hauteur au plus $k$ se terminant dans une ligne sont en bijection avec les tableaux de Young de hauteur au plus 2$k$. Nos preuves sont analytiques, il y a donc des bijections combinatoiresintrigantes à trouver.

scholarly journals Kerov's central limit theorem for Schur-Weyl and Gelfand measures (extended abstract)

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Pierre-Loïc Méliot
Keyword(s):  
Central Limit Theorem ◽  
Limit Theorem ◽  
Gaussian Process ◽  
Central Limit ◽  
Integer Partitions ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
The One

International audience We show that the shapes of integer partitions chosen randomly according to Schur-Weyl measures of parameter $\alpha =1/2$ and Gelfand measures satisfy Kerov's central limit theorem. Thus, there is a gaussian process $\Delta$ such that under Plancherel, Schur-Weyl or Gelfand measures, the deviations $\Delta_n(s)=\lambda _n(\sqrt{n} s)-\sqrt{n} \lambda _{\infty}^{\ast}(s)$ converge in law towards $\Delta (s)$, up to a translation along the $x$-axis in the case of Schur-Weyl measures, and up to a factor $\sqrt{2}$ and a deterministic remainder in the case of Gelfand measures. The proofs of these results follow the one given by Ivanov and Olshanski for Plancherel measures; hence, one uses a "method of noncommutative moments''. Nous montrons que les formes des partitions d'entiers choisies aléatoirement sous les mesures de Schur-Weyl de paramètre $\alpha =1/2$ et sous les mesures de Gelfand obéissent au théorème central limite de Kerov. Ainsi, il existe un processus gaussien $\Delta$ tel que sous les mesures de Plancherel, de Schur-Weyl ou de Gelfand, les déviations $\Delta_n(s)=\lambda _n(\sqrt{n} s)-\sqrt{n} \lambda _{\infty}^{\ast}(s)$ convergent en loi vers $\Delta (s)$, à une translation près le long de l'axe des abscisses pour les mesures de Schur-Weyl, et à un facteur $\sqrt{2}$ et un reste déterministe près dans le cas des mesures de Gelfand. Les preuves de ces résultats suivent celle donnée par Ivanov et Olshanski pour les mesures de Plancherel; ainsi, on utilise une "méthode de moments non commutatifs''.

scholarly journals Crossings and nestings in set partitions of classical types

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Martin Rubey ◽  
Christian Stump
Keyword(s):  
Nous Avons ◽  
Type A ◽  
The Other ◽  
Type B ◽  
Set Partition ◽  
Set Partitions ◽  
Type D ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
The One

International audience In this extended abstract, we investigate bijections on various classes of set partitions of classical types that preserve openers and closers. On the one hand we present bijections for types $B$ and $C$ that interchange crossings and nestings, which generalize a construction by Kasraoui and Zeng for type $A$. On the other hand we generalize a bijection to type $B$ and $C$ that interchanges the cardinality of a maximal crossing with the cardinality of a maximal nesting, as given by Chen, Deng, Du, Stanley and Yan for type $A$. For type $D$, we were only able to construct a bijection between non-crossing and non-nesting set partitions. For all classical types we show that the set of openers and the set of closers determine a non-crossing or non-nesting set partition essentially uniquely. Dans ce résumé, nous étudions des bijections entre diverses classes de partitions d'ensemble de types classiques qui préservent les "openers'' et les "closers''. D'une part, nous présentons des bijections pour les types $B$ et $C$ qui échangent croisées et emboôtées, qui généralisent une construction de Kasraoui et Zeng pour le type $A$. D'autre part, nous généralisons une bijection pour le type $B$ et $C$ qui échange la cardinalité d'un croisement maximal avec la cardinalité d'un emboîtement maximal comme il a été fait par Chen, Deng, Du, Stanley et Yan pour le type $A$. Pour le type $D$, nous avons seulement construit une bijection entre les partitions non croisées et non emboîtées. Pour tout les types classiques, nous montrons que l'ensemble des "openers'' et l'ensemble des "closers'' déterminent une partition non croisées ou non emboîtées essentiellement de façon unique.

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