Near-linear Time Approximation Schemes for Clustering in Doubling Metrics

We consider the classic Facility Location, k -Median, and k -Means problems in metric spaces of doubling dimension d . We give nearly linear-time approximation schemes for each problem. The complexity of our algorithms is Õ(2 (1/ε) O(d2) n) , making a significant improvement over the state-of-the-art algorithms that run in time n (d/ε) O(d) . Moreover, we show how to extend the techniques used to get the first efficient approximation schemes for the problems of prize-collecting k -Median and k -Means and efficient bicriteria approximation schemes for k -Median with outliers, k -Means with outliers and k -Center.

Μοντελοποίηση προβλημάτων βελτιστοποίησης με χρήση θεωρίας παιγνίων και επίλυσή τους μέσω μεθευρετικών αλγορίθμων

Στη παρούσα διδακτορική διατριβή μελετήθηκε ο σχεδιασμός τουριστικών διαδρομών, ως αποτέλεσμα της επίλυσης προβλημάτων δρομολόγησης οχημάτων κάνοντας χρήση ειδικά σχεδιασμένων αλγοριθμικών πλαισίων. Θεωρείται ότι τα προβλήματα δρομολόγησης οχημάτων της βιβλιογραφίας μπορούν να χρησιμοποιηθούν (ως έχει ή παραλλαγμένα) στο σχεδιασμό διαδρομών ανάμεσα στα σημεία ενδιαφέροντος (POIs) ενός ταξιδιωτικού προορισμού. Σημαντικός παράγοντας της δρομολόγησης είναι η πεπερασμένη διάρκεια του ταξιδιού, το οποίο πρακτικά σημαίνει ότι δεν είναι δυνατή η επίσκεψη κάθε σημείου ενδιαφέροντος. Συνεπώς, κατά το σχηματισμό εξατομικευμένων τουριστικών διαδρομών γίνεται η επιλογή ενός υποσυνόλου από τα διαθέσιμα σημεία, τα οποία συμβάλουν περισσότερο στην ικανοποίηση του χρήστη, λαμβάνοντας υπόψιν τις αντίστοιχες προτιμήσεις του. Έτσι, εξετάστηκαν διαφορετικά σενάρια λαμβάνοντας υπόψη ένα άτομο ή μία ομάδα ατόμων και τις αντίστοιχες προτιμήσεις τους. Αρχικά, στη περίπτωση ενός ατόμου, εξετάστηκε ο βέλτιστος σχεδιασμός διαδρομών στα σημεία ενδιαφέροντος θεωρώντας ότι η προτίμηση του σε κάθε σημείο ενδιαφέροντος έχει εκ των προτέρων δηλωθεί με τη χρήση διακριτών τιμών. Για το σκοπό αυτό, επιλέχθηκε το Πρόβλημα Προσανατολισμού Ομάδας με Περιορισμένη Χωρητικότητα (Capacitated Team Orienteering Problem (CTOP)) και το Πρόβλημα Δρομολόγησης Οχημάτων Συλλογής Βραβείου (Prize-Collecting Vehicle Routing Problem (PCVRP)). Για τη βελτιστοποίηση του CTOP σχεδιάστηκε ένα κατάλληλο αλγοριθμικό πλαίσιο, ο αλγόριθμος της Διαφορικής Εξέλιξης Σχετιζόμενη με τις Αποστάσεις (Distance Related Differential Evolution (DRDE)). Τα αποτελέσματα της μεθόδου DRDE συγκρίθηκαν με τις βέλτιστες τιμές των παραδειγμάτων αναφοράς της βιβλιογραφίας, αναδεικνύοντας την αποτελεσματικότητα και ανταγωνιστικότητα της προτεινόμενης μεθόδου. Για τη βελτιστοποίηση του PCVRP προτείνεται ο Αλγόριθμος της Πυγολαμπίδας βασισμένος στις Συντεταγμένες (Firefly Algorithm based on Coordinates (FACR)). Ο προτεινόμενος αλγόριθμος FACR συγκρίνεται στην επίλυση των παραδειγμάτων αναφοράς της βιβλιογραφίας του PCVRP, με τον προτεινόμενο DRDE, του οποίου και υπερισχύει. Στην περίπτωση, που ο επισκέπτης εξετάζει παράλληλα διαφορετικά ή αντικρουόμενα κριτήρια σχεδιασμού των τουριστικών διαδρομών του, γίνεται χρήση πολυ-αντικειμενικών προβλημάτων, όπως το Πολυ-αντικειμενικό Πρόβλημα Δρομολόγησης Οχημάτων Συλλογής Βραβείου (Multi-Objective Prize-Collecting Vehicle Routing Problem (MO-PCVRP)). Η επίλυση τέτοιων προβλημάτων δεν οδηγεί σε μία μοναδική βέλτιστη λύση, αλλά σε ένα υποσύνολο των καλύτερων λύσεων που δεν μπορούν να συγκριθούν μεταξύ τους. Για αυτό το λόγο, προτείνεται ένα αλληλεπιδραστικό πλαίσιο που βασίζεται στον προτεινόμενο Αλγόριθμο της Πυγολαμπίδας με Καθοδήγηση Προτιμήσεων (Preference-Guided Firefly Algorithm (PGFA)), ο οποίος βασίζεται στον προτεινόμενο FACR. Μέσα από το οποίο, ο επισκέπτης δηλώνει τη προτίμηση του και κατευθύνει την αναζήτηση, κάνοντας χρήση μεθόδων αναλυτικής συνθετικής προσέγγισης. Τα υπολογιστικά πειράματα, έδειξαν ότι η προτεινόμενη αλληλεπιδραστική μέθοδος κατευθύνει επιτυχώς την αναζήτηση στο χώρο λύσεων σύμφωνα με τις προτιμήσεις του επισκέπτη. Τέλος, μελετήθηκε και το σενάριο σχεδιασμού τουριστικών διαδρομών για μία ομάδα ατόμων, θεωρώντας ότι τα μέλη της έχουν διαφορετικές ή αντικρουόμενες προτιμήσεις, όμως επιθυμούν να ταξιδέψουν μαζί. Στη παρούσα διατριβή προτείνεται η χρήση μίας μεθόδου που ενσωματώνει στοιχεία της Θεωρίας Παιγνίων και της αλγοριθμικής βελτιστοποίησης, με στόχο την πρόταση τουριστικών διαδρομών που να καλύπτουν τις διαφορετικές προτιμήσεις και να ικανοποιούνται όλα τα μέλη της ομάδας. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιείται η επαναληπτική προσομοίωση του παιγνίου n-Ατόμων Μάχη των Φύλων (n-Person Battle of the Sexes (n-BOS)), προσομοιώνοντας (μέσω πρακτόρων) την αλληλεπίδραση των μελών της ομάδας τουριστών. Ενώ, η διαδρομή με τα σημεία ενδιαφέροντος προκύπτει από την επίλυση του προτεινόμενου Προβλήματος Δρομολόγησης Οχημάτων Συλλογής Βραβείου n Ατόμων (n-Person Prize-Collecting Vehicle Routing Problem (n-PCVRP)), η οποία βελτιστοποιείται μέσω του ειδικά σχεδιασμένου Αλγόριθμου της Πυγολαμπίδας βασισμένος στις Συντεταγμένες και Αποστάσεις (Fireflly Algorithm based on Coordinates and Distance (FACRD)). Σε αυτό το αλγοριθμικό πλαίσιο ενσωματώνονται ειδικά σχεδιασμένες ευρετικές τεχνικές κατασκευής και βελτίωσης των λύσεων, ενώ χρησιμοποιείται μία νέα μέθοδος κωδικοποίησης/αποκωδικοποίησης. Ο προτεινόμενος αλγόριθμος αποδίδει εφικτές και αποτελεσματικές λύσεις που συνάδουν με τις προτιμήσεις της ομάδας.

On the Exact Solution of Prize-Collecting Steiner Tree Problems

The prize-collecting Steiner tree problem (PCSTP) is a well-known generalization of the classic Steiner tree problem in graphs, with a large number of practical applications. It attracted particular interest during the 11th DIMACS Challenge in 2014, and since then, several PCSTP solvers have been introduced in the literature. Although these new solvers further, and often drastically, improved on the results of the DIMACS Challenge, many PCSTP benchmark instances have remained unsolved. The following article describes further advances in the state of the art in exact PCSTP solving. It introduces new techniques and algorithms for PCSTP, involving various new transformations (or reductions) of PCSTP instances to equivalent problems, for example, to decrease the problem size or to obtain a better integer programming formulation. Several of the new techniques and algorithms provably dominate previous approaches. Further theoretical properties of the new components, such as their complexity, are discussed. Also, new complexity results for the exact solution of PCSTP and related problems are described, which form the base of the algorithm design. Finally, the new developments also translate into a strong computational performance: the resulting exact PCSTP solver outperforms all previous approaches, both in terms of runtime and solvability. In particular, it solves several formerly intractable benchmark instances from the 11th DIMACS Challenge to optimality. Moreover, several recently introduced large-scale instances with up to 10 million edges, previously considered to be too large for any exact approach, can now be solved to optimality in less than two hours. Summary of Contribution: The prize-collecting Steiner tree problem (PCSTP) is a well-known generalization of the classic Steiner tree problem in graphs, with many practical applications. The article introduces and analyses new techniques and algorithms for PCSTP that ultimately aim for improved (practical) exact solution. The algorithmic developments are underpinned by results on theoretical aspects, such as fixed-parameter tractability of PCSTP. Computationally, we considerably push the limits of tractibility, being able to solve PCSTP instances with up to 10 million edges. The new solver, which also considerably outperforms the state of the art on smaller instances, will be made publicly available as part of the SCIP Optimization Suite.

Combinatorial Heuristics for Inventory Routing Problems

We consider the deterministic inventory routing problem over a discrete finite time horizon. Given clients on a metric, each with daily demands that must be delivered from a depot and holding costs over the planning horizon, an optimal solution selects a set of daily tours through a subset of clients to deliver all demands before they are due and minimizes the total holding and tour routing costs over the horizon. In the capacitated case, a limited number of vehicles are available, where each vehicle makes at most one trip per day. Each trip from the depot is allowed to carry a limited amount of supply to deliver. We develop fast heuristics for both cases by solving a family of prize-collecting Steiner tree instances. Computational experiments show our heuristics can find near-optimal solutions for both cases and substantially reduce the runtime compared with a pure mixed integer programming formulation approach.

Μοντελοποίηση και υλοποίηση αλγορίθμων επίλυσης προβλημάτων δρομολόγησης οχημάτων με επιλεκτική εξυπηρέτηση πελατών

Η παρούσα διδακτορική διατριβή αφορά αφενός στη διερεύνηση προβλημάτων δρομολόγησης οχημάτων με επιλεκτική εξυπηρέτηση πελατών και αφετέρου, στη δημιουργία κατάλληλων αλγοριθμικών μεθόδων για την επίλυσή τους. Συγκεκριμένα, θεωρήθηκε η εφαρμογή των επιλεκτικών προβλημάτων δρομολόγησης σε καταστάσεις έκτακτης ανάγκης, όπως μία πυρκαγιά ή μία πλημμύρα. Για την προσομοίωση της δρομολόγησης ενός ομογενούς στόλου πυροσβεστικών οχημάτων, επιλέχθηκε το πρόβλημα δρομολόγησης οχημάτων συλλογής βραβείου (Prize-Collecting Vehicle Routing Problem (PCVRP)). Το επιλεγμένο πρόβλημα καλύπτει τις ανάγκες της δρομολόγησης των πυροσβεστικών οχημάτων, αποσκοπώντας στη γρήγορη πρόσβαση στα σημεία που χρειάζονται προστασία και στο μεγαλύτερο όφελος από τις αντίστοιχες ενέργειες. Πάραυτα, η δρομολόγηση οχημάτων σε έκτακτες καταστάσεις οφείλει να λαμβάνει υπόψιν και τον περιβαλλοντολογικό αντίκτυπο που έχει. Για αυτό το λόγο, στη παρούσα διατριβή προτείνονται δύο νέα μαθηματικά μοντέλα, ως παραλλαγές του PCVRP, το περιβαλλοντικό πρόβλημα δρομολόγησης οχημάτων με συλλογή βραβείου (E-PCVRP) και το πράσινο πρόβλημα δρομολόγησης οχημάτων με συλλογή βραβείου (Green-PCVRP). Για την προσομοίωση της δρομολόγησης ενός ετερογενούς στόλου πυροσβεστικών οχημάτων, επιλέχθηκε το πρόβλημα προστασίας καίριων σημείων (Asset Protection Problem (APP)). Το πρόβλημα αυτό έχει προταθεί για τη συντονισμένη και συγχρονισμένη δρομολόγηση πυροσβεστικών οχημάτων στη προστασία καίριων σημείων. Το APP θεωρείται ιδιαίτερα απαιτητικό πρόβλημα λόγω του ετερογενούς στόλου οχημάτων, των διαφοροποιημένων αναγκών (σε είδος και αριθμό οχημάτων) κάθε σημείου, των χρονικών περιορισμών για την προστασία κάθε σημείου και την ανάγκη συγχρονισμού των οχημάτων (χωρικά και χρονικά). Τα εξεταζόμενα προβλήματα αποτελούν παραλλαγές του κλασσικού προβλήματος δρομολόγησης, και για τη βελτιστοποίηση τους γίνεται χρήση αλγορίθμων εμπνευσμένων από τη φύση. Συγκεκριμένα, για την αλγοριθμική βελτιστοποίηση του προτεινόμενου προβλήματος Green-PCVRP, επιλέχθηκε ο Αλγόριθμος της Νυχτερίδας ο οποίος όμως έχει σχεδιαστεί για την επίλυση προβλημάτων συνεχών μεταβλητών, ενώ το εξεταζόμενο πρόβλημα απαιτεί διακριτή κωδικοποίηση των λύσεων. Για αυτό το λόγο, στη παρούσα διατριβή προτείνονται δύο νέα αλγοριθμικά πλαίσια. Το πρώτο αφορά σε διακριτοποιημένη εκδοχή του αλγορίθμου, η οποία δηλώνεται ως Discrete Inspired Bat Algorithm (DIBA) και βασίζεται στην αντικατάσταση των εξισώσεων κίνησης του αλγορίθμου από ευρετικές τεχνικές. Το δεύτερο αλγοριθμικό πλαίσιο που προτείνεται αφορά στην εφαρμογή της κλασσικής μεθόδου κάνοντας χρήση της προτεινόμενης μεθόδου κωδικοποίησης/αποκωδικοποίησης των λύσεων, Coordinates Related (CR), που αποτελεί πρωτοτυπία της παρούσας διδακτορικής διατριβής. Έτσι, η προτεινομένη αλγοριθμική προσέγγιση για την επίλυση του Green-PCVRP ονομάζεται Bat Algorithm based on Coordinates (BAC). Οι δύο προτεινόμενες αλγοριθμικές μέθοδοι συγκρίνονται βάση της αποτελεσματικότητάς τους στην επίλυση του προβλήματος Green-PCVRP, σε παραδείγματα αναφοράς της βιβλιογραφίας. Μάλιστα, εξάγεται το συμπέρασμα ότι η εμπλουτισμένη εκδοχή του κλασσικού αλγοριθμικού πλαισίου με την μέθοδο CR είναι αποτελεσματικότερη σε σύγκριση με την διακριτή εκδοχή του ίδιου αλγορίθμου. Συνεπώς, για την επίλυση του δεύτερου προτεινόμενου προβλήματος, του E-PCVRP μελετήθηκε η εφαρμογή της καινοτόμου μεθόδου CR και σε άλλους μεθευρετικούς αλγορίθμους. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιήθηκαν ο Αλγόριθμος της Πυγολαμπίδας, ο Αλγόριθμος της Διαφορικής Εξέλιξης με διωνυμική και εκθετική διασταύρωση, ο Αλγόριθμος Βελτιστοποίησης Σμήνους Σωματιδίων και ο Αλγόριθμος Βελτιστοποίησης Διδασκαλίας-Μάθησης. Σε ότι αφορά την αλγοριθμική επίλυση του APP, οι παραπάνω αλγόριθμοι δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν, γιατί για το συγκεκριμένο πρόβλημα απαιτείται η χρήση ενός κατασκευαστικού αλγορίθμου. Έτσι, επιλέχθηκε ο αλγόριθμος «Σύστημα Αποικίας Μυρμηγκιών» (ACS και προτείνεται η παραλλαγή του ως το Προσαρμοσμένο Σύστημα Αποικίας Μυρμηγκιών (Modified Ant Colony System (MACS)). Η αποτελεσματικότητα του προτεινόμενου αλγορίθμου αποδεικνύεται μέσα από υπολογιστικά πειράματα, χρησιμοποιώντας παραδείγματα αναφοράς της βιβλιογραφίας, σε σύγκριση με τις ήδη δημοσιευμένες μεθόδους επίλυσης του APP. Συγκεκριμένα, αποδεικνύεται ότι ο MACS υπερισχύει των προηγούμενα δημοσιευμένων μεθόδων, αποδίδοντάς νέες βέλτιστες λύσεις.