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The Hecke group algebra $\operatorname{H} \mathring{W}$ of a finite Coxeter group $\mathring{W}$, as introduced by the first and last author, is obtained from $\mathring{W}$ by gluing appropriately its $0$-Hecke algebra and its group algebra. In this paper, we give an equivalent alternative construction in the case when $\mathring{W}$ is the classical Weyl group associated to an affine Weyl group $W$. Namely, we prove that, for $q$ not a root of unity, $\operatorname{H} \mathring{W}$ is the natural quotient of the affine Hecke algebra $\operatorname{H}(W)(q)$ through its level $0$ representation. The proof relies on the following core combinatorial result: at level $0$ the $0$-Hecke algebra acts transitively on $\mathring{W}$. Equivalently, in type $A$, a word written on a circle can be both sorted and antisorted by elementary bubble sort operators. We further show that the level $0$ representation is a calibrated principal series representation $M(t)$ for a suitable choice of character $t$, so that the quotient factors (non trivially) through the principal central specialization. This explains in particular the similarities between the representation theory of the classical $0$-Hecke algebra and that of the affine Hecke algebra at this specialization.
L'algèbre de Hecke groupe $\operatorname{H} \mathring{W}$ d'un groupe de Coxeter fini $\mathring{W}$, introduite par le premier et le dernier auteur, est obtenue en recollant de manière appropriée son algèbre de Hecke dégénérée et son algèbre de groupe. Dans cet article, nous donnons une construction alternative dans le cas où $\mathring{W}$ est un groupe de Weyl associé à un groupe de Weyl affine $W$. Plus précisément, nous montrons que quand $q$ n'est ni nul ni une racine de l'unité, $\operatorname{H} \mathring{W}$ est le quotient naturel de l'algèbre de Hecke affine $\operatorname{H}(W)(q)$ dans sa représentation de niveau $0$. Nous montrons de plus que la représentation de niveau $0$ est une représentation de série principale calibrée $M(t)$ pour un certain caractère $t$, de sorte que le quotient se factorise par la spécialisation centrale principale. Ce fait explique en particulier les similarités entre les théories des représentations de l'algèbre de Hecke dégénérée et de l'algèbre de Hecke affine sous cette spécialisation.
Kazhdan-Lusztig Basis and a Geometric Filtration of an Affine Hecke Algebra