scholarly journals Four Variations on Graded Posets

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Yan X Zhang
Keyword(s):  
Hyperplane Arrangements ◽  
Nous Permet ◽  
International Audience ◽  
Natural Classes

International audience We explore the enumeration of some natural classes of graded posets, including $(2 + 2)$-avoiding graded posets, $(3 + 1)$-avoiding graded posets, $(2 + 2)$- and $(3 + 1)$-avoiding graded posets, and the set of all graded posets. As part of this story, we discuss a situation when we can switch between enumeration of labeled and unlabeled objects with ease, which helps us generalize a result by Postnikov and Stanley from the theory of hyperplane arrangements, answer a question posed by Stanley, and see an old result of Klarner in a new light. Nous étudions l’énumération de certaines classes naturelles de posets gradués, y compris ceux qui évitent les motifs $(2+2)$, $(3+1)$, $(2+2)$ et $(3+1)$, et l’ensemble de tous les posets gradués. En particulier, nous considérons une situation où l’énumération d’objets marqués et non marqués sont reliées de façon simple, ce qui nous permet de généraliser un résultat de Postnikov et Stanley en théorie des arrangements d’hyperplans, répondre à une question posée par Stanley, et voir sous un nouveau jour un vieux résultat de Klarner et Kreweras.

scholarly journals Universal geometric coefficients for the four-punctured sphere (Extended Abstract)

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Emily Barnard ◽  
Emily Meehan ◽  
Shira Polster ◽  
Nathan Reading
Keyword(s):  
Cluster Algebra ◽  
Short List ◽  
Nous Permet ◽  
Rational Part ◽  
International Audience

International audience We construct universal geometric coefficients for the cluster algebra associated to the four-punctured sphere and obtain, as a by-product, the $g$ -vectors of cluster variables. We also construct the rational part of the mutation fan. These constructions rely on a classification of the allowable curves (the curves which can appear in quasi-laminations). The classification allows us to prove the Null Tangle Property for the four-punctured sphere, thus adding this surface to a short list of surfaces for which this property is known. The Null Tangle Property then implies that the shear coordinates of allowable curves are the universal coefficients. We compute these shear coordinates to obtain universal geometric coefficients. Nous construisons des coefficients géométriques universels pour l’algèbre amassée associée à la sphère privée de 4 points, et obtenons ce faisant les $g$-vecteurs des variables d’amas. Nous construisons aussi la partie rationnelle de l’éventail de mutation. Ces constructions reposent sur la classification des courbes admissibles (les courbes qui peuvent apparaître dans les quasi-laminations). Cette classification nous permet de prouver la “Null Tangle Property” pour la sphère privée de 4 points, ajoutant ainsi cette surface à la courte liste de surfaces pour lesquelles cette propriété est connue. La “Null Tangle Property” implique alors que les coordonnées de décalage des courbes admissibles sont les coefficients universels. Nous calculons ces coordonnées de décalage pour obtenir les coefficients géométriques universels.

scholarly journals Families of prudent self-avoiding walks

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Mireille Bousquet-Mélou
Keyword(s):  
Generating Function ◽  
Recurrence Relations ◽  
Square Lattice ◽  
Random Generation ◽  
Fourth Class ◽  
End Distance ◽  
International Audience ◽  
Self Avoiding Walk ◽  
Natural Classes ◽  
Self Avoiding Walks

International audience A self-avoiding walk on the square lattice is $\textit{prudent}$, if it never takes a step towards a vertex it has already visited. Préa was the first to address the enumeration of these walks, in 1997. For 4 natural classes of prudent walks, he wrote a system of recurrence relations, involving the length of the walks and some additional "catalytic'' parameters. The generating function of the first class is easily seen to be rational. The second class was proved to have an algebraic (quadratic) generating function by Duchi (FPSAC'05). Here, we solve exactly the third class, which turns out to be much more complex: its generating function is not algebraic, nor even $D$-finite. The fourth class ―- general prudent walks ―- still defeats us. However, we design an isotropic family of prudent walks on the triangular lattice, which we count exactly. Again, the generating function is proved to be non-$D$-finite. We also study the end-to-end distance of these walks and provide random generation procedures. Un chemin auto-évitant sur le réseau carré est $\textit{prudent}$, s'il ne fait jamais un pas en direction d'un point qu'il a déjà visité. Préa est le premier à avoir cherché à énumérer ces chemins, en 1997. Pour 4 classes naturelles de chemins prudents, il donne un système de relations de récurrence, impliquant la longueur des chemins et plusieurs paramètres "catalytiques'' supplémentaires. La première classe a une série génératrice simple, rationnelle. La deuxième a une série algébrique (quadratique) (Duchi, FPSAC'05). Nous comptons ici les chemins de la troisième classe, et observons un saut de complexité: la série obtenue n'est ni algébrique, ni même différentiellement finie. La quatrième classe, celle des chemins prudents généraux, résiste encore. Cependant, nous définissons un modèle isotrope de chemins prudents sur réseau triangulaire, que nous résolvons de nouveau, la série obtenue n'est pas différentiellement finie. Nous étudions aussi la vitesse d'éloignement de ces chemins, et proposons des algorithmes de génération aléatoire.

scholarly journals Quivers and the Euclidean algebra (Extended abstract)

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Alistair Savage
Keyword(s):  
Moduli Spaces ◽  
Euclidean Group ◽  
Quiver Varieties ◽  
Nous Permet ◽  
Preprojective Algebras ◽  
Nous Montrons ◽  
Wild Representation Type ◽  
Il Y A ◽  
International Audience ◽  
Euclidean Algebra

International audience We show that the category of representations of the Euclidean group $E(2)$ is equivalent to the category of representations of the preprojective algebra of the quiver of type $A_{\infty}$. Furthermore, we consider the moduli space of $E(2)$-modules along with a set of generators. We show that these moduli spaces are quiver varieties of the type considered by Nakajima. These identifications allow us to draw on known results about preprojective algebras and quiver varieties to prove various statements about representations of $E(2)$. In particular, we show that $E(2)$ has wild representation type but that if we impose certain combinatorial restrictions on the weight decompositions of a representation, we obtain only a finite number of indecomposable representations. Nous montrons que la catégorie des représentations du groupe d'Euclide $E(2)$ est équivalente à la catégorie des représentations de l'algèbre préprojective de type $A_{\infty}$. De plus, nous considérons l'espace classifiant de modules de $E(2)$ avec un ensemble de générateurs. Nous montrons que ces espaces sont de variétés de carquois de Nakajima. Cette identification nous permet d'utiliser des résultats des algèbres préprojectives et des variétés de carquois pour prouver des affirmations sur des représentations de $E(2)$. En particulier, nous montrons que le type de représentations de $E(2)$ est sauvage mais si nous imposons des restrictions aux poids d'une représentation, il y a seulement un nombre fini de représentations qui ne sont pas décomposables.

scholarly journals Bruhat order, rationally smooth Schubert varieties, and hyperplane arrangements

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Suho Oh ◽  
Hwanchul Yoo
Keyword(s):  
Hyperplane Arrangement ◽  
Schubert Variety ◽  
Bruhat Order ◽  
Hyperplane Arrangements ◽  
Schubert Varieties ◽  
Flag Manifolds ◽  
Poincaré Polynomial ◽  
Generalized Flag Manifolds ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We link Schubert varieties in the generalized flag manifolds with hyperplane arrangements. For an element of a Weyl group, we construct a certain graphical hyperplane arrangement. We show that the generating function for regions of this arrangement coincides with the Poincaré polynomial of the corresponding Schubert variety if and only if the Schubert variety is rationally smooth. Nous relions des variétés de Schubert dans le variété flag généralisée avec des arrangements des hyperplans. Pour un élément dún groupe de Weyl, nous construisons un certain arrangement graphique des hyperplans. Nous montrons que la fonction génératrice pour les régions de cet arrangement coincide avec le polynome de Poincaré de la variété de Schubert correspondante si et seulement si la variété de Schubert est rationnellement lisse.

scholarly journals Hyperplane Arrangements and Diagonal Harmonics

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Drew Armstrong
Keyword(s):  
Symmetric Functions ◽  
Hilbert Series ◽  
Hyperplane Arrangement ◽  
Type A ◽  
Hyperplane Arrangements ◽  
Combinatorial Interpretation ◽  
Nabla Operator ◽  
Affine Weyl Group ◽  
Diagonal Harmonics ◽  
International Audience

International audience In 2003, Haglund's bounce statistic gave the first combinatorial interpretation of the q,t-Catalan numbers and the Hilbert series of diagonal harmonics. In this paper we propose a new combinatorial interpretation in terms of the affine Weyl group of type A. In particular, we define two statistics on affine permutations; one in terms of the Shi hyperplane arrangement, and one in terms of a new arrangement — which we call the Ish arrangement. We prove that our statistics are equivalent to the area' and bounce statistics of Haglund and Loehr. In this setting, we observe that bounce is naturally expressed as a statistic on the root lattice. We extend our statistics in two directions: to "extended'' Shi arrangements and to the bounded chambers of these arrangements. This leads to a (conjectural) combinatorial interpretation for all integral powers of the Bergeron-Garsia nabla operator applied to elementary symmetric functions. En 2003, la statistique bounce de Haglund a donné la première interprétation combinatoire de la somme des nombres q,t-Catalan et de la série de Hilbert des harmoniques diagonaux. Dans cet article nous proposons une nouvelle interprétation combinatoire à partir du groupe de Weyl affine de type A. En particulier, nous définissons deux statistiques sur les permutations affines; l'une à partir de l'arrangement d'hyperplans Shi, et l'autre à partir d'un nouvel arrangement — que nous appelons l'arrangement Ish. Nous prouvons que nos statistiques sont équivalentes aux statistiques area' et bounce de Haglund et Loehr. Dans ce contexte, nous observons que bounce s'exprime naturellement comme une statistique sur le réseau des racines. Nous prolongeons nos statistiques dans deux directions: arrangements Shi "étendus'', et chambres bornées associées. Cela conduit à une interprétation (conjecturale) combinatoire pour toutes les puissances entières de l'opérateur nabla de Bergeron-Garsia appliqué aux fonctions symétriques élémentaires.

scholarly journals The Möbius function of generalized subword order

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Peter R. W. McNamara ◽  
Bruce E. Sagan
Keyword(s):  
Partial Order ◽  
Finite Length ◽  
Simple Formula ◽  
Möbius Function ◽  
Finite Poset ◽  
Mobius Function ◽  
Nous Permet ◽  
International Audience ◽  
Uniform Manner ◽  
A Chain

International audience Let $P$ be a poset and let $P^*$ be the set of all finite length words over $P$. Generalized subword order is the partial order on $P^*$ obtained by letting $u≤ w$ if and only if there is a subword $u'$ of $w$ having the same length as $u$ such that each element of $u$ is less than or equal to the corresponding element of $u'$ in the partial order on $P$. Classical subword order arises when $P$ is an antichain, while letting $P$ be a chain gives an order on compositions. For any finite poset $P$, we give a simple formula for the Möbius function of $P^*$ in terms of the Möbius function of $P$. This permits us to rederive in an easy and uniform manner previous results of Björner, Sagan and Vatter, and Tomie. We are also able to determine the homotopy type of all intervals in $P^*$ for any finite $P$ of rank at most 1. Soit $P$ un ensemble partiellement ordonné et soit $P^*$ l'ensemble des mots de longueur finie sur $P$. On définit l'ordre des sous-mots généralisé comme l'ordre partiel sur $P^*$ obtenu en posant $u≤ w$ s'il existe un sous-mot $u'$ de $w$ ayant la même longueur que $u$, tel que chaque élément de $u$ soit plus petit ou égal à l'élément correspondant de $u'$ dans l'ordre partiel sur $P$. L'ordre des sous-mots classique correspond au cas où $P$ est une antichaîne ; tandis que si P est une chaîne, on obtient un ordre sur les compositions. Pour tout ensemble partiellement ordonné fini $P$, nous donnons une formule simple pour la fonction de Möbius de $P^*$ en fonction de celle de $P$. Cela nous permet de retrouver de manière simple et uniforme des résultats de Björner, Sagan et Vatter, et de Tomie. Nous sommes aussi en mesure de déterminer le type d'homotopie de tous les intervalles de $P^*$ pour n'importe quel $P$ fini de rang au plus 1.

scholarly journals An Edge-Signed Generalization of Chordal Graphs, Free Multiplicities on Braid Arrangements, and Their Characterizations

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Takuro Abe ◽  
Koji Nuida ◽  
Yasuhide Numata
Keyword(s):  
Special Kind ◽  
Chordal Graph ◽  
Hyperplane Arrangements ◽  
Chordal Graphs ◽  
Nous Proposons ◽  
Signed Graphs ◽  
International Audience ◽  
Perfect Elimination Ordering

International audience In this article, we propose a generalization of the notion of chordal graphs to signed graphs, which is based on the existence of a perfect elimination ordering for a chordal graph. We give a special kind of filtrations of the generalized chordal graphs, and show a characterization of those graphs. Moreover, we also describe a relation between signed graphs and a certain class of multiarrangements of hyperplanes, and show a characterization of free multiarrangements in that class in terms of the generalized chordal graphs, which generalizes a well-known result by Stanley on free hyperplane arrangements. Finally, we give a remark on a relation of our results with a recent conjecture by Athanasiadis on freeness characterization for another class of hyperplane arrangements. Dans cet article, nous proposons une généralisation de la notion des graphes triangulés à graphes signés, qui est basée sur l'existence d'un ordre d'élimination simplicial à un graphe triangulé. Nous donnons un genre spécial de filtrations des graphes triangulés généralisés, et montrons une caractérisation de ces graphes. De plus, nous décrivons aussi une relation entre graphes signés et une certaine classe de multicompositions d'hyperplans, et montrons une caractérisation de multicompositions libres dans cette classe en termes des graphes triangulés généralisés, qui généralise un résultat célèbre de Stanley sur compositions libres d'hyperplans. Finalement, nous donnons une remarque sur une relation de nos résultats avec une conjecture récente d'Athanasiadis sur une caractérisation du freeness d'une autre classe de compositions d'hyperplans.

scholarly journals Chamber Structure For Double Hurwitz Numbers

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Renzo Cavalieri ◽  
Paul JOHNSON ◽  
Hannah Markwig
Keyword(s):  
Main Tool ◽  
Hyperplane Arrangements ◽  
Lattice Points ◽  
Piecewise Polynomial ◽  
Nous Proposons ◽  
Hurwitz Numbers ◽  
Wall Crossing ◽  
Piecewise Polynomial Functions ◽  
International Audience ◽  
Branch Divisor

International audience Double Hurwitz numbers count covers of the sphere by genus $g$ curves with assigned ramification profiles over $0$ and $\infty$, and simple ramification over a fixed branch divisor. Goulden, Jackson and Vakil (2005) have shown double Hurwitz numbers are piecewise polynomial in the orders of ramification, and Shadrin, Shapiro and Vainshtein (2008) have determined the chamber structure and wall crossing formulas for $g=0$. We provide new proofs of these results, and extend them in several directions. Most importantly we prove wall crossing formulas for all genera. The main tool is the authors' previous work expressing double Hurwitz number as a sum over labelled graphs. We identify the labels of the graphs with lattice points in the chambers of certain hyperplane arrangements, which give rise to piecewise polynomial functions. Our understanding of the wall crossing for these functions builds on the work of Varchenko (1987). This approach to wall crossing appears novel, and may be of broader interest. This extended abstract is based on a new preprint by the authors. Les nombres de Hurwitz doubles dénombrent les revêtements de la sphère par une surface de genre $g$ avec ramifications prescrites en $0$ et $\infty$, et dont les autres valeurs critiques sont non dégénérées et fixées. Goulden, Jackson et Vakil (2005) ont prouvé que les nombres de Hurwitz doubles sont polynomiaux par morceaux en l'ordre des ramifications prescrites, et Shadrin, Shapiro et Vainshtein (2008) ont déterminé la structure des chambres et ont établis des formules pour traverser les murs en genre $0$. Nous proposons des nouvelles preuves de ces résultats, et les généralisons dans plusieurs directions. En particulier, nous prouvons des formules pour traverser les murs en tout genre. L'outil principal est le précédent travail des auteurs exprimant les nombres de Hurwitz doubles comme somme de graphes étiquetés. Nous identifions les étiquetages avec les points entiers à l'intérieur d'une chambre d'un arrangement d'hyperplans, qui sont connu pour donner une fonction polynomiale par morceaux. Notre étude des formules pour traverser les murs de ces fonctions se base sur un travail antérieur de Varchenko (1987). Cette approche paraît nouvelle, et peut être d'un large intérêt. Ce résumé élargi se base sur un papier nouveau des auteurs.

scholarly journals Shortest path poset of finite Coxeter groups

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Saúl A. Blanco
Keyword(s):  
Shortest Path ◽  
Coxeter Group ◽  
Coxeter Groups ◽  
Shortest Paths ◽  
Combinatorial Interpretation ◽  
Nous Permet ◽  
Finite Coxeter Group ◽  
International Audience ◽  
Absolute Length ◽  
Bruhat Graph

International audience We define a poset using the shortest paths in the Bruhat graph of a finite Coxeter group $W$ from the identity to the longest word in $W, w_0$. We show that this poset is the union of Boolean posets of rank absolute length of $w_0$; that is, any shortest path labeled by reflections $t_1,\ldots,t_m$ is fully commutative. This allows us to give a combinatorial interpretation to the lowest-degree terms in the complete $\textbf{cd}$-index of $W$. Nous définissons un poset en utilisant le plus court chemin entre l'identité et le plus long mot de $W, w_0$, dans le graph de Bruhat du groupe finie Coxeter, $W$. Nous prouvons que ce poset est l'union de posets Boolean du même rang que la longueur absolute de $w_0$; ça signifie que tous les plus courts chemins, étiquetés par réflexions $t_1,\ldots, t_m$ sont totalement commutatives. Ça nous permet de donner une interprétation combinatoire aux termes avec le moindre grade dans le $\textbf{cd}$-index complet de $W$.

scholarly journals Affine permutations and rational slope parking functions

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Eugene Gorsky ◽  
Mikhail Mazin ◽  
Monica Vazirani
Keyword(s):  
Hyperplane Arrangements ◽  
Parking Functions ◽  
New Approach ◽  
Dyck Paths ◽  
International Audience ◽  
Affine Permutations ◽  
Combinatorial Constructions

International audience We introduce a new approach to the enumeration of rational slope parking functions with respect to the <mathrm>area</mathrm> and a generalized <mathrm>dinv</mathrm> statistics, and relate the combinatorics of parking functions to that of affine permutations. We relate our construction to two previously known combinatorial constructions: Haglund's bijection ζ exchanging the pairs of statistics (<mathrm>area</mathrm>,<mathrm>dinv</mathrm>) and (<mathrm>bounce</mathrm>, <mathrm>area</mathrm>) on Dyck paths, and Pak-Stanley labeling of the regions of k-Shi hyperplane arrangements by k-parking functions. Essentially, our approach can be viewed as a generalization and a unification of these two constructions.

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