scholarly journals Relative Node Polynomials for Plane Curves

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Florian Block
Keyword(s):  
Recent Work ◽  
Plane Curves ◽  
Explicit Formulas ◽  
Severi Varieties ◽  
Severi Variety ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We generalize the recent work of Fomin and Mikhalkin on polynomial formulas for Severi degrees. The degree of the Severi variety of plane curves of degree d and δ nodes is given by a polynomial in d, provided δ is fixed and d is large enough. We extend this result to generalized Severi varieties parametrizing plane curves which, in addition, satisfy tangency conditions of given orders with respect to a given line. We show that the degrees of these varieties, appropriately rescaled, are given by a combinatorially defined ``relative node polynomial'' in the tangency orders, provided the latter are large enough. We describe a method to compute these polynomials for arbitrary δ , and use it to present explicit formulas for δ ≤ 6. We also give a threshold for polynomiality, and compute the first few leading terms for any δ . Nous généralisons les travaux récents de Fomin et Mikhalkin sur des formules polynomiales pour les degrés de Severi. Le degré de la variété de Severi des courbes planes de degré d et à δ nœuds est donné par un polynôme en d , pour δ fixé et d assez grand. Nous étendons ce résultat aux variétés de Severi généralisées paramétrant les courbes planes et qui, en outre, satisfont à des conditions de tangence d'ordres donnés avec une droite fixée. Nous montrons que les degrés de ces variétés, rééchelonnés de manière appropriée, sont donnés par un ``polynôme de noeud relatif'', défini combinatoirement, en les ordres de tangence, dès que ceux-ci sont assez grands. Nous décrivons une méthode pour calculer ces polynômes pour delta arbitraire, et l'utilisons pour présenter des formules explicites pour δ ≤ 6 . Nous donnons aussi un seuil pour la polynomialité, et calculons les premiers termes dominants pour tout δ .

scholarly journals Universal Polynomials for Severi Degrees of Toric Surfaces

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Federico Ardila ◽  
Florian Block
Keyword(s):  
Tropical Geometry ◽  
Large Family ◽  
Plane Curves ◽  
Toric Surfaces ◽  
Combinatorial Objects ◽  
Severi Varieties ◽  
Severi Variety ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Floor Diagrams

International audience The Severi variety parametrizes plane curves of degree $d$ with $\delta$ nodes. Its degree is called the Severi degree. For large enough $d$, the Severi degrees coincide with the Gromov-Witten invariants of $\mathbb{CP}^2$. Fomin and Mikhalkin (2009) proved the 1995 conjecture that for fixed $\delta$, Severi degrees are eventually polynomial in $d$. In this paper, we study the Severi varieties corresponding to a large family of toric surfaces. We prove the analogous result that the Severi degrees are eventually polynomial as a function of the multidegree. More surprisingly, we show that the Severi degrees are also eventually polynomial "as a function of the surface". Our strategy is to use tropical geometry to express Severi degrees in terms of Brugallé and Mikhalkin's floor diagrams, and study those combinatorial objects in detail. An important ingredient in the proof is the polynomiality of the discrete volume of a variable facet-unimodular polytope. La variété de Severi paramétrise les courbes planes de degré $d$ avec $\delta$ nœuds. Son degré s'appelle le degré de Severi. Pour $d$ assez grand, les degrés de Severi coïncident avec les invariants de Gromov-Witten de $\mathbb{CP}^2$. Fomin et Mikhalkin (2009) ont prouvé une conjecture de 1995 que pour $\delta$ fixé, les degrés de Severi sont à terme des polynômes en $d$. Nous étudions les variétés de Severi correspondant à une large famille de surfaces toriques. Nous prouvons le résultat analogue que les degrés de Severi sont à terme des fonctions polynomiales du multidegré. De manière plus surprenante, nous montrons que les degrés de Severi sont à terme des polynômes en tant que "fonction de la surface''. Notre stratégie est d'utiliser la géométrie tropicale pour exprimer les degrés de Severi en fonction des "floor diagrams" de Brugallé et Mikhalkin, et d'utiliser ces objets combinatoires en détail. Un autre ingrédient important de la preuve est la polynomialité du volume discret d'un polytope face-unimodulaire variable.

scholarly journals $q$-Floor Diagrams computing Refined Severi Degrees for Plane Curves

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Florian Block
Keyword(s):  
Plane Curves ◽  
Combinatorial Description ◽  
Severi Variety ◽  
International Audience ◽  
Floor Diagrams

International audience The Severi degree is the degree of the Severi variety parametrizing plane curves of degree $d$ with $\delta$ nodes. Recently, Göttsche and Shende gave two refinements of Severi degrees, polynomials in a variable $q$, which are conjecturally equal, for large $d$. At $q=1$, one of the refinements, the relative Severi degree, specializes to the (non-relative) Severi degree. We give a combinatorial description of the refined Severi degrees, in terms of a $q$-analog count of Brugallé and Mikhalkin's floor diagrams. Our description implies that, for fixed $\delta$, the refined Severi degrees are polynomials in $d$ and $q$, for large $d$. As a consequence, we show that, for $\delta \leq 4$ and all $d$, both refinements of Göttsche and Shende agree and equal our $q$-count of floor diagrams. Le degré de Severi est le degré de la variété de Severi paramétrisant les courbes planes de degré $d$ à $\delta$ nœuds. Récemment, Göttsche et Shende ont donné deux raffinements des degrés de Severi, polynomiaux en la variable $q$, qui sont conjecturalement égaux pour $d$ assez grand. Pour $q=1$, un des ces raffinements, le degré de Severi relatif, se spécialise en le degré de Severi (non relatif). Nous donnons une description combinatoire des degrés de Severi raffinés, en fonction d'un comptage $q$-analogue des "floor diagrams'' de Brugallé et Mikhalkin. Notre description implique que, pour $\delta$ fixé, les degrés de Severi raffinés sont polynomiaux en $d$ et $q$, pour $d$ grand. On montre que, par conséquent, pour $\delta \leq 4$ et pour tout $d$, les deux raffinements de Göttsche et Shende coïncident et sont égaux à notre $q$-analogue de "floor diagrams''.

scholarly journals Computing Node Polynomials for Plane Curves

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Florian Block
Keyword(s):  
Optimal Threshold ◽  
Plane Curves ◽  
Explicit Algorithm ◽  
Severi Variety ◽  
International Audience ◽  
Computing Node

International audience According to the Göttsche conjecture (now a theorem), the degree $N^{d, \delta}$ of the Severi variety of plane curves of degree $d$ with $\delta$ nodes is given by a polynomial in $d$, provided $d$ is large enough. These "node polynomials'' $N_{\delta} (d)$ were determined by Vainsencher and Kleiman―Piene for $\delta \leq 6$ and $\delta \leq 8$, respectively. Building on ideas of Fomin and Mikhalkin, we develop an explicit algorithm for computing all node polynomials, and use it to compute $N_{\delta} (d)$ for $\delta \leq 14$. Furthermore, we improve the threshold of polynomiality and verify Göttsche's conjecture on the optimal threshold up to $\delta \leq 14$. We also determine the first 9 coefficients of $N_{\delta} (d)$, for general $\delta$, settling and extending a 1994 conjecture of Di Francesco and Itzykson. Selon la Conjecture de Göttsche (maintenant un Théorème), le degré $N^{d, \delta}$ de la variété de Severi des courbes planes de degré $d$ avec $\delta$ noeuds est donné par un polynôme en $d$, pour $d$ assez grand. Ces $\textit{polynômes de nœuds}$ $N_{\delta} (d)$ ont été déterminés par Vainsencher et Kleiman―Piene pour $\delta \leq 6$ et $\delta \leq 8$, respectivement. S'appuyant sur les idées de Fomin et Mikhalkin, nous développons un algorithme explicite permettant de calculer tous les polynômes de nœuds, et l'utilisons pour calculer $N_{\delta} (d)$, pour $\delta \leq 14$. De plus, nous améliorons le seuil de polynomialité et vérifions la Conjecture de Göttsche sur le seuil optimal jusqu'à $\delta \leq 14$. Nous déterminons aussi les 9 premiers coéfficients de $N_{\delta} (d)$, pour un $\delta$ quelconque, confirmant et étendant la Conjecture de Di Francesco et Itzykson de 1994.

scholarly journals Descent polynomials for permutations with bounded drop size

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Fan Chung ◽  
Anders Claesson ◽  
Mark Dukes ◽  
Ronald Graham
Keyword(s):  
Generating Functions ◽  
Drop Size ◽  
Explicit Formulas ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience Motivated by juggling sequences and bubble sort, we examine permutations on the set${1, 2, \ldots, n}$ with $d$ descents and maximum drop size $k$. We give explicit formulas for enumerating such permutations for given integers $k$ and $d$. We also derive the related generating functions and prove unimodality and symmetry of the coefficients. Motivés par les "suites de jonglerie'' et le tri à bulles, nous étudions les permutations de l'ensemble ${1, 2, \ldots, n}$ ayant $d$ descentes et une taille de déficience maximale $k$. Nous donnons des formules explicites pour l'énumération de telles permutations pour des entiers k et d fixés, ainsi que les fonctions génératrices connexes. Nous montrons aussi que les coefficients possèdent des propriétés d'unimodalité et de symétrie.

scholarly journals Macdonald polynomials at $t=q^k$

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jean-Gabriel Luque
Keyword(s):  
Macdonald Polynomials ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We investigate the homogeneous symmetric Macdonald polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ for the specialization $t=q^k$. We show an identity relying the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ and $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. As a consequence, we describe an operator whose eigenvalues characterize the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous nous intéressons aux propriétés des polynômes de Macdonald symétriques $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ pour la spécialisation $t=q^k$. En particulier nous montrons une égalité reliant les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ et $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous en déduisons la description d'un opérateur dont les valeurs propres caractérisent les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$.

scholarly journals Closed paths whose steps are roots of unity

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Gilbert Labelle ◽  
Annie Lacasse
Keyword(s):  
Roots Of Unity ◽  
Explicit Formulas ◽  
Asymptotic Expressions ◽  
International Audience ◽  
Dual Sequences ◽  
Polygonal Paths

International audience We give explicit formulas for the number $U_n(N)$ of closed polygonal paths of length $N$ (starting from the origin) whose steps are $n^{\textrm{th}}$ roots of unity, as well as asymptotic expressions for these numbers when $N \rightarrow \infty$. We also prove that the sequences $(U_n(N))_{N \geq 0}$ are $P$-recursive for each fixed $n \geq 1$ and leave open the problem of determining the values of $N$ for which the $\textit{dual}$ sequences $(U_n(N))_{n \geq 1}$ are $P$-recursive. Nous donnons des formules explicites pour le nombre $U_n(N)$ de chemins polygonaux fermés de longueur $N$ (débutant à l'origine) dont les pas sont des racines $n$-ièmes de l'unité, ainsi que des expressions asymptotiques pour ces nombres lorsque $N \rightarrow \infty$. Nous démontrons aussi que les suites $(U_n(N))_{N \geq 0}$ sont $P$-récursives pour chaque $n \geq 1$ fixé et laissons ouvert le problème de déterminer les valeurs de $N$ pour lesquelles les suites $\textit{duales}$ $(U_n(N))_{n \geq 1}$ sont $P$-récursives.

scholarly journals Refined curve counting with tropical geometry

2015 ◽  
Vol 152 (1) ◽  
pp. 115-151 ◽  
Author(s):  
Florian Block ◽  
Lothar Göttsche
Keyword(s):  
Tropical Geometry ◽  
Ruled Surfaces ◽  
Plane Curves ◽  
Toric Surfaces ◽  
Formula One ◽  
Tropical Curves ◽  
Tropical Curve ◽  
Severi Variety ◽  
Floor Diagrams

The Severi degree is the degree of the Severi variety parametrizing plane curves of degree $d$ with ${\it\delta}$ nodes. Recently, Göttsche and Shende gave two refinements of Severi degrees, polynomials in a variable $y$, which are conjecturally equal, for large $d$. At $y=1$, one of the refinements, the relative Severi degree, specializes to the (non-relative) Severi degree. We give a tropical description of the refined Severi degrees, in terms of a refined tropical curve count for all toric surfaces. We also refine the equivalent count of floor diagrams for Hirzebruch and rational ruled surfaces. Our description implies that, for fixed ${\it\delta}$, the refined Severi degrees are polynomials in $d$ and $y$, for large $d$. As a consequence, we show that, for ${\it\delta}\leqslant 10$ and all $d\geqslant {\it\delta}/2+1$, both refinements of Göttsche and Shende agree and equal our refined counts of tropical curves and floor diagrams.

Extremal Values of the Basic Invariants of Plane Curves

2000 ◽  
Vol 09 (08) ◽  
pp. 1085-1126
Author(s):  
Jianming Yu ◽  
Jianyi Zhou ◽  
Jianzhong Pan
Keyword(s):  
Fixed Number ◽  
Plane Curves ◽  
Explicit Formulas ◽  
Double Points ◽  
Fine Structures ◽  
Extremal Values ◽  
Extremal Value

In [A2] V.I. Arnold introduced three basic invariants St, J+ and J- of plane curves and proposed some interesting conjectures concerning the extremal value of these invariants on a given set of curves. Partial answers have been obtained by O. Viro and A. N. Shumakovich. We give explicit formulas for these extremal values of sets of plane curves with fixed number of double points and of Whitney index and we determine on which curves these extremal values are attained (Theorems 3-6). Our arguments are based on understanding of the fine structures of generic curves and some surgery operations on curves.

scholarly journals Affine descents and the Steinberg torus

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Kevin Dilks ◽  
T. Kyle Petersen ◽  
John R. Stembridge
Keyword(s):  
Weyl Group ◽  
Generating Functions ◽  
Cell Complex ◽  
Premier Lieu ◽  
Coxeter Complex ◽  
Affine Weyl Group ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Translation Subgroup

International audience Let $W \ltimes L$ be an irreducible affine Weyl group with Coxeter complex $\Sigma$, where $W$ denotes the associated finite Weyl group and $L$ the translation subgroup. The Steinberg torus is the Boolean cell complex obtained by taking the quotient of $\Sigma$ by the lattice $L$. We show that the ordinary and flag $h$-polynomials of the Steinberg torus (with the empty face deleted) are generating functions over $W$ for a descent-like statistic first studied by Cellini. We also show that the ordinary $h$-polynomial has a nonnegative $\gamma$-vector, and hence, symmetric and unimodal coefficients. In the classical cases, we also provide expansions, identities, and generating functions for the $h$-polynomials of Steinberg tori. Nous considérons un groupe de Weyl affine irréductible $W \ltimes L$ avec complexe de Coxeter $\Sigma$, où $W$ désigne le groupe de Weyl fini associé et $L$ le sous-groupe des translations. Le tore de Steinberg est le complexe cellulaire Booléen obtenu comme le quotient de $\Sigma$ par $L$. Nous montrons que les $h$-polynômes, ordinaires et de drapeaux, du tore de Steinberg (sans la face vide) sont des fonctions génératrices sur $W$ pour une statistique de type descente, étudiée en premier lieu par Cellini. Nous montrons également qu'un $h$-polynôme ordinaire possède un $\gamma$-vecteur positif, et par conséquent, a des coefficients symétriques et unimodaux. Dans les cas classiques, nous donnons également des développements, des identités et des fonctions génératrices pour les $h$-polynômes des tores de Steinberg.

scholarly journals Appsgate, a Programmable Domestic Eco-system: Learning from "Living in it"

2018 ◽  
Vol Volume 7, Number 1 (Research articles) ◽  
Author(s):  
Joëlle Coutaz ◽  
James L. Crowley
Keyword(s):  
Real World ◽  
Real Life ◽  
End Users ◽  
Team Members ◽  
Mise En Œuvre ◽  
Person Perspective ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Living Labs ◽  
First Person Perspective

International audience We present an experience with the development and evaluation of AppsGate, an ecosystem for the home that can be programmed by end-users. We show the benefits from using the homes of the project team members as real-life living-labs. In particular, we discuss the first person perspective experience as an effective way to conduct longitudinal experiments in real world settings. We conclude that a programmable habitat is desirable provided that attention cost is minimized Cet article présente un retour d’expérience avec la mise en oeuvre et l’évaluation d’AppsGate, un écosystème domestique programmable par l’habitant. Nous montrons l’apport de l’utilisation des domiciles de membres du projet tout au long du processus de développement, et notamment l’intérêt de « vivre avec » comme technique d’expérimentation longitudinale

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