scholarly journals Descent polynomials for permutations with bounded drop size

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Fan Chung ◽  
Anders Claesson ◽  
Mark Dukes ◽  
Ronald Graham
Keyword(s):  
Generating Functions ◽  
Drop Size ◽  
Explicit Formulas ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience Motivated by juggling sequences and bubble sort, we examine permutations on the set${1, 2, \ldots, n}$ with $d$ descents and maximum drop size $k$. We give explicit formulas for enumerating such permutations for given integers $k$ and $d$. We also derive the related generating functions and prove unimodality and symmetry of the coefficients. Motivés par les "suites de jonglerie'' et le tri à bulles, nous étudions les permutations de l'ensemble ${1, 2, \ldots, n}$ ayant $d$ descentes et une taille de déficience maximale $k$. Nous donnons des formules explicites pour l'énumération de telles permutations pour des entiers k et d fixés, ainsi que les fonctions génératrices connexes. Nous montrons aussi que les coefficients possèdent des propriétés d'unimodalité et de symétrie.

scholarly journals Affine descents and the Steinberg torus

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Kevin Dilks ◽  
T. Kyle Petersen ◽  
John R. Stembridge
Keyword(s):  
Weyl Group ◽  
Generating Functions ◽  
Cell Complex ◽  
Premier Lieu ◽  
Coxeter Complex ◽  
Affine Weyl Group ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Translation Subgroup

International audience Let $W \ltimes L$ be an irreducible affine Weyl group with Coxeter complex $\Sigma$, where $W$ denotes the associated finite Weyl group and $L$ the translation subgroup. The Steinberg torus is the Boolean cell complex obtained by taking the quotient of $\Sigma$ by the lattice $L$. We show that the ordinary and flag $h$-polynomials of the Steinberg torus (with the empty face deleted) are generating functions over $W$ for a descent-like statistic first studied by Cellini. We also show that the ordinary $h$-polynomial has a nonnegative $\gamma$-vector, and hence, symmetric and unimodal coefficients. In the classical cases, we also provide expansions, identities, and generating functions for the $h$-polynomials of Steinberg tori. Nous considérons un groupe de Weyl affine irréductible $W \ltimes L$ avec complexe de Coxeter $\Sigma$, où $W$ désigne le groupe de Weyl fini associé et $L$ le sous-groupe des translations. Le tore de Steinberg est le complexe cellulaire Booléen obtenu comme le quotient de $\Sigma$ par $L$. Nous montrons que les $h$-polynômes, ordinaires et de drapeaux, du tore de Steinberg (sans la face vide) sont des fonctions génératrices sur $W$ pour une statistique de type descente, étudiée en premier lieu par Cellini. Nous montrons également qu'un $h$-polynôme ordinaire possède un $\gamma$-vecteur positif, et par conséquent, a des coefficients symétriques et unimodaux. Dans les cas classiques, nous donnons également des développements, des identités et des fonctions génératrices pour les $h$-polynômes des tores de Steinberg.

scholarly journals Arc-Coloured Permutations

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Lily Yen
Keyword(s):  
Generating Functions ◽  
Joint Distribution ◽  
Rational Functions ◽  
Set Partitions ◽  
Combinatorial Objects ◽  
Crossing Numbers ◽  
Rational Series ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Labelled Graphs

International audience The equidistribution of many crossing and nesting statistics exists in several combinatorial objects like matchings, set partitions, permutations, and embedded labelled graphs. The involutions switching nesting and crossing numbers for set partitions given by Krattenthaler, also by Chen, Deng, Du, Stanley, and Yan, and for permutations given by Burrill, Mishna, and Post involved passing through tableau-like objects. Recently, Chen and Guo for matchings, and Marberg for set partitions extended the result to coloured arc annotated diagrams. We prove that symmetric joint distribution continues to hold for arc-coloured permutations. As in Marberg's recent work, but through a different interpretation, we also conclude that the ordinary generating functions for all j-noncrossing, k-nonnesting, r-coloured permutations according to size n are rational functions. We use the interpretation to automate the generation of these rational series for both noncrossing and nonnesting coloured set partitions and permutations. <begin>otherlanguage*</begin>french L'équidistribution de plusieurs statistiques décrites en termes d'emboitements et de chevauchements d'arcs s'observes dans plusieurs familles d'objects combinatoires, tels que les couplages, partitions d'ensembles, permutations et graphes étiquetés. L'involution échangeant le nombre d'emboitements et de chevauchements dans les partitions d'ensemble due à Krattenthaler, et aussi Chen, Deng, Du, Stanley et Yan, et l'involution similaire dans les permutations due à Burrill, Mishna et Post, requièrent d'utiliser des objets de type tableaux. Récemment, Chen et Guo pour les couplages, et Marberg pour les partitions d'ensembles, ont étendu ces résultats au cas de diagrammes arc-annotés coloriés. Nous démontrons que la propriété d'équidistribution s'observe est aussi vraie dans le cas de permutations aux arcs coloriés. Tout comme dans le travail résent de Marberg, mais via un autre chemin, nous montrons que les séries génératrices ordinaires des permutations r-coloriées ayant au plus j chevauchements et k emboitements, comptées selon la taille n, sont des fonctions rationnelles. Nous décrivons aussi des algorithmes permettant de calculer ces fonctions rationnelles pour les partitions d'ensembles et les permutations coloriées sans emboitement ou sans chevauchement. <end>otherlanguage*</end>

scholarly journals $n$-color overpartitions, lattice paths, and multiple basic hypergeometric series

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Olivier Mallet
Keyword(s):  
Generating Functions ◽  
Hypergeometric Series ◽  
Basic Hypergeometric Series ◽  
Combinatorial Identities ◽  
Lattice Paths ◽  
Multiple Series ◽  
Infinite Products ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Multiple Basic Hypergeometric Series

International audience We define two classes of multiple basic hypergeometric series $V_{k,t}(a,q)$ and $W_{k,t}(a,q)$ which generalize multiple series studied by Agarwal, Andrews, and Bressoud. We show how to interpret these series as generating functions for special restricted lattice paths and for $n$-color overpartitions with weighted difference conditions. We also point out that some specializations of our series can be written as infinite products, which leads to combinatorial identities linking $n$-color overpartitions with ordinary partitions or overpartitions. Nous définissons deux classes de séries hypergéométriques basiques multiples $V_{k,t}(a,q)$ et $W_{k,t}(a,q)$ qui généralisent des séries multiples étudiées par Agarwal, Andrews et Bressoud. Nous montrons comment interpréter ces séries comme les fonctions génératrices de chemins avec certaines restrictions et de surpartitions $n$-colorées vérifiant des conditions de différences pondérées. Nous remarquons aussi que certaines spécialisations de nos séries peuvent s'écrire comme des produits infinis, ce qui conduit à des identités combinatoires reliant les surpartitions $n$-colorées aux partitions ou surpartitions ordinaires.

scholarly journals String pattern avoidance in generalized non-crossing trees

2009 ◽  
Vol Vol. 11 no. 1 (Combinatorics) ◽  
Author(s):  
Yidong Sun ◽  
Zhiping Wang
Keyword(s):  
Generating Functions ◽  
Inversion Formula ◽  
Pattern Avoidance ◽  
Lagrange Inversion ◽  
Explicit Formulas ◽  
Lagrange Inversion Formula ◽  
Special Cases ◽  
International Audience ◽  
String Pattern

Combinatorics International audience The problem of string pattern avoidance in generalized non-crossing trees is studied. The generating functions for generalized non-crossing trees avoiding string patterns of length one and two are obtained. The Lagrange inversion formula is used to obtain the explicit formulas for some special cases. A bijection is also established between generalized non-crossing trees with special string pattern avoidance and little Schr ̈oder paths.

scholarly journals The number of directed $k$-convex polyominoes

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Adrien Boussicault ◽  
Simone Rinaldi ◽  
Samanta Socci
Keyword(s):  
Asymptotic Behavior ◽  
Rational Function ◽  
Generating Function ◽  
Generating Functions ◽  
New Method ◽  
Comportement Asymptotique ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We present a new method to obtain the generating functions for directed convex polyominoes according to several different statistics including: width, height, size of last column/row and number of corners. This method can be used to study different families of directed convex polyominoes: symmetric polyominoes, parallelogram polyominoes. In this paper, we apply our method to determine the generating function for directed $k$-convex polyominoes.We show it is a rational function and we study its asymptotic behavior. Nous présentons une nouvelle méthode générique pour obtenir facilement et rapidement les fonctions génératrices des polyominos dirigés convexes avec différentes combinaisons de statistiques : hauteur, largeur, longueur de la dernière ligne/colonne et nombre de coins. La méthode peut être utilisée pour énumérer différentes familles de polyominos dirigés convexes: les polyominos symétriques, les polyominos parallélogrammes. De cette façon, nouscalculons la fonction génératrice des polyominos dirigés $k$-convexes, nous montrons qu’elle est rationnelle et nous étudions son comportement asymptotique.

scholarly journals The sandpile model, polyominoes, and a $q,t$-Narayana polynomial

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Mark Dukes ◽  
Yvan Le Borgne
Keyword(s):  
Generating Functions ◽  
Complete Bipartite Graph ◽  
Combinatorial Structures ◽  
Set Partitions ◽  
Sandpile Model ◽  
Combinatorial Objects ◽  
Dyck Paths ◽  
Special Cases ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We give a polyomino characterisation of recurrent configurations of the sandpile model on the complete bipartite graph $K_{m,n}$ in which one designated vertex is the sink. We present a bijection from these recurrent configurations to decorated parallelogram polyominoes whose bounding box is a $m×n$ rectangle. Other combinatorial structures appear in special cases of this correspondence: for example bicomposition matrices (a matrix analogue of set partitions), and (2+2)-free posets. A canonical toppling process for recurrent configurations gives rise to a path within the associated parallelogram polyominoes. We define a collection of polynomials that we call $q,t$-Narayana polynomials, the generating functions of the bistatistic $(\mathsf{area ,parabounce} )$ on the set of parallelogram polyominoes, akin to Haglund's $(\mathsf{area ,hagbounce} )$ bistatistic on Dyck paths. In doing so, we have extended a bistatistic of Egge et al. to the set of parallelogram polyominoes. This is one answer to their question concerning extensions to other combinatorial objects. We conjecture the $q,t$-Narayana polynomials to be symmetric and discuss the proofs for numerous special cases. We also show a relationship between the $q,t$-Catalan polynomials and our bistatistic $(\mathsf{area ,parabounce}) $on a subset of parallelogram polyominoes. Pour le modèle du tas de sable sur un graphe $K_m,n$ biparti complet, on donne une description des configurations rècurrentes à l'aide d'une bijection avec des polyominos parallèlogrammes dècorès de rectangle englobant $m×n$. D'autres classes combinatoires apparaissent comme des cas particuliers de cette construction: par exemple les matrices de bicomposition et les ordres partiels évitant le motif (2+2). Un processus d'éboulement canonique des configurations récurrentes se traduit par un chemin bondissant dans le polyomino parallèlogramme associè. Nous définissons une famille de polynômes, baptisée de $q,t$-Narayana, à travers la distribution d'une paire de statistique $(\mathsf{aire, poidscheminbondissant})$ sur les polyominos parallélogrammes similaire à celle de Haglund définissant les polynômes de $q,t$-Catalan sur les chemins de Dyck. Ainsi nous étendons une paire de statistique de Egge et d'autres à l'ensemble des polynominos parallélogrammes. Cela répond à l'une de leur question sur des généralistations à d'autres objets combinatoires. Nous conjecturons que les polynômes de $q,t$-Narayana sont symétriques et discutons des preuves de plusieurs cas particuliers. Nous montrons ègalement une relation avec les polynômes de $q,t$-Catalan en restreignant notre paire de statistique à un sous-ensemble des polyominos parallélogrammes.

scholarly journals Relative Node Polynomials for Plane Curves

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Florian Block
Keyword(s):  
Recent Work ◽  
Plane Curves ◽  
Explicit Formulas ◽  
Severi Varieties ◽  
Severi Variety ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We generalize the recent work of Fomin and Mikhalkin on polynomial formulas for Severi degrees. The degree of the Severi variety of plane curves of degree d and δ nodes is given by a polynomial in d, provided δ is fixed and d is large enough. We extend this result to generalized Severi varieties parametrizing plane curves which, in addition, satisfy tangency conditions of given orders with respect to a given line. We show that the degrees of these varieties, appropriately rescaled, are given by a combinatorially defined ``relative node polynomial'' in the tangency orders, provided the latter are large enough. We describe a method to compute these polynomials for arbitrary δ , and use it to present explicit formulas for δ ≤ 6. We also give a threshold for polynomiality, and compute the first few leading terms for any δ . Nous généralisons les travaux récents de Fomin et Mikhalkin sur des formules polynomiales pour les degrés de Severi. Le degré de la variété de Severi des courbes planes de degré d et à δ nœuds est donné par un polynôme en d , pour δ fixé et d assez grand. Nous étendons ce résultat aux variétés de Severi généralisées paramétrant les courbes planes et qui, en outre, satisfont à des conditions de tangence d'ordres donnés avec une droite fixée. Nous montrons que les degrés de ces variétés, rééchelonnés de manière appropriée, sont donnés par un ``polynôme de noeud relatif'', défini combinatoirement, en les ordres de tangence, dès que ceux-ci sont assez grands. Nous décrivons une méthode pour calculer ces polynômes pour delta arbitraire, et l'utilisons pour présenter des formules explicites pour δ ≤ 6 . Nous donnons aussi un seuil pour la polynomialité, et calculons les premiers termes dominants pour tout δ .

New family of Whitney numbers

Filomat ◽  
2017 ◽  
Vol 31 (2) ◽  
pp. 309-320 ◽  
Author(s):  
B.S. El-Desouky ◽  
Nenad Cakic ◽  
F.A. Shiha
Keyword(s):  
Generating Functions ◽  
Recurrence Relations ◽  
Stirling Numbers ◽  
Explicit Formulas ◽  
Basic Properties ◽  
New Family ◽  
Whitney Numbers ◽  
Special Cases

In this paper we give a new family of numbers, called ??-Whitney numbers, which gives generalization of many types of Whitney numbers and Stirling numbers. Some basic properties of these numbers such as recurrence relations, explicit formulas and generating functions are given. Finally many interesting special cases are derived.

scholarly journals Liouville quantum gravity — holography, JT and matrices

2021 ◽  
Vol 2021 (1) ◽  
Author(s):  
Thomas G. Mertens ◽  
Gustavo J. Turiaci
Keyword(s):  
String Theory ◽  
Generating Functions ◽  
Preliminary Evidence ◽  
Quantum Deformation ◽  
Dilaton Gravity ◽  
Continuum Approach ◽  
Genus Zero ◽  
Explicit Formulas ◽  
Liouville Gravity ◽  
The Continuum

Abstract We study two-dimensional Liouville gravity and minimal string theory on spaces with fixed length boundaries. We find explicit formulas describing the gravitational dressing of bulk and boundary correlators in the disk. Their structure has a striking resemblance with observables in 2d BF (plus a boundary term), associated to a quantum deformation of SL(2, ℝ), a connection we develop in some detail. For the case of the (2, p) minimal string theory, we compare and match the results from the continuum approach with a matrix model calculation, and verify that in the large p limit the correlators match with Jackiw-Teitelboim gravity. We consider multi-boundary amplitudes that we write in terms of gluing bulk one-point functions using a quantum deformation of the Weil-Petersson volumes and gluing measures. Generating functions for genus zero Weil-Petersson volumes are derived, taking the large p limit. Finally, we present preliminary evidence that the bulk theory can be interpreted as a 2d dilaton gravity model with a sinh Φ dilaton potential.

Coordination sequences and layer-by-layer growth of periodic structures

2019 ◽  
Vol 234 (5) ◽  
pp. 291-299
Author(s):  
Anton Shutov ◽  
Andrey Maleev
Keyword(s):  
Generating Functions ◽  
Diophantine Equations ◽  
Periodic Structures ◽  
Layer Growth ◽  
Layer By Layer ◽  
Explicit Formulas ◽  
New Approach ◽  
Coordination Numbers ◽  
Linear Diophantine Equations ◽  
Recurrent Relations

Abstract A new approach to the problem of coordination sequences of periodic structures is proposed. It is based on the concept of layer-by-layer growth and on the study of geodesics in periodic graphs. We represent coordination numbers as sums of so called sector coordination numbers arising from the growth polygon of the graph. In each sector we obtain a canonical form of the geodesic chains and reduce the calculation of the sector coordination numbers to solution of the linear Diophantine equations. The approach is illustrated by the example of the 2-homogeneous kra graph. We obtain three alternative descriptions of the coordination sequences: explicit formulas, generating functions and recurrent relations.

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