Explicit higher-order schemes for molecular dynamics problems

Рассмотрены явные симплектические разностные схемы Рунге–Кутты–Нистрема (RKN) с числом стадий от 1 до 5 для численного решения задач молекулярной динамики, описываемых системами с распадающимися гамильтонианами. Для числа стадий 2 и 3 параметры RKN-схем получены с помощью техники базисов Гребнера. Для числа стадий 4 и 5 новые схемы най дены с применением метода численной оптимизации Нелдера–Мида. В частности, для числа стадий 4 получены четыре новые схемы. Для числа стадий 5 получены три новые схемы в дополнение к четырем схемам, известным в литературе. Для каждого конкретного числа стадий найдена схема, являющаяся наилучшей с точки зрения минимума ведущего члена погрешности аппроксимации. Верификация схем осуществлена на задаче, имеющей точное решение. Показано, что симплектическая пятистадийная RKN-схема обеспечивает более точное сохранение баланса полной энергии системы частиц, чем схемы более низких порядков точности. Исследования устойчивости схем выполнены с помощью программного пакета Mathematica. The Runge–Kutta–Nyström (RKN) explicit symplectic difference schemes are considered with a number of stages from 1 to 5 for the numerical solution of molecular dynamics problems described by systems with separable Hamiltonians. For the numbers of stages 2 and 3, the parameters of the RKN schemes are obtained using the Gröbner basis technique. For the number of stages 4 and 5, new schemes were found using the Nelder–Mead numerical optimization method. In particular, four new schemes are obtained for the number of stages 4. For the number of stages 5, three new schemes are obtained in addition to the four schemes, which are well-known in the literature. For each specific number of stages, a scheme is found being the best in terms of the minimum of the leading term of the approximation error. Verification of the schemes is carried out on a problem that has an exact solution. It is shown that the symplectic five-stage RKN scheme provides a more accurate conservation of the total energy balance of the particle system than schemes of lower orders of accuracy. The stability studies of the schemes were performed using the Mathematica software package.