Direct, inverse and mirror wave modes of coupled displacements and microrotations monochromatic plane waves in hemitropic micropolar media

В статье обсуждаются вопросы распространения монохроматических волн в гемитропном микрополярном континууме. Сформулированы уравнения динамики гемитропного микрополярного упругого тела в терминах псевдотензоров с 9-ю определяющими псевдоскалярами. Рассмотрены преобразования указанных уравнений в случаях инверсии пространства и зеркального отражения относительно заданной плоскости. Показано наличие инверсных волновых мод (наряду с прямыми) в распространяющейся плоской волне. Получены формулы преобразования прямых волновых мод перемещений и микровращений в инверсные и зеркально отраженные моды. Приводятся соответствующие формулы. The paper deals with the propagation of monochromatic plane waves in a hemitropic micropolar continuum. The dynamics equations of a hemitropic micropolar elastic solid in terms of pseudotensors with 9 constitutive pseudoscalars are derived and discussed. Formulae for the cases of space inversion and mirror reflection relative to a given plane are obtained and considered. The simultaneous existence of the direct, inverse and mirror reflected wave modes in propagating plane waves is established. Formulae for direct wave modes of displacements and microrotations in inverse and mirror modes are given.

On the theory of linear micropolar hemitropic media

В статье рассматриваются вопросы применения относительных тензоров при моделирвоании гемитропных микрополярных сред. Вводится определяющая форма микрополярного упругого потенциала. С помощью принципа виртуальной работы получаются определяющие уравнения для силовых и моментных характеристик микрополярного континуума в терминах относительных тензоров. Приводятся уравнения движения микрополярного континуума в терминах относительных тензоров. Выводится финальная форма динамических уравнений для перемещений и микровращений в случае полуизотропной (гемитропной) симметрии. The paper deals with the application of relative tensors to modeling hemitropic micropolar media. The latter is of crucial importance for biomechanics, mechanics of growing solids and mechanics of metamaterials. The constitutive form of the micropolar elastic potential is discussed. The basic equations of micropolar continuum are derived due to the principle of virtual displacements. Differential equations of the micropolar continuum are given in terms of relative tensors. The final form of dynamic equations for displacements and microrotations in the case of semi-isotropic (hemitropic) micropolar continuum is derived and discussed.

Metaharmonic potentials in mechanics of micropolar media

Рассматриваются дифференциальные уравнения для потенциалов перемещений и микровращений, замещающие связанные векторные дифференциальные уравнения линейной теории микрополярной упругости. Исследуются только гармонические зависимости от времени. Опираясь на представление векторов перемещений и микровращений с помощью четырех винтовых векторов, обеспечивающее выполнимость связанных векторных дифференциальных уравнений линейной теории микрополярной упругости, получены новые представления в терминах двух метагармонических векторных полей. Проблема нахождения вихревых составляющих перемещений и микровращений приводится к решению двух несвязанных между собой векторных метагармонических уравнений. Часто указанные уравнения могут быть решены разделением пространственных переменных. Поэтому полученные представления могут находить применение в прикладных задачах механики деформируемого твердого тела, связанных с распространением гармонических волн перемещений и микровращений, характеризующихся заданным азимутальным числом, вдоль длинных цилиндрических волноводов. The coupled vector differential equations of the linear theory of micropolar elasticity formulated in terms of displacements and micro-rotations are studied. A harmonic dependence of the physical fields on time is assumed. By employing the displacements and micro-rotations representation formula in the terms of four screw vectors a new representation based on two metaharmonic vectors are obtained. Thus the problem of determination of the vortex parts of the displacement and micro-rotation fields is reduced to solution of two uncoupled vector metaharmonic equations. The latter can be oftenly solved by the separation of variables technique. For this reason obtained results can be applied to various problems of the micropolar elasticity related to harmonic wave propagation in waveguides. In particular this is true for waves of a given azimuthal number in a long cylindrical waveguide.

Plane thermoelastic harmonic waves in hemitropic micropolar media

В работе рассматривается решение задачи о распространении плоской термоупругой гармонической волны в гемитропной микрополярной среде. Приводятся два варианта динамических уравнений гемитропного микрополярного континуума. Определены пространственные поляризации волн перемещений и микровращений относительно волнового вектора плоской волны. Обсуждается качественный характер возможных волновых решений уравнений связанной термоупругости. Отдельно рассматривается случай атермической волны. Вычисление волновых чисел приводится к исследованию одного кубического уравнения с вещественными коэффициентами. The paper is devoted to the problem of a plane thermoelastic harmonic wave propagation in hemitropic micropolar media. Two versions of the dynamic equations of the hemitropic micropolar continuum are presented. The spatial polarizations of the displacements and microrotations waves relative to the wave vector of a plane wave are determined. The characterictic features of possible wave solutions of the coupled thermoelasticity problems are discussed. The case of athermal waves is separately considered. Computation of wave numbers is reduced to the analysis of a cubic equation with real coefficients.

Compatibility of strong discontinuities in micropolar thermoelastic media. A pseudotensor formulation

В статье рассматривается процедура вывода условий совместности на поверхностях сильных разрывов в микрополярных термоупругих средах. Условия совместности сильных разрывов 4-тензора Пиолы-Кирхгофа и 4-тензора энергии-импульса выводятся из принципа наименьшего действия. Приведена определяющая форма микрополярного термоупругого потенциала для изотропных и гемитропных сред. Развиваемая псевдотензорная формулировка условий совместности сильных разрывов может быть применена при моделировании динамики изотропных и гемитропных микрополярных термоупругих сред. The paper deals with the regular procedures for deriving compatibility conditions on the surfaces of strong discontinuities in thermoelastic micropolar media. The jump conditions of the Piola-Kirchhoff 4-pseudotensor and the energy-momentum 4-pseudotensor are derived from the principle of least action. The compatibility conditions on the propagating strong discontinuity surface are explicitly formulated for a micropolar thermoelastic continuum. The developed pseudotensor formulation of the compatibility conditions for strong discontinuities can be applied to the dynamic problems for isotropic and hemitropic micropolar thermoelastic media.

Violations of the Clausius–Duhem inequality in Couette flows of granular media

Spontaneous violations of the Clausius–Duhem (CD) inequality in Couette-type collisional flows of model granular media are studied. Planar systems of monosized circular discs (with disc numbers from 10 to 204, and disc diameters from 0.001 m to 1 m) with frictional-Hookean contacts are simulated under periodic boundary conditions by a molecular dynamics. The scale-dependent homogenization of micropolar media is used to determine the energy balances and mechanical entropy production. The dissipation function exhibits spontaneous negative entropy increments described by the fluctuation theorem. The boundary between violations and non-violations of the CD inequality is mapped in the parameter space, where the probability of such events diminishes with the disc diameter, the disc number and the area fraction increasing. The dissipation function is a random process, tending to Gaussian as the number of discs increases, and possessing non-trivial fractal and anti-persistent Hurst properties.

On Dynamic Extension of a Local Material Symmetry Group for Micropolar Media

For micropolar media we present a new definition of the local material symmetry group considering invariant properties of the both kinetic energy and strain energy density under changes of a reference placement. Unlike simple (Cauchy) materials, micropolar media can be characterized through two kinematically independent fields, that are translation vector and orthogonal microrotation tensor. In other words, in micropolar continua we have six degrees of freedom (DOF) that are three DOFs for translations and three DOFs for rotations. So the corresponding kinetic energy density nontrivially depends on linear and angular velocity. Here we define the local material symmetry group as a set of ordered triples of tensors which keep both kinetic energy density and strain energy density unchanged during the related change of a reference placement. The triples were obtained using transformation rules of strain measures and microinertia tensors under replacement of a reference placement. From the physical point of view, the local material symmetry group consists of such density-preserving transformations of a reference placement, that cannot be experimentally detected. So the constitutive relations become invariant under such transformations. Knowing a priori a material’s symmetry, one can establish a simplified form of constitutive relations. In particular, the number of independent arguments in constitutive relations could be significantly reduced.

PSEUDOTENSOR FORMULATION OF THE MECHANICS OF HEMITROPIC MICROPOLAR MEDIA

The possibility of applications of relative tensors concepts to the mechanics of micropolar continuum and, in particular, for the hemitropic micropolar continua is considered. The fundamental tensors and orienting relative scalars in three-dimensional space are introduced. Permutation symbols and absolute Levi-Civita tensors are investigated in further details. Algebraic and differential properties of the relative tensors are discussed. The weights of the fundamental kinematic tensors are determined. The wryness tensor and the asymmetric strain tensor are constructed in terms of the vectors of micro-rotation and displacements. Notions of force and couple traction vectors, associated force and associated couple stress vector, force and couple stresses tensors are discussed in the frameworks of relative tensors algebra. The weights of the basic micropolar elasticity tensors are determined and discussed. The constitutive form of the micropolar elastic potential is introduced as an absolute scalar in order to obtain micropolar constitutive equations. In the linear case, the elastic potential is a quadratic form whose coefficients are pseudoscalars. The weights of the constitutive pseudoscalars are calculated. The dimensionless constitutive micropolar constants and constitutive constants with physical dimensions are discriminated. Statics and dynamics of micropolar elastic continua are developed in terms of relative tensors. Dynamic equations involving displacements and microrotations in the case of semi-isotropic (hemitropic) symmetry are derived and represented by the pseudotensor technique. The paper can be considered as a script of fundamental formulas and concepts related to the algebra and differentiation of relative tensors of arbitrary rank.