Alguns saberes docentes adquiridos em uma discussão sobre a medição de profundidade com o báculo de Petrus Ramus

O professor de Matemática, ao longo de seu ofício, necessita estar sempre se atualizando em relação a outros tipos de conhecimentos existentes, de forma a adquiri-los para algum auxílio em sala de aula. Um dos motivos, para isso, deve-se à exigência das instituições educacionais, requisitando, cada vez mais, profissionais qualificados e aptos a ensinar. Alguns desses saberes podem ser obtidos e mobilizados na universidade, em particular, a partir de vivências práticas, por meio de atividades extracurriculares. Nesse sentido, nosso intuito é relacionar alguns saberes docentes com os conhecimentos obtidos por professores em formação inicial, em um minicurso de extensão universitária, que explorou o procedimento de medição de profundidade com o báculo de Petrus Ramus, sob a perspectiva da historiografia atualizada. Tal abordagem teve um alicerce na interface entre história e ensino de Matemática, que nos orientou no tratamento didático de um documento histórico para a elaboração do minicurso. Assim, nossa experiência se configura como um estudo aplicado com caráter qualitativo-descritivo, que, por meio do levantamento de um questionário eletrônico, permitiu-nos ter uma noção acerca das contribuições do curso para os participantes. À vista disso, foram elencadas, pelos cursistas, algumas concepções sobre os conhecimentos que não se tinha antes da vivência, mas que foram adquiridos depois. Entre eles, os saberes relacionados à prática docente, relevantes para a formação de professores. Dessa forma, podemos concluir, com a experiência do minicurso, que a situação de medição pode articular múltiplos saberes de ordem prática, matemática, epistemológica, tornando o processo de ensino e aprendizagem mais integrado aos docentes. Palavras-chave: Formação inicial do professor de Matemática; Prática docente; Vivência universitária; Báculo de Petrus Ramus.

Jean Morély’s Assault on Calvinist Ecclesiology

In 1562, Jean Morély published a book that advocated local control over the Reformed churches and challenged the Calvinists’ ideas about religious authority. The Calvinists had established a presbyterian-synodal model, which placed religious authority in the hands of the pastors, consistories, and national synods. Morély argued that such authority should lie instead with the membership of each local church. Morély attracted followers in the Paris and Orléans regions, and other churches around France adopted practices he recommended. Morély was supported initially by Odet and Gaspard de Coligny, and Jeanne d’Albret hired him as tutor to the future King Henri IV. Beza and Antoine de Chandieu worked hard to stop Morély, but he continued to attract followers, including Petrus Ramus. After St. Bartholomew’s Day, Pierre Charpentier published a book that identified several “God-fearing ministers,” many of whom were associated with Morély, who detested the Beza and the Calvinists.

Petrus Ramus and Ramism

Petrus Ramus was considered a controversial professor in Paris in the middle of the 16th century, and he remains so among scholars today. He is mostly considered to have been an unimportant philosopher, yet his ideas about how philosophy should be understood, and how it consequently should be taught and, most importantly, to what benefit it should be undertaken, had an enormous impact on northern Europe and New England in the Early Modern period. Ramus was born in 1515 in the north of France. He came from a noble but destitute family. Ramus spent his youth in hardship before he secured the opportunity to study in Paris. He later adopted as a motto the words of Virgil “labor improbus omnia vincit,” i.e., insatiable work overcomes everything, which reflected his pride in his ability to surmount his difficulties and obtain a masters of arts degree in 1536. Ramus won a reputation for criticizing deficiencies in the curriculum and the teaching at the university as well as for blaming Scholasticism for it. His ideas on how to reform education were not appreciated by most of his colleagues, and he was for a time banned from teaching. Modern scholars of Ramism are divided between those who think that Ramus’s departure from the Aristotelian tradition stemmed from a Platonic ontological outlook, which he never abandoned, and those who thought that his childhood’s hardship engendered in him a striving for a new and shorter educational program, one that led him to abandon the traditional Scholasticism. One argument for the latter explanation is that it easily explains all the variations found in his system of textbooks. In 1551 he was appointed to a royal professorship through which he succeeded in distancing himself from the university. And ten years later he took a further step away from scholarly circles when he converted to the Reformed faith. As a Huguenot, he lost the support of the Roman Catholic Church. Eventually he left Paris and spent time in Germany and Switzerland. He tried, although he failed, to obtain a chair in Heidelberg and in Strasbourg. In 1570 he returned to Paris and to his royal professorship, but still without the right to teach at the university. Ramus was assassinated in the immediate wake of the St. Bartholomew’s Day massacres in 1572, and for many Protestants he became a martyr.

O O báculo de Petrus Ramus e seu uso para medição de profundidade

A história da matemática oferece diversos recursos didáticos e estratégias para o ensino de matemática, contribuindo para a construção do conhecimento matemático. Dentre esses recursos disponíveis, destacam-se os instrumentos matemáticos contidos em antigos tratados, em particular, os situados nos séculos XVI e XVII. O Via Regia ad Geometriam é um desses textos, que foi publicado na língua latina em 1569, pelo francês Petrus Ramus, traduzido para o inglês e publicado por William Bedwell, em 1636. Esse documento, que trata da “arte de medir bem”, traz um instrumento utilizado por agrimensores da época, denominado de báculo. A descrição da fabricação e de diferentes situações de uso do báculo, para medição de distâncias (comprimentos) e alturas, é apresentado no capítulo nove do tratado. Em vista disso, o presente artigo tem a finalidade de apresentar os conhecimentos matemáticos com base em uma situação proposta por Petrus Ramus, para o uso de seu báculo, relacionada à medição de profundidade. Assim, utilizou-se uma metodologia qualitativa documental, a partir da tradução, compreensão (histórica e matemática) e discussão do excerto, que direcionaram a buscar potencialidades didáticas do uso do báculo para essa situação. No decorrer do estudo, percebeu-se que, para essa situação específica, o autor nomeia a profundidade de altura reversa (Eversa altitudo), ou seja, ele a considera como uma altura abaixo do solo, voltada para medição de poços, buracos fundos e rios. Com relação aos conceitos matemáticos advindos da aplicação dessa situação, percebe-se que perpendicularidade, paralelismo, propriedades do triângulo retângulo, semelhança de triângulos, dentre outros, são utilizados no manuseio do báculo e que ambos podem ser direcionados ao desenvolvimento de algumas habilidades da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) no Ensino Fundamental. Entretanto, considera-se que, após uma medição real de uma profundidade, por meio do instrumento, outros conceitos podem ser percebidos e agregados às potencialidades didáticas, visando, assim, estabelecer uma articulação entre a história e o ensino de matemática.

O O LEGADO DE PETRUS RAMUS E O TRATADO VIA REGIA AD GEOMETRIAM

Entre meados dos séculos XVI e XVII, se proliferou uma rica literatura dedicada a geometria prática que impulsionou a produção de tratados para auxiliar nos procedimentos manuais, executados pelos trabalhadores do período. Nesse contexto, o tratado Via regia ad geometriam, escrito e publicado originalmente na Suíça em 1596 pelo francês Petrus Ramus (1515 – 1572), passando a ganhar notoriedade como um dos documentos mais disseminados pela impressa medieval. O exemplar trazia consigo uma organização diferencial dos conhecimentos matemáticos existentes em sua época, que são incorporados em algumas maneiras de medir áreas de superfícies, volume de sólidos, junto ao cálculo de distâncias, tais como comprimento, altura e largura. Desta forma, o artigo tem o intuito de apresentar uma descrição sobre o tratado em questão, destacando alguns elementos matemáticos presentes em seu corpo, junto a uma breve biografia do autor, com suas principais obras e seus preceitos. Ao desenvolver o estudo, utilizou-se uma metodologia bibliográfica-descritiva, com cunho qualitativo, a partir da leitura de livros e artigos que versam sobre a temática estudada, a fim de recolher informações consistentes. No decorrer da pesquisa, observou-se um desenvolvimento sistemático no tratado de Petrus Ramus sobre os elementos matemáticos, sendo descrito em um dos capítulos, o instrumento intitulado por báculo que auxiliava nos procedimentos de medição, por meios desses componentes. Assim, concluiu-se que o documento histórico em questão, contribuiu de forma sucinta ao fornecer subsídios de mensuração para algumas profissões, visto que, era uma das principais atividades desenvolvidas no meio rural e urbano, bastando ter noções sobre as matemáticas do período para utilizá-lo.

INTERFACES ENTRE HISTORIA DE MATEMÁTICAS Y ENSEÑANZA A TRAVÉS DE ANTIGUOS INSTRUMENTOS MATEMÁTICOS: UNA EXPERIENCIA EN LA INVESTIGACIÓN ACADÉMICA

Los estudios que cubren la relación entre Historia y Educación Matemática han suscitado varios debates, entre ellos, sus diferentes perspectivas pedagógicas y didácticas vinculadas a las posibles formas de abordarlas en el aula. Los vínculos entre historia, enseñanza y aprendizaje pueden ofrecer recursos que reflejarán directamente la forma de concebir ciertos conceptos matemáticos. Entre algunas posibilidades, consideramos que el estudio de los aspectos teóricos y prácticos del conocimiento y los procedimientos involucrados en la construcción y uso de instrumentos matemáticos antiguos puede llevar al estudiante a comprender no solo el proceso de producción de conocimiento, sino también la formulación de conceptos matemáticos. Así, basado en una perspectiva historiográfica actualizada, este artículo es el resultado de la pasantía postdoctoral relacionada con el proyecto "Construcción de interfaces entre la historia de las matemáticas y la enseñanza a través de instrumentos matemáticos antiguos para la elaboración de una propuesta didáctico-pedagógica dirigida a la enseñanza de conceptos matemáticos en educación básica ”, que tenía como objetivo principal investigar el instrumento científico en la articulación entre la historia de las matemáticas y la enseñanza con el fin de debatir y reflexionar, así como investigar, sobre las potencialidades didácticas de un antiguo instrumento matemático. Con este fin, proponemos presentar un informe centrado en la investigación, la experiencia docente y las propuestas teóricas desarrolladas en la pasantía postdoctoral en la Pontificia Universidad Católica de São Paulo (PUCSP) en el Programa de Estudios de Postgrado en Educación Matemática supervisado por el Prof. Dr. Fumikazu.Palabras clave: Interfaz entre la historia y la enseñanza de las matemáticas. Instrumentos matemáticos. Petrus Ramus personal. INTERFACES BETWEEN HISTORY OF MATHEMATICS AND TEACHING THROUGH OLD MATHEMATICAL INSTRUMENTS: AN EXPERIENCE IN ACADEMIC RESEARCH AbstractStudies covering the relation between History and Mathematical Education have raised several debates, among them, their different pedagogical and didactic perspectives linked to the possible ways of approach in the classroom. The articulations between history, teaching, and learning can offer means that will reflect directly on how certain mathematical concepts are conceived. Among some possibilities, we consider that the study of theoretical and practical aspects of knowledge and procedures involved in the construction and use of old mathematical instruments may lead the student to understand not only the process of production of knowledge, but also the formulation of mathematical concepts. Thus, based on an updated historiographical perspective, this article is the result of the postdoctoral training course concerning the project “Building Interfaces between the History of Mathematics and Teaching through Old Mathematical Instruments for the Development of a Didactic-Pedagogical Proposal Teaching Mathematical Concepts in Basic Education ”whose main objective was to investigate the scientific instrument in the articulation between the history of Mathematics and teaching in order to discuss and reflect, as well as to investigate, the didactic potentialities of an ancient mathematical instrument. To this end, we propose to present a report focusing on research, teaching experience and theoretical propositions developed in the postdoctoral internship at the Pontifical Catholic University of São Paulo (PUCSP) in the Program of Postgraduate Studies in Mathematical Education supervised by Prof. Dr. Fumikazu.Keywords: Interface between history and math education. Mathematical instruments. Baculum of Petrus Ramus. INTERFACES ENTRE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E ENSINO POR MEIO DE ANTIGOS INSTRUMENTOS MATEMÁTICOS: UMA EXPERIÊNCIA EM PESQUISA ACADÊMICA ResumoEstudos abrangendo as relações entre História e Educação Matemática vêm levantando diversos debates, dentre eles, suas diferentes perspectivas pedagógicas e didáticas ligadas aos possíveis caminhos de abordagem em sala de aula. As articulações entre história, ensino e aprendizagem podem oferecer recursos que irão refletir diretamente no modo de conceber certos conceitos matemáticos. Dentre algumas possibilidades, consideramos que o estudo de aspectos teóricos e práticos dos conhecimentos e dos procedimentos implicados na construção e no uso de antigos instrumentos matemáticos pode levar o discente compreender não só o processo da produção do saber, mas também da formulação de conceitos matemáticos. Dessa forma, baseado em uma perspectiva historiográfica atualizada, este artigo é resultado do estágio de pós-doutorado referente ao projeto “Construção de interfaces entre história da matemática e ensino por meio de antigos instrumentos matemáticos para a elaboração de uma proposta didático-pedagógica voltada para o ensino de conceitos matemáticos na educação básica” que tinha como objetivo principal investigar o instrumento científico na articulação entre história da Matemática e ensino com vistas a discutir e refletir, bem como investigar, sobre as potencialidades didáticas de um instrumento matemático antigo. Para tanto, propomos aqui apresentar um relato enfocando a pesquisa, experiência docente e proposições teóricas desenvolvidas no estágio pós-doutoral na Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUCSP) no Programa de Estudos Pós Graduados em Educação Matemática supervisionado pelo Prof. Dr. Fumikazu.Palavras-chave: Interface entre história e ensino de matemática. Instrumentos matemáticos. Báculo de Petrus Ramus.

La trasmissione dell’'ars dialectica' tra i secoli XV e XVI: Lorenzo Valla e Pierre de la Ramée

This essay addresses the theme of the transmission of knowledge starting from the process of traslatio studiorum. Such phenomenon – which occurred between the ancient Greece and occidental Europe since the medieval period – was intended as the triggering phenomenon of a whole series of transmission processes, persisted untill the Renaissance. It is my intention to propose a double riding, considering the Mediterranean area as a transient space, where different current of thoughts have been screened by speculative and linguistical filters, represented by the overlapping of commentators and translators. On first place, I intend to identify this phenomenon of knowledge's transmission, understood as transcultural process, taken in his historical connotation, that is as a process that commutes from one century to another. Secondly, considering the Arabic intervention concerning the translation and comment of Aristotelian auctoritates, I would like to analyze the delicate process of transmission and contamination between different systems of thought. Within these coordinates, it is my intention to focus on the contact between two systems of thought that applied such approaches in the Dialectic field, namely Lorenzo Valla's and Pierre de la Ramée's, better known as Petrus Ramus. I will take the cases of Valla and Ramus as examples of this phenomenon of translation: first, in the historical sense, since there is a shift of approach from century to century; secondly, in a geographical sense that affects the Mediterranean area, as both Valla and Ramus dealth with the linguistic problems linked to dialectic received from the Arabic heritage. I argue that these speculative currents might have come into contact, first, as the product of a long process of translatio studiorum, and then, as heirs of a tradition that had been influenced by the transmissions that had taken place in the Mediterranean. In conclusion, the purpose of this note is to show the preliminary and little debated issue of the possible contact between two paradigms of thought which justified a change in the approach of the study of Dialectic between the major Italian centers of knowledge of the XV century and XVI century Paris. This creates the space for some hints of acclimatization of Valla's dialectic at the Ramus paradigm, thanks to the shifting of attention from the perfectly solid linguistic practice in Valla's logical philological method to the correct procedures of reasoning that were completely detached from the metaphysics dimension and projected towards the institution of the Methodus.

Lex secundum quam disponuntur omnia: Trichotomic Trees in Jan AmosKomenský’s Pansophical Metaphysics and Metaphorics

The goal of this article is to detail the opposition to “Ramean tree” dichotomic divisions which emerged in the age of swelling Antitrinitarianism, especially Socinianism. Scholars such as Bartholomaeus Keckermann, Jan Amos Komenský and Richard Baxter made a point of preferring the trichotomic to the dichotomic division of Petrus Ramus and the Ramist tradition. This paper tracks the origin of Komenský’s “universal triadism” as present in his book metaphorics and in his metaphysics. Komenský’s triadic book metaphorics (the notion of nature, human mind and Scripture as “the triple book of God”) has its source in late sixteenth-century Lutheran mysticism and theosophy, mediated perhaps by Heinrich Khunrath and, above all, by Johann Heinrich Alsted. Komenský’s metaphysics follows the same triadic pattern. What is more, Komenský illustrates both these domains by means of Ramist-like bracketed trees; regarding book metaphorics, clearly his sources are Khunrath and Alsted. Although inspirations from Lullus, Sabundus and Nicholas of Cusa are most probably involved, the crucial role has to be ascribed to the influence of Lutheran mysticism and Alsted’s “Lullo-Ramism.”

Os conceitos de perpendicularidade e de paralelismo mobilizados em uma atividade com o uso do báculo (1636) de Petrus RamusThe concept of perpendicularity and parallelism mobilized in an activity with the use of the baculum (1636) of Petrus Ramus

Neste artigo apresentamos alguns resultados preliminares de uma atividade que envolveu o uso de um instrumento denominado "báculo", descrito por Petrus Ramus (1515-1572) em sua obra intitulada Via regia ad geometriam – The Way of Geometry, que fora traduzida para o inglês e publicada por William Bedwell (1561-1632) em 1636, em Londres. A proposta aqui delineada teve por objetivo construir uma interface entre história e ensino, valorizando condicionantes manipulativos, com vistas a elencar algumas potencialidades didáticas do báculo de Ramus. Para tanto, foi proposta uma atividade que buscou explorar algumas propriedades geométricas deste instrumento de modo a mapear um conjunto de ações implicado no processo de medição. A atividade, que foi realizada com um grupo de professores em formação inicial e continuada, revelou ações que fazem reconhecer e ressignificar conceitos matemáticos bem elementares, em particular, os de paralelismo e de perpendicularidade.