scholarly journals Fan realizations of type $A$ subword complexes and multi-associahedra of rank 3

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Nantel Bergeron ◽  
Cesar Ceballos ◽  
Jean-Philippe Labbé
Keyword(s):  
Coxeter Groups ◽  
Type A ◽  
Nous Obtenons ◽  
Open Case ◽  
International Audience ◽  
Paper Work ◽  
Subword Complex

International audience We present complete simplicial fan realizations of any spherical subword complex of type $A_n$ for $n\leq 3$. This provides complete simplicial fan realizations of simplicial multi-associahedra $\Delta_{2k+4,k}$, whose facets are in correspondence with $k$-triangulations of a convex $(2k+4)$-gon. This solves the first open case of the problem of finding fan realizations where polytopality is not known. The techniques presented in this paper work for all finite Coxeter groups and we hope that they will be useful to construct fans realizing subword complexes in general. In particular, we present fan realizations of two previously unknown cases of subword complexes of type $A_4$, namely the multi-associahedra $\Delta_{9,2}$ and $\Delta_{11,3}$. Nous construisons des éventails simpliciaux complets ayant la combinatoire des complexes de sous-mots de type $A_n$ pour $n\leq 3$. Par conséquent, nous obtenons des constructions d’éventails des multi-associaèdres $\Delta_{2k+4,k}$, dont les facettes correspondent aux $k$-triangulations d’un $(2k+4)$-gone. Cette construction confirme l’existence d’éventails ayant la combinatoire du multi-associaèdres pour une famille dont la polytopalité n’est pas confirmée. Les techniques utilisées fonctionnent pour tous les groupes de Coxeter et nous espérons qu’elles seront utiles afin de construire des éventails réalisant les complexes de sous-mots en général. En particulier, nous présentons des éventails pour deux complexes de sous-mots de type $A_4$ dont l’existence était inconnue: les multi-associaèdres $\Delta_{9,2}$ et $\Delta_{11,3}$.

scholarly journals Multi-cluster complexes

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Cesar Ceballos ◽  
Jean-Philippe Labbé ◽  
Christian Stump
Keyword(s):  
Coxeter Groups ◽  
Type A ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Cluster Complex ◽  
Geometric Properties ◽  
Cluster Complexes ◽  
Combinatorial Description ◽  
Compatibility Relation ◽  
Positive Roots ◽  
International Audience

International audience We present a family of simplicial complexes called \emphmulti-cluster complexes. These complexes generalize the concept of cluster complexes, and extend the notion of multi-associahedra of types ${A}$ and ${B}$ to general finite Coxeter groups. We study combinatorial and geometric properties of these objects and, in particular, provide a simple combinatorial description of the compatibility relation among the set of almost positive roots in the cluster complex. Nous présentons une famille de complexes simpliciaux appelés \emphcomplexes des multi-amas. Ces complexes généralisent le concept de complexes des amas et étendent la notion de multi-associaèdre de type ${A}$ et ${B}$ aux groupes de Coxeter finis. Nous étudions des propriétés combinatoires et géométriques de ces objets et, en particulier nous fournissons une description combinatoire simple de la relation de compatibilité sur l'ensemble des racines presque positives du complexe des amas.

scholarly journals $0$-Hecke algebra action on the Stanley-Reisner ring of the Boolean algebra

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jia Huang
Keyword(s):  
Boolean Algebra ◽  
Symmetric Functions ◽  
Hecke Algebra ◽  
Type A ◽  
Quasisymmetric Function ◽  
Permutation Statistics ◽  
Nous Obtenons ◽  
Noncommutative Symmetric Functions ◽  
International Audience ◽  
Cette Action

International audience We define an action of the $0$-Hecke algebra of type A on the Stanley-Reisner ring of the Boolean algebra. By studying this action we obtain a family of multivariate noncommutative symmetric functions, which specialize to the noncommutative Hall-Littlewood symmetric functions and their $(q,t)$-analogues introduced by Bergeron and Zabrocki. We also obtain multivariate quasisymmetric function identities, which specialize to a result of Garsia and Gessel on the generating function of the joint distribution of five permutation statistics. Nous définissons une action de l’algèbre de Hecke-$0$ de type A sur l’anneau Stanley-Reisner de l’algèbre de Boole. En étudiant cette action, on obtient une famille de fonctions symétriques non commutatives multivariées, qui se spécialisent pour les non commutatives fonctions de Hall-Littlewood symétriques et leur $(q,t)$-analogues introduits par Bergeron et Zabrocki. Nous obtenons également des identités de fonction quasisymmetrique multivariées, qui se spécialisent à la suite de Garsia et Gessel sur la fonction génératrice de la distribution conjointe de cinq statistiques de permutation.

scholarly journals The ABC's of affine Grassmannians and Hall-Littlewood polynomials

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Avinash J. Dalal ◽  
Jennifer Morse
Keyword(s):  
Schur Functions ◽  
Type A ◽  
Combinatorial Formula ◽  
Transition Matrices ◽  
Nous Obtenons ◽  
Affine Grassmannians ◽  
Littlewood Polynomials ◽  
International Audience ◽  
Schubert Classes ◽  
Affine Type

International audience We give a new description of the Pieri rule for $k$-Schur functions using the Bruhat order on the affine type-$A$ Weyl group. In doing so, we prove a new combinatorial formula for representatives of the Schubert classes for the cohomology of affine Grassmannians. We show how new combinatorics involved in our formulas gives the Kostka-Foulkes polynomials and discuss how this can be applied to study the transition matrices between Hall-Littlewood and $k$-Schur functions. Nous présentons une nouvelle description, issue de l'ordre de Bruhat du groupe de Weyl affine de type $A$, de la règle de Pieri pour les fonctions $k$-Schur. Ce faisant, nous obtenons une nouvelle formule combinatoire pour les représentants des classes de Schubert de la cohomologie des Grassmannienne affines. Nous décrivons aussi comment notre approche permet d'obtenir les polynômes de Kostka-Foulkes et comment elle peut être appliquée à l’étude des matrices de transition entre les polynômes de Hall-Littlewood et les fonctions $k$-Schur.

scholarly journals Deodhar Elements in Kazhdan-Lusztig Theory

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Brant Jones
Keyword(s):  
Coxeter Groups ◽  
Pattern Avoidance ◽  
Weyl Groups ◽  
Schubert Varieties ◽  
Combinatorial Formula ◽  
Nous Obtenons ◽  
Integer Coefficients ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Lusztig Polynomials

International audience The Kazhdan-Lusztig polynomials for finite Weyl groups arise in representation theory as well as the geometry of Schubert varieties. It was proved very soon after their introduction that they have nonnegative integer coefficients, but no simple all positive interpretation for them is known in general. Deodhar has given a framework, which generally involves recursion, to express the Kazhdan-Lusztig polynomials in a very attractive form. We use a new kind of pattern-avoidance that can be defined for general Coxeter groups to characterize when Deodhar's algorithm yields a non-recursive combinatorial formula for Kazhdan-Lusztig polynomials $P_{x,w}(q)$ of finite Weyl groups. This generalizes results of Billey-Warrington which identified the $321$-hexagon-avoiding permutations, and Fan-Green which identified the fully-tight Coxeter groups. We also show that the leading coefficient known as $\mu (x,w)$ for these Kazhdan―Lusztig polynomials is always either $0$ or $1$. Finally, we generalize the simple combinatorial formula for the Kazhdan―Lusztig polynomials of the $321$-hexagon-avoiding permutations to the case when $w$ is hexagon avoiding and maximally clustered. Les polynômes de Kazhdan-Lusztig $P_{x,w}(q)$ des groupes de Weyl finis apparaissent en théorie des représentations, ainsi qu’en géométrie des variétés de Schubert. Il a été démontré peu après leur introduction qu’ils avaient des coefficients entiers positifs, mais on ne connaît toujours pas d’interprétation combinatoire simple de cette propriété dans le cas général. Deodhar a proposé un cadre donnant un algorithme, en général récursif, calculant des formules attractives pour les polynômes de Kazhdan-Lusztig. Billey-Warrington ont démontré que cet algorithme est non récursif lorsque$w$ évite les hexagones et les $321$ et qu’il donne des formules combinatoires simples. Nous introduisons une notion d’évitement de schémas dansles groupes de Coxeter quelconques nous permettant de généraliser les résultats de Billey-Warrington à tout groupe de Weyl fini. Nous montrons que le coefficient de tête $\mu (x,w)$ de ces polynômes de Kazhdan-Lusztig est toujours $0$ ou $1$. Cela généralise aussi des résultats de Fan-Greenqui identifient les groupes de Coxeter complètement serrés. Enfin, en type $A$, nous obtenons une classe plus large de permutations évitant la récursion.

scholarly journals Gallery Posets of Supersolvable Arrangements

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Thomas McConville
Keyword(s):  
Homotopy Type ◽  
Coxeter Groups ◽  
Hyperplane Arrangement ◽  
Type A ◽  
Homotopy Equivalent ◽  
Hasse Diagram ◽  
Arrangement Of Hyperplanes ◽  
International Audience ◽  
Supersolvable Arrangement ◽  
Reduced Words

International audience We introduce a poset structure on the reduced galleries in a supersolvable arrangement of hyperplanes. In particular, for Coxeter groups of type A or B, we construct a poset of reduced words for the longest element whose Hasse diagram is the graph of reduced words. Using Rambau's Suspension Lemma, we show that these posets are homotopy equivalent to spheres. We furthermore conjecture that its intervals are either homotopy equivalent to spheres or are contractible. One may view this as a analogue of a result of Edelman and Walker on the homotopy type of intervals of a poset of chambers of a hyperplane arrangement.

scholarly journals How to get the weak order out of a digraph ?

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Francois Viard
Keyword(s):  
Wreath Product ◽  
Symmetric Function ◽  
Coxeter Groups ◽  
Symmetric Functions ◽  
Weak Order ◽  
Möbius Function ◽  
Mobius Function ◽  
Acyclic Digraph ◽  
International Audience

International audience We construct a poset from a simple acyclic digraph together with a valuation on its vertices, and we compute the values of its Möbius function. We show that the weak order on Coxeter groups $A$<sub>$n-1$</sub>, $B$<sub>$n$</sub>, $Ã$<sub>$n$</sub>, and the flag weak order on the wreath product &#8484;<sub>$r$</sub> &#8768; $S$<sub>$n$</sub> introduced by Adin, Brenti and Roichman (2012), are special instances of our construction. We conclude by briefly explaining how to use our work to define quasi-symmetric functions, with a special emphasis on the $A$<sub>$n-1$</sub> case, in which case we obtain the classical Stanley symmetric function. On construit une famille d’ensembles ordonnés à partir d’un graphe orienté, simple et acyclique munit d’une valuation sur ses sommets, puis on calcule les valeurs de leur fonction de Möbius respective. On montre que l’ordre faible sur les groupes de Coxeter $A$<sub>$n-1$</sub>, $B$<sub>$n$</sub>, $Ã$<sub>$n$</sub>, ainsi qu’une variante de l’ordre faible sur les produits en couronne &#8484;<sub>$r$</sub> &#8768; $S$<sub>$n$</sub> introduit par Adin, Brenti et Roichman (2012), sont des cas particuliers de cette construction. On conclura en expliquant brièvement comment ce travail peut-être utilisé pour définir des fonction quasi-symétriques, en insistant sur l’exemple de l’ordre faible sur $A$<sub>$n-1$</sub> où l’on obtient les séries de Stanley classiques.

scholarly journals Enumerating alternating tree families

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Markus Kuba ◽  
Alois Panholzer
Keyword(s):  
Nous Obtenons ◽  
Asymptotic Results ◽  
Root Node ◽  
Ordered Trees ◽  
Exponential Generating Function ◽  
Random Node ◽  
Enumeration Problems ◽  
International Audience ◽  
Nous Examinons ◽  
Labelled Trees

International audience We study two enumeration problems for $\textit{up-down alternating trees}$, i.e., rooted labelled trees $T$, where the labels $ v_1, v_2, v_3, \ldots$ on every path starting at the root of $T$ satisfy $v_1 < v_2 > v_3 < v_4 > \cdots$. First we consider various tree families of interest in combinatorics (such as unordered, ordered, $d$-ary and Motzkin trees) and study the number $T_n$ of different up-down alternating labelled trees of size $n$. We obtain for all tree families considered an implicit characterization of the exponential generating function $T(z)$ leading to asymptotic results of the coefficients $T_n$ for various tree families. Second we consider the particular family of up-down alternating labelled ordered trees and study the influence of such an alternating labelling to the average shape of the trees by analyzing the parameters $\textit{label of the root node}$, $\textit{degree of the root node}$ and $\textit{depth of a random node}$ in a random tree of size $n$. This leads to exact enumeration results and limiting distribution results. Nous étudions deux problèmes de dénombrement d'$\textit{arbres alternés haut-bas}$ : par définition, ce sont des arbres munis d'une racine et tels que, pour tout chemin partant de la racine, les valeurs $v_1,v_2,v_3,\ldots$ associées aux nœuds du chemin satisfont la chaîne d'inégalités $v_1 < v_2 > v_3 < v_4 > \cdots$. D'une part, nous considérons diverses familles d'arbres intéressantes du point de vue de l'analyse combinatoire (comme les arbres de Motzkin, les arbres non ordonnés, ordonnés et $d$-aires) et nous étudions pour chaque famille le nombre total $T_n$ d'arbres alternés haut-bas de taille $n$. Nous obtenons pour toutes les familles d'arbres considérées une caractérisation implicite de la fonction génératrice exponentielle $T(z)$. Cette caractérisation nous renseigne sur le comportement asymptotique des coefficients $T_n$ de plusieurs familles d'arbres. D'autre part, nous examinons le cas particulier de la famille des arbres ordonnés : nous étudions l'influence de l'étiquetage alterné haut-bas sur l'allure générale de ces arbres en analysant trois paramètres dans un arbre aléatoire (valeur de la racine, degré de la racine et profondeur d'un nœud aléatoire). Nous obtenons alors des résultats en terme de distribution limite, mais aussi de dénombrement exact.

scholarly journals Word equations in a uniquely divisible group

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Christopher J. Hillar ◽  
Lionel Levine ◽  
Darren Rhea
Keyword(s):  
Positive Integer ◽  
Complete Classification ◽  
Irreducible Factor ◽  
Nous Obtenons ◽  
Nous Pensons ◽  
Word Equation ◽  
Nous Montrons ◽  
Finite Word ◽  
Word Equations ◽  
International Audience

International audience We study equations in groups $G$ with unique $m$-th roots for each positive integer $m$. A word equation in two letters is an expression of the form$ w(X,A) = B$, where $w$ is a finite word in the alphabet ${X,A}$. We think of $A,B ∈G$ as fixed coefficients, and $X ∈G$ as the unknown. Certain word equations, such as $XAXAX=B$, have solutions in terms of radicals: $X = A^-1/2(A^1/2BA^1/2)^1/3A^-1/2$, while others such as $X^2 A X = B$ do not. We obtain the first known infinite families of word equations not solvable by radicals, and conjecture a complete classification. To a word w we associate a polynomial $P_w ∈ℤ[x,y]$ in two commuting variables, which factors whenever $w$ is a composition of smaller words. We prove that if $P_w(x^2,y^2)$ has an absolutely irreducible factor in $ℤ[x,y]$, then the equation $w(X,A)=B$ is not solvable in terms of radicals. Nous étudions des équations dans les groupes $G$ avec les $m$-th racines uniques pour chaque nombre entier positif m. Une équation de mot dans deux lettres est une expression de la forme $w(X, A) = B$, où $w$ est un mot fini dans l'alphabet ${X, A}$. Nous pensons $A, B ∈G$ en tant que coefficients fixes, et $X ∈G$ en tant que inconnu. Certaines équations de mot, telles que $XAXAX=B$, ont des solutions en termes de radicaux: $X = A^-1/2(A^1/2BA^1/2)^1/3A^-1/2$, alors que d'autres tel que $X^2 A X = B$ ne font pas. Nous obtenons les familles infinies d'abord connues des équations de mot non solubles par des radicaux, et conjecturons une classification complété. Á un mot $w$ nous associons un polynôme $P_w ∈ℤ[x, y]$ dans deux variables de permutation, qui factorise toutes les fois que $w$ est une composition de plus petits mots. Nous montrons que si $P_w(x^2, y^2)$ a un facteur absolument irréductible dans $ℤ[x, y]$, alors l'équation $w(X, A)=B$ n'est pas soluble en termes de radicaux.

scholarly journals Constellations and multicontinued fractions: application to Eulerian triangulations

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Marie Albenque ◽  
Jérémie Bouttier
Keyword(s):  
Generating Function ◽  
Nous Obtenons ◽  
Hankel Determinants ◽  
Combinatorial Derivation ◽  
International Audience ◽  
Comme Application

International audience We consider the problem of enumerating planar constellations with two points at a prescribed distance. Our approach relies on a combinatorial correspondence between this family of constellations and the simpler family of rooted constellations, which we may formulate algebraically in terms of multicontinued fractions and generalized Hankel determinants. As an application, we provide a combinatorial derivation of the generating function of Eulerian triangulations with two points at a prescribed distance. Nous considérons le problème du comptage des constellations planaires à deux points marqués à distance donnée. Notre approche repose sur une correspondance combinatoire entre cette famille de constellations et celle, plus simple, des constellations enracinées. La correspondance peut être reformulée algébriquement en termes de fractions multicontinues et de déterminants de Hankel généralisés. Comme application, nous obtenons par une preuve combinatoire la série génératrice des triangulations eulériennes à deux points marqués à distance donnée.

scholarly journals Linear coefficients of Kerov's polynomials: bijective proof and refinement of Zagier's result

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Valentin Féray ◽  
Ekaterina A. Vassilieva
Keyword(s):  
Stirling Numbers ◽  
Algebraic Methods ◽  
Combinatorial Proof ◽  
Nous Obtenons ◽  
Long Cycle ◽  
Bijective Proof ◽  
International Audience

International audience We look at the number of permutations $\beta$ of $[N]$ with $m$ cycles such that $(1 2 \ldots N) \beta^{-1}$ is a long cycle. These numbers appear as coefficients of linear monomials in Kerov's and Stanley's character polynomials. D. Zagier, using algebraic methods, found an unexpected connection with Stirling numbers of size $N+1$. We present the first combinatorial proof of his result, introducing a new bijection between partitioned maps and thorn trees. Moreover, we obtain a finer result, which takes the type of the permutations into account. Nous étudions le nombre de permutations $\beta$ de $[N]$ avec $m$ cycles telles que $(1 2 \ldots N) \beta^{-1}$ a un seul cycle. Ces nombres apparaissent en tant que coefficients des monômes linéaires des polynômes de Kerov et de Stanley. À l'aide de méthodes algébriques, D. Zagier a trouvé une connexion inattendue avec les nombres de Stirling de taille $N+1$. Nous présentons ici la première preuve combinatoire de son résultat, en introduisant une nouvelle bijection entre des cartes partitionnées et des arbres épineux. De plus, nous obtenons un résultat plus fin, prenant en compte le type des permutations.

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