scholarly journals Words and polynomial invariants of finite groups in non-commutative variables

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Anouk Bergeron-Brlek ◽  
Christophe Hohlweg ◽  
Mike Zabrocki
Keyword(s):  
Nous Avons ◽  
Group Algebra ◽  
Finite Subgroup ◽  
Tensor Algebra ◽  
Descent Algebra ◽  
Polynomial Invariants ◽  
International Audience ◽  
Character Algebra ◽  
Espace Vectoriel ◽  
Complex Coefficients

International audience Let $V$ be a complex vector space with basis $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ and $G$ be a finite subgroup of $GL(V)$. The tensor algebra $T(V)$ over the complex is isomorphic to the polynomials in the non-commutative variables $x_1, x_2, \ldots, x_n$ with complex coefficients. We want to give a combinatorial interpretation for the decomposition of $T(V)$ into simple $G$-modules. In particular, we want to study the graded space of invariants in $T(V)$ with respect to the action of $G$. We give a general method for decomposing the space $T(V)$ into simple $G$-module in terms of words in a particular Cayley graph of $G$. To apply the method to a particular group, we require a surjective homomorphism from a subalgebra of the group algebra into the character algebra. In the case of the symmetric group, we give an example of this homomorphism from the descent algebra. When $G$ is the dihedral group, we have a realization of the character algebra as a subalgebra of the group algebra. In those two cases, we have an interpretation for the graded dimensions of the invariant space in term of those words. Soit V un espace vectoriel complexe de base $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ et $G$ un sous-groupe fini de $GL(V)$. L'algèbre $T(V)$ des tenseurs de $V$ sur les complexes est isomorphe aux polynômes à coefficients complexes en variables non-commutatives $x_1, x_2, \ldots, x_n$. Nous voulons donner une décomposition de $T(V)$ en $G$-modules simples de manière combinatoire. Plus particulièrement, nous étudions l'espace gradué des invariants de $T(V)$ sous l'action de $G$. Nous présentons une méthode générale donnant la décomposition de $T(V)$ en modules simples via certains mots dans un graphe de Cayley donné. Pour appliquer la méthode à un groupe particulier, nous avons besoin d'un homomorphisme surjectif entre une sous-algèbre de l'algèbre de groupe et l'algèbre des caractères. Pour le cas du groupe symétrique, nous donnons un exemple de cet homomorphisme qui provient de la théorie de l'algèbre des descentes. Pour le groupe diédral, nous avons une réalisation de l'algèbre des caractères comme une sous-algèbre de l'algèbre de groupe. Dans ces deux cas, nous avons une interprétation des dimensions graduées de l'espace des invariants en terme de ces mots.

scholarly journals Words and Noncommutative Invariants of the Hyperoctahedral Group

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Anouk Bergeron-Brlek
Keyword(s):  
Tensor Algebra ◽  
Combinatorial Method ◽  
Complex Vector ◽  
Hyperoctahedral Group ◽  
Signed Permutation ◽  
Combinatorial Interpretations ◽  
Free Generators ◽  
International Audience ◽  
Espace Vectoriel ◽  
Nous Utilisons

International audience Let $\mathcal{B}_n$ be the hyperoctahedral group acting on a complex vector space $\mathcal{V}$. We present a combinatorial method to decompose the tensor algebra $T(\mathcal{V})$ on $\mathcal{V}$ into simple modules via certain words in a particular Cayley graph of $\mathcal{B}_n$. We then give combinatorial interpretations for the graded dimension and the number of free generators of the subalgebra $T(\mathcal{V})^{\mathcal{B}_n}$ of invariants of $\mathcal{B}_n$, in terms of these words, and make explicit the case of the signed permutation module. To this end, we require a morphism from the Mantaci-Reutenauer algebra onto the algebra of characters due to Bonnafé and Hohlweg. Soit $\mathcal{B}_n$ le groupe hyperoctaédral agissant sur un espace vectoriel complexe $\mathcal{V}$. Nous présentons une méthode combinatoire donnant la décomposition de l'algèbre $T(\mathcal{V})$ des tenseurs sur $\mathcal{V}$ en modules simples via certains mots dans un graphe de Cayley donné. Nous donnons ensuite des interprétations combinatoires pour la dimension graduée et le nombre de générateurs libres de la sous-algèbre $T(\mathcal{V})^{\mathcal{B}_n}$ des invariants de $\mathcal{B}_n$, en termes de ces mots, et explicitons le cas du module de permutation signé. À cette fin, nous utilisons un morphisme entre l'algèbre de Mantaci-Reutenauer et l'algèbre des caractères introduit par Bonnafé et Hohlweg.

scholarly journals Instrumentation des activités des tuteurs à l’aide d’un système multi-agents d’analyse automatique des interactions

2011 ◽  
Vol Volume 14 - 2011 - Special... ◽  
Author(s):  
Ilham Oumaira ◽  
Rochdi Messoussi ◽  
Raja TOUAHNI
Keyword(s):  
Nous Avons ◽  
Social Cognitive ◽  
Adaptive System ◽  
Interaction Analysis ◽  
Interaction Data ◽  
Multi Agent System ◽  
Système Adaptatif ◽  
International Audience ◽  
Multi Agent ◽  
Multi Agents

International audience Research presented in this article is dedicated to the tutor instrumentation in distance collaborative learning situations. We are particularly interested in the reuse of interaction analysis indicators. In this paper, we present our system SYSAT; a multi-agent system for monitoring the activities of learners. The aim of SYSAT is to reuse indicators (social, cognitive, emotional ...) reported in the literature, in an open and adaptive system. We tested our system on the interaction data from two experiments conducted with two master students of the Ibn Tofail University. The article presents the results and discusses the prospects for Research. Ce travail s'inscrit dans le cadre des recherches sur les Environnements Informatiques pour l'Apprentissage Humain (EIAH), et plus particulièrement dans l’assistance du tuteur dans le suivi des apprenants lors des activités d’apprentissage collaboratives en ligne. Cet article décrit l’architecture du système SYSAT, un système multi-agents d’analyse automatique des interactions. L’objectif de SYSAT est de réutiliser les indicateurs (sociaux, cognitifs, affectifs…) rapportés dans la littérature, au sein d’un système adaptatif et ouvert. Nous avons testé notre système sur les données d’interactions issues de deux expérimentations menées avec les étudiants de deux masters à l’université Ibn Tofail. L’article présente les résultats obtenus et évoque les perspectives de recherche.

scholarly journals Generalized Descent Algebras

2007 ◽  
Vol 50 (4) ◽  
pp. 535-546
Author(s):  
Christophe Hohlweg
Keyword(s):  
Group Algebra ◽  
Coxeter Group ◽  
Descent Algebra ◽  
Finite Coxeter Group ◽  
Solomon Descent Algebra ◽  
Descent Algebras

AbstractIf A is a subset of the set of reflections of a finite Coxeter group W, we define a sub-ℤ-module of the group algebra ℤW. We discuss cases where this submodule is a subalgebra. This family of subalgebras includes strictly the Solomon descent algebra, the group algebra and, if W is of type B, the Mantaci–Reutenauer algebra.

scholarly journals Equivariant Giambelli formula for the symplectic Grassmannians — Pfaffian Sum Formula

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Takeshi Ikeda ◽  
Tomoo Matsumura
Keyword(s):  
Vector Space ◽  
Closed Formula ◽  
International Audience ◽  
Sum Formula ◽  
Isotropic Subspaces ◽  
Espace Vectoriel ◽  
Symplectic Vector Space ◽  
Symplectic Grassmannians ◽  
Schubert Class

International audience We prove an explicit closed formula, written as a sum of Pfaffians, which describes each equivariant Schubert class for the Grassmannian of isotropic subspaces in a symplectic vector space On démontre une formule close explicite, écrite comme une somme de Pfaffiens, qui décrit toute classe de Schubert équivariante pour la Grassmannienne des sous-espaces isotropes dans un espace vectoriel symplectique.

scholarly journals A self-stabilizing algorithm for a hierarchical middleware self-adaptive deployment : specification, proof, simulations

2016 ◽  
Vol Volume 25 - 2016 - Special... ◽  
Author(s):  
Maurice-Djibril Faye ◽  
Eddy Caron ◽  
Ousmane Thiare
Keyword(s):  
Distributed Systems ◽  
Nous Avons ◽  
Adaptive Algorithm ◽  
Adaptive Systems ◽  
The Self ◽  
Adaptive Mechanism ◽  
Effective Solution ◽  
Dynamic Nature ◽  
International Audience ◽  
Self Adaptive

International audience ABSTRACT. An effective solution to deal with this dynamic nature of distributed systems is to implement a self-adaptive mechanism to sustain the distributed architecture. Self-adaptive systems can autonomously modify their behavior at run-timein response to changes in their environment. Our paper describes the self-adaptive algorithm that we developed for an existing middleware. Once the middleware is deployed, it can detects a set of events which indicate an unstable deployment state. When an event is detected, some instructions are executed to handle the event. We have proposed a sketch proof of the self-stabilizing property of the algorithm. We have designed a simulator to have a deeper insights of our proposed self-adaptive algorithm. Results of our simulated experiments validate the safe convergence of the algorithm. RÉSUMÉ.Dans cet article, nous nous intéressons aux moyens de rendre le déploiement d’un intergiciel auto-adaptatif. Le type d’intergiciel que nous avons considéré ici est hiérarchique (structure de graphe) et distribué. Les infrastructures de grilles/cloud étant dynamiques (perte et ajout de nœuds),un déploiement statique n’est pas la solution idéale car en cas de panne, il est souvent nécessaire de reprendre tout le processus de déploiement; or cette opération est très coûteuse. Nous avons donc proposé un algorithme auto-stabilisant pour que l’intergiciel puisse retrouver un état stable sans intervention extérieure, au bout d’un temps fini, lorsqu’il est confronté à des pannes transitoires. Pouravoir une idée plus précise des caractéristiques de l’algorithme, nous avons conçu un simulateur. Lesrésultats des simulations montrent qu’un déploiement, sujet à des pannes transitoires, s’auto-adapte.

scholarly journals The biHecke monoid of a finite Coxeter group

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Florent Hivert ◽  
Anne Schilling ◽  
Nicolas M. Thiéry
Keyword(s):  
Representation Theory ◽  
Group Algebra ◽  
Coxeter Group ◽  
Projective Modules ◽  
Permutation Matrices ◽  
Hecke Group ◽  
Finite Coxeter Group ◽  
Nous Montrons ◽  
Combinatorial Model ◽  
International Audience

arXiv : http://arxiv.org/abs/0912.2212 International audience For any finite Coxeter group $W$, we introduce two new objects: its cutting poset and its biHecke monoid. The cutting poset, constructed using a generalization of the notion of blocks in permutation matrices, almost forms a lattice on $W$. The construction of the biHecke monoid relies on the usual combinatorial model for the $0-Hecke$ algebra $H_0(W)$, that is, for the symmetric group, the algebra (or monoid) generated by the elementary bubble sort operators. The authors previously introduced the Hecke group algebra, constructed as the algebra generated simultaneously by the bubble sort and antisort operators, and described its representation theory. In this paper, we consider instead the monoid generated by these operators. We prove that it admits |W| simple and projective modules. In order to construct the simple modules, we introduce for each $w∈W$ a combinatorial module $T_w$ whose support is the interval $[1,w]_R$ in right weak order. This module yields an algebra, whose representation theory generalizes that of the Hecke group algebra, with the combinatorics of descents replaced by that of blocks and of the cutting poset. Pour tout groupe de Coxeter fini $W$, nous définissons deux nouveaux objets : son ordre de coupures et son monoïde de Hecke double. L'ordre de coupures, construit au moyen d'une généralisation de la notion de bloc dans les matrices de permutations, est presque un treillis sur $W$. La construction du monoïde de Hecke double s'appuie sur le modèle combinatoire usuel de la $0-algèbre$ de Hecke $H_0(W)$, pour le groupe symétrique, l'algèbre (ou le monoïde) engendré par les opérateurs de tri par bulles élémentaires. Les auteurs ont introduit précédemment l'algèbre de Hecke-groupe, construite comme l'algèbre engendrée conjointement par les opérateurs de tri et d'anti-tri, et décrit sa théorie des représentations. Dans cet article, nous considérons le monoïde engendré par ces opérateurs. Nous montrons qu'il admet $|W|$ modules simples et projectifs. Afin de construire ses modules simples, nous introduisons pour tout $w∈W$ un module combinatoire $T_w$ dont le support est l'intervalle [$1,w]_R$ pour l'ordre faible droit. Ce module détermine une algèbre dont la théorie des représentations généralise celle de l'algèbre de Hecke groupe, en remplaçant la combinatoire des descentes par celle des blocs et de l'ordre de coupures.

scholarly journals Smooth affine group schemes over the dual numbers

2019 ◽  
Vol Volume 3 ◽  
Author(s):  
Matthieu ROMAGNY ◽  
Dajano Tossici
Keyword(s):  
Commutative Ring ◽  
Group Algebra ◽  
Group Scheme ◽  
Affine Group ◽  
Unipotent Group ◽  
Dual Numbers ◽  
Group Schemes ◽  
Weil Restriction ◽  
International Audience ◽  
Smooth Affine

International audience We provide an equivalence between the category of affine, smooth group schemes over the ring of generalized dual numbers $k[I]$, and the category of extensions of the form $1 \to \text{Lie}(G, I) \to E \to G \to 1$ where G is an affine, smooth group scheme over k. Here k is an arbitrary commutative ring and $k[I] = k \oplus I$ with $I^2 = 0$. The equivalence is given by Weil restriction, and we provide a quasi-inverse which we call Weil extension. It is compatible with the exact structures and the $\mathbb{O}_k$-module stack structures on both categories. Our constructions rely on the use of the group algebra scheme of an affine group scheme; we introduce this object and establish its main properties. As an application, we establish a Dieudonné classification for smooth, commutative, unipotent group schemes over $k[I]$. Nous construisons une équivalence entre la catégorie des schémas en groupes affines et lisses sur l'anneau des nombres duaux généralisés k[I], et la catégorie des extensions de la forme 1 → Lie(G, I) → E → G → 1 où G est un schéma en groupes affine, lisse sur k. Ici k est un anneau commutatif arbitraire et k[I] = k ⊕ I avec I 2 = 0. L'équivalence est donnée par la restriction de Weil, et nous construisons un foncteur quasi-inverse explicite que nous appelons extension de Weil. Ces foncteurs sont compatibles avec les structures exactes et avec les structures de champs en O k-modules des deux catégories. Nos constructions s'appuient sur le schéma en algèbres de groupe d'un schéma en groupes affines, que nous introduisons et dont nous donnons les propriétés principales. En application, nous donnons une classification de Dieudonné pour les schémas en groupes commutatifs, lisses, unipotents sur k[I] lorsque k est un corps parfait.

scholarly journals The $(m, n)$-rational $q, t$-Catalan polynomials for $m=3$ and their $q, t$-symmetry

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Ryan Kaliszewski ◽  
Huilan Li
Keyword(s):  
Nous Avons ◽  
Explicit Formula ◽  
Dyck Paths ◽  
International Audience

International audience We introduce a new statistic, skip, on rational $(3,n)$-Dyck paths and define a marked rank word for each path when $n$ is not a multiple of 3. If a triple of valid statistics (area; skip; dinv) are given, we have an algorithm to construct the marked rank word corresponding to the triple. By considering all valid triples we give an explicit formula for the $(m,n)$-rational $q; t$-Catalan polynomials when $m=3$. Then there is a natural bijection on the triples of statistics (area; skip; dinv) which exchanges the statistics area and dinv while fixing the skip. Thus we prove the $q; t$-symmetry of $(m,n)$-rational $q; t$-Catalan polynomials for $m=3$.. Nous introduisons une nouvelle statistique, le skip, sur les chemins de $(3,n)$-Dyck rationnels et définissons le mot de rang marqué pour chaque chemin quand $n$ n’est pas un multiple de 3. Si un triplet valide de statistiques (aire, skip, dinv) est donné, nous avons un algorithme pour construire le mot de rang marqué correspondant au triplet. En considérant tous les triplets valides, nous donnons une formule explicite pour les polynômes de $q; t$-Catalan $(m,n)$- rationnels quand $m=3$. Enfin, il existe une bijection naturelle sur les triplets de statistiques (aire, skip, dinv) qui échange les statistiques aires et dinv en conservant le skip. Ainsi, nous prouvons la $q; t$-symétrie des polynômes de $q; t$-Catalan $(m,n)$-rationnels pour $m=3$..

scholarly journals Generalized Polarization Modules (extended abstract)

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Héctor Blandin
Keyword(s):  
Vector Space ◽  
Vandermonde Determinant ◽  
Homogeneous Polynomials ◽  
Generalized Polarization ◽  
Partial Derivatives ◽  
Diagonal Harmonics ◽  
The Family ◽  
International Audience ◽  
Stable Family ◽  
Espace Vectoriel

International audience This work enrols the research line of M. Haiman on the Operator Theorem (the old operator conjecture). This theorem states that the smallest $\mathfrak{S}_n$-module closed under taking partial derivatives and closed under the action of polarization operators that contains the Vandermonde determinant is the space of diagonal harmonics polynomials. We start generalizing the context of this theorem to the context of polynomials in $\ell$ sets of $n$ variables $x_{ij}$ with $1\le i \le \ell$ and $1 \le j \le n$. Given a $\mathfrak{S}_n$-stable family of homogeneous polynomials in the variables $x_{ij}$ the smallest vector space closed under taking partial derivatives and closed under the action of polarization operators that contains $F$ is the polarization module generated by the family $F$. These polarization modules are all representation of the direct product $\mathfrak{S}_n \times GL_\ell(\mathbb{C})$. In order to study the decomposition into irreducible submodules, we compute the graded Frobenius characteristic of these modules. For several cases of $\mathfrak{S}_n$-stable families of homogeneous polynomials in n variables, for every $n \ge 1$, we show general formulas for this graded characteristic in a global manner, independent of the value of $\ell$. Ce travail s'inscrit dans la lignée de recherche des travaux de M. Haiman sur le théorème de l'opérateur (ex-conjecture de l'opérateur). Ce théorème affirme que le plus petit $\mathfrak{S}_n$-module clos par dérivation partielle et clos par l'action des opérateurs de polarisation qui contient le déterminant de Vandermonde est l'espace des polynômes harmoniques diagonaux. On commence par généraliser le contexte du théorème de l'opérateur au contexte de polynômes à ensembles de $n$ variables $x_{ij}$ avec $1\le i \le \ell$ et $1 \le j \le n$. Étant donnée une famille $\mathfrak{S}_n$-stable $F$ des polynômes homogènes en les variables $x_{ij}$, le plus petit espace vectoriel $\mathcal{M}_F$ clos par dérivation partielle et clos par léaction des opérateurs de polarisation contenant $F$ est le module de polarisation engendré par la famille $F$. Les modules $\mathcal{M}_F$ sont tous des représentations du produit direct $\mathfrak{S}_n \times GL_\ell(\mathbb{C})$. Dans le but d'étudier la décomposition en sous-modules irréductibles on calcule la caractéristique de Frobenius graduée de ces modules. Pour plusieurs cas de familles homogènes $\mathfrak{S}_n$-stables constituées des polynômes homogènes à $n$ variables, pour tout $n \ge 1$, on démontre des formules générales pour cette caractéristique graduée de façon globale, indépendante de la valeur de $\ell$.

scholarly journals Vers une structuration auto-stabilisante des réseaux Ad Hoc

2014 ◽  
Vol Volume 17 - 2014 - Special... ◽  
Author(s):  
Mandicou Ba ◽  
Olivier Flauzac ◽  
Bachar Salim Haggar ◽  
Rafik MAKHLOUFI ◽  
Florent Nolot ◽  
...  
Keyword(s):  
Nous Avons ◽  
Clustering Algorithm ◽  
Ad Hoc ◽  
Stable State ◽  
Nous Proposons ◽  
Distributed Clustering ◽  
Network Nodes ◽  
Arbitrary Configuration ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience In this paper, we present a self-stabilizing asynchronous distributed clustering algorithm that builds non-overlapping k-hops clusters. Our approach does not require any initialization. It is based only on information from neighboring nodes with periodic messages exchange. Starting from an arbitrary configuration, the network converges to a stable state after a finite number of steps. Firstly, we prove that the stabilization is reached after at most n+2 transitions and requires (u+1)* log(2n+k+3) bits per node, whereΔu represents node's degree, n is the number of network nodes and k represents the maximum hops number. Secondly, using OMNet++ simulator, we performed an evaluation of our proposed algorithm. Dans cet article, nous proposons un algorithme de structuration auto-stabilisant, distribuéet asynchrone qui construit des clusters de diamètre au plus 2k. Notre approche ne nécessite aucuneinitialisation. Elle se fonde uniquement sur l’information provenant des noeuds voisins à l’aided’échanges de messages. Partant d’une configuration quelconque, le réseau converge vers un étatstable après un nombre fini d’étapes. Nous montrons par preuve formelle que pour un réseau de nnoeuds, la stabilisation est atteinte en au plus n + 2 transitions. De plus, l’algorithme nécessite uneoccupation mémoire de (u + 1) log(2n + k + 3) bits pour chaque noeud u où u représente ledegré (nombre de voisins) de u et k la distance maximale dans les clusters. Afin de consolider lesrésultats théoriques obtenus, nous avons effectué une campagne de simulation sous OMNeT++ pourévaluer la performance de notre solution.

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