В технике при изучении кинетики измельчения материалов пользуются математическими моделями в виде интегро-дифференциальных уравнений, решение которых трудоемко и не всегда приводит к получению наглядных результатов. Цель настоящей статьи разработать математическую модель, раскрывающую кинетику изменения фракционного состава измельчаемых древесных материалов, позволяющую на практике проводить оценку фракционного состава обрабатываемого сырья во времени. Методы исследования математический анализ, численные методы решения дифференциальных уравнений и обработки расчетных данных. Измельчение рассмотрено как многостадийный процесс, при котором фракции материала (узкие классы) под воздействием рабочего органа машины-измельчителя претерпевают превращения, происходящие как последовательно, так и параллельно, причем скорости превращений и доли вновь образованных узких классов материала определяются исходными размерами измельчаемых фракций и параметрами рабочего органа измельчителя. Предложена система дифференциальных уравнений, описывающая в общем превращения узких классов при измельчении, причем коэффициенты уравнений позволяют учесть произвольный вид функций скоростей измельчения фракций и выхода продуктов измельчения. Предложенная система является альтернативой интегро-дифференциальному уравнению балансовой модели измельчения. Выполнена оценка значений параметров математической модели на примере измельчения коры. По результатам сопоставления результатов моделирования с экспериментальными данными, полученными предыдущими исследователями, установлено, что предложенная дифференциальная модель изменения фракционного состава материала при принятых предпосылках к расчету ее параметров качественно и количественно описывает экспериментальных данные с высокой точностью.
In techniques at study of kinetics of shredding of materials use mathematical models in the form of the integral-differential equations, which solution is laborious and not always leads to reception of evident results. The purpose of this article is to develop a mathematical model, which reveals the kinetics of change in fractional composition of wood materials being shredded, allowing in practice to evaluate the fractional composition of the processed raw materials in time. Methods of research include mathematical analysis, numerical methods for solving differential equations and processing of calculated data. Shredding is considered as multistage process at which fractions of a material (narrow classes) under the influence of a working body of the shredder machine undergo transformations occurring both consistently and in parallel, and rates of transformations and a share of again formed narrow classes of the material are defined by initial sizes of shredded fractions and parameters of the working body. The system of the differential equations describing in the general transformation of narrow classes at grinding is offered, and factors of the equations allow to consider any kind of functions of speeds of grinding of fractions and the output of shredding products. The proposed system is an alternative to the integral-differential equation of the balance shredding model. The estimation of values of parameters of the mathematical model on an example of bark shredding is carried out. By results of comparison of results of modeling with the experimental data received by previous researchers it is established that the offered differential model of change of fractional composition of the material at the accepted preconditions to calculation of its parameters qualitatively and quantitatively describes the experimental data with high accuracy.
Development of a Simple Kinetic Mathematical Model of Aggregation of Particles or Clustering of Receptors
