scholarly journals Dual combinatorics of zonal polynomials

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Valentin Féray ◽  
Piotr Sniady
Keyword(s):  
Irreducible Character ◽  
Symmetric Functions ◽  
Symmetric Groups ◽  
Combinatorial Formula ◽  
Zonal Polynomials ◽  
Power Sums ◽  
Power Sum ◽  
Recent Developments ◽  
International Audience ◽  
Special Case

International audience In this paper we establish a new combinatorial formula for zonal polynomials in terms of power-sums. The proof relies on the sign-reversing involution principle. We deduce from it formulas for zonal characters, which are defined as suitably normalized coefficients in the expansion of zonal polynomials in terms of power-sum symmetric functions. These formulas are analogs of recent developments on irreducible character values of symmetric groups. The existence of such formulas could have been predicted from the work of M. Lassalle who formulated two positivity conjectures for Jack characters, which we prove in the special case of zonal polynomials. Dans cet article, nous établissons une nouvelle formule combinatoire pour les polynômes zonaux en fonction des fonctions puissance. La preuve utilise le principe de l'involution changeant les signes. Nous en déduisons des formules pour les caractères zonaux, qui sont définis comme les coefficients des polynômes zonaux écrits sur la base des fonctions puissance, normalisés de manière appropriée. Ces formules sont des analogues de développements récents sur les caractères du groupe symétrique. L'existence de telles formules aurait pu être prédite à partir des travaux de M. Lassalle, qui a proposé deux conjectures de positivité sur les caractères de Jack, que nous prouvons dans le cas particulier des polynômes zonaux.

scholarly journals Power Sum Expansion of Chromatic Quasisymmetric Functions

10.37236/4761 ◽  
2015 ◽  
Vol 22 (2) ◽  
Author(s):  
Christos A. Athanasiadis
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Symmetric Function ◽  
Symmetric Functions ◽  
Unit Interval ◽  
Quasisymmetric Function ◽  
Interval Order ◽  
Combinatorial Formula ◽  
Natural Unit ◽  
Power Sum ◽  
Chromatic Symmetric Function

The chromatic quasisymmetric function of a graph was introduced by Shareshian and Wachs as a refinement of Stanley's chromatic symmetric function. An explicit combinatorial formula, conjectured by Shareshian and Wachs, expressing the chromatic quasisymmetric function of the incomparability graph of a natural unit interval order in terms of power sum symmetric functions, is proven. The proof uses a formula of Roichman for the irreducible characters of the symmetric group.

scholarly journals Explicit generating series for connection coefficients

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Ekaterina A. Vassilieva
Keyword(s):  
Symmetric Functions ◽  
Double Coset ◽  
Type A ◽  
Explicit Computation ◽  
Zonal Polynomials ◽  
Connection Coefficients ◽  
Generating Series ◽  
International Audience ◽  
Commutative Subalgebras ◽  
Orientable Surfaces

International audience This paper is devoted to the explicit computation of generating series for the connection coefficients of two commutative subalgebras of the group algebra of the symmetric group, the class algebra and the double coset algebra. As shown by Hanlon, Stanley and Stembridge (1992), these series gives the spectral distribution of some random matrices that are of interest to statisticians. Morales and Vassilieva (2009, 2011) found explicit formulas for these generating series in terms of monomial symmetric functions by introducing a bijection between partitioned hypermaps on (locally) orientable surfaces and some decorated forests and trees. Thanks to purely algebraic means, we recover the formula for the class algebra and provide a new simpler formula for the double coset algebra. As a salient ingredient, we compute an explicit formulation for zonal polynomials indexed by partitions of type $[a,b,1^{n-a-b}]$. Cet article est dédié au calcul explicite des séries génératrices des constantes de structure de deux sous-algèbres commutatives de l'algèbre de groupe du groupe symétrique, l'algèbre de classes et l'algèbre de double classe latérale. Tel que montrè par Hanlon, Stanley and Stembridge (1992), ces séries déterminent la distribution spectrale de certaines matrices aléatoires importantes en statistique. Morales et Vassilieva (2009, 2011) ont trouvè des formules explicites pour ces séries génératrices en termes des monômes symétriques en introduisant une bijection entre les hypercartes partitionnées sur des surfaces (localement) orientables et certains arbres et forêts décorées. Grâce à des moyens purement algébriques, nous retrouvons la formule pour l'algèbre de classe et déterminons une nouvelle formule plus simple pour l'algèbre de double classe latérale. En tant que point saillant de notre démonstration nous calculons une formulation explicite pour les polynômes zonaux indexés par des partitions de type $[a,b,1^{n-a-b}]$.

scholarly journals Characters of symmetric groups in terms of free cumulants and Frobenius coordinates

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Maciej Dolega ◽  
Valentin Féray ◽  
Piotr Sniady
Keyword(s):  
Young Diagram ◽  
Symmetric Groups ◽  
Main Tool ◽  
Combinatorial Formula ◽  
Young Diagrams ◽  
Free Cumulants ◽  
International Audience

International audience Free cumulants are nice and useful functionals of the shape of a Young diagram, in particular they give the asymptotics of normalized characters of symmetric groups $\mathfrak{S}(n)$ in the limit $n \to \infty$. We give an explicit combinatorial formula for normalized characters of the symmetric groups in terms of free cumulants. We also express characters in terms of Frobenius coordinates. Our formulas involve counting certain factorizations of a given permutation. The main tool are Stanley polynomials which give values of characters on multirectangular Young diagrams. Les cumulants libres sont des fonctions agréables et utiles sur l'ensemble des diagrammes de Young, en particulier, ils donnent le comportement asymptotiques des caractères normalisés du groupe symétrique $\mathfrak{S}(n)$ dans la limite $n \to \infty$. Nous donnons une formule combinatoire explicite pour les caractères normalisés du groupe symétrique en fonction des cumulants libres. Nous exprimons également les caractères en fonction des coordonnées de Frobenius. Nos formules font intervenir le nombre de certaines factorisations d'une permutation donnée. L'outil principal est la famille de polynômes de Stanley donnant les valeurs des caractères sur les diagrammes de Young multirectangulaires.

scholarly journals The Murnaghan―Nakayama rule for k-Schur functions

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jason Bandlow ◽  
Anne Schilling ◽  
Mike Zabrocki
Keyword(s):  
Explicit Formula ◽  
Symmetric Function ◽  
Symmetric Functions ◽  
Schur Functions ◽  
Schur Function ◽  
Noncommutative Symmetric Functions ◽  
Power Sum ◽  
International Audience

International audience We prove a Murnaghan–Nakayama rule for k-Schur functions of Lapointe and Morse. That is, we give an explicit formula for the expansion of the product of a power sum symmetric function and a k-Schur function in terms of k-Schur functions. This is proved using the noncommutative k-Schur functions in terms of the nilCoxeter algebra introduced by Lam and the affine analogue of noncommutative symmetric functions of Fomin and Greene. Nous prouvons une règle de Murnaghan-Nakayama pour les fonctions de k-Schur de Lapointe et Morse, c'est-à-dire que nous donnons une formule explicite pour le développement du produit d'une fonction symétrique "somme de puissances'' et d'une fonction de k-Schur en termes de fonctions k-Schur. Ceci est prouvé en utilisant les fonctions non commutatives k-Schur en termes d'algèbre nilCoxeter introduite par Lam et l'analogue affine des fonctions symétriques non commutatives de Fomin et Greene.

scholarly journals On Kerov polynomials for Jack characters (extended abstract)

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Valentin Féray ◽  
Maciej Dołęga
Keyword(s):  
Symmetric Functions ◽  
Partial Result ◽  
Plancherel Measure ◽  
Jack Polynomials ◽  
Young Diagrams ◽  
Power Sum ◽  
International Audience ◽  
Random Young Diagrams

International audience We consider a deformation of Kerov character polynomials, linked to Jack symmetric functions. It has been introduced recently by M. Lassalle, who formulated several conjectures on these objects, suggesting some underlying combinatorics. We give a partial result in this direction, showing that some quantities are polynomials in the Jack parameter $\alpha$ with prescribed degree. Our result has several interesting consequences in various directions. Firstly, we give a new proof of the fact that the coefficients of Jack polynomials expanded in the monomial or power-sum basis depend polynomially in $\alpha$. Secondly, we describe asymptotically the shape of random Young diagrams under some deformation of Plancherel measure.

scholarly journals Stability properties of Plethysm: new approach with combinatorial proofs (Extended abstract)

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Laura Colmenarejo
Keyword(s):  
Symmetric Functions ◽  
Symmetric Groups ◽  
Linear Groups ◽  
New Approach ◽  
Stability Properties ◽  
Integer Points ◽  
General Linear Groups ◽  
International Audience ◽  
Geometric Techniques ◽  
Homogeneous Basis

International audience Plethysm coefficients are important structural constants in the theory of symmetric functions and in the representations theory of symmetric groups and general linear groups. In 1950, Foulkes observed stability properties: some sequences of plethysm coefficients are eventually constants. Such stability properties were proven by Brion with geometric techniques and by Thibon and Carré by means of vertex operators. In this paper we present a newapproach to prove such stability properties. This new proofs are purely combinatorial and follow the same scheme. We decompose plethysm coefficients in terms of other plethysm coefficients (related to the complete homogeneous basis of symmetric functions). We show that these other plethysm coefficients count integer points in polytopes and we prove stability for them by exhibiting bijections between the corresponding sets of integer points of each polytope. Les coefficients du pléthysme sont des constantes de structure importantes de la théorie des fonctions symétriques, ainsi que de la théorie de la représentation des groupes symétriques et des groupes généraux linéaires. En 1950, Foulkes a observé pour ces coefficients de phénomènes de stabilité: certaines suites de coefficients du pléthysme sont stationnaires. De telles propriétés ont été démontrées par Brion, au moyen de techniques géométriques, et par Thibon et Carré, au moyen d’opérateurs vertex. Dans ce travail, nous présentons une nouvelle approche, purement combinatoire, pour démontrer des propriétés de stabilité de ce type. Nous décomposons les coefficients du pléthysme comme somme alternées de coefficients de pléthysme d’un autre type (liés à la base des fonctions symétriques sommes complètes), qui comptent les points entiers dans des polytopes. Nous démontrons la stabilité des suites de ces coefficients en exhibant des bijections entres les ensembles de points entiers des polytopes correspondants.

scholarly journals Bottom Schur Functions

10.37236/1820 ◽  
2004 ◽  
Vol 11 (1) ◽  
Author(s):  
Peter Clifford ◽  
Richard P. Stanley
Keyword(s):  
Generating Function ◽  
Symmetric Function ◽  
Symmetric Functions ◽  
Schur Functions ◽  
Power Sums ◽  
Power Sum ◽  
Border Strip ◽  
Ramanujan Identity

We give a basis for the space spanned by the sum $\hat{s}_\lambda$ of the lowest degree terms in the expansion of the Schur symmetric functions $s_\lambda$ in terms of the power sum symmetric functions $p_\mu$, where deg$(p_i)=1$. These lowest degree terms correspond to minimal border strip tableaux of $\lambda$. The dimension of the space spanned by $\hat{s}_\lambda$, where $\lambda$ is a partition of $n$, is equal to the number of partitions of $n$ into parts differing by at least 2. Applying the Rogers-Ramanujan identity, the generating function also counts the number of partitions of $n$ into parts $5k+1$ and $5k-1$. We also show that a symmetric function closely related to $\hat{s}_\lambda$ has the same coefficients when expanded in terms of power sums or augmented monomial symmetric functions.

scholarly journals Combinatorial description of the cohomology of the affine flag variety

2020 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 28th... ◽  
Author(s):  
Seung Jin Lee
Keyword(s):  
Symmetric Functions ◽  
Schur Functions ◽  
Flag Variety ◽  
Schubert Calculus ◽  
Power Sum ◽  
Schubert Polynomials ◽  
International Audience ◽  
Stanley Symmetric Functions ◽  
Affine Flag Variety ◽  
Affine Flag

International audience We construct the affine version of the Fomin-Kirillov algebra, called the affine FK algebra, to investigatethe combinatorics of affine Schubert calculus for typeA. We introduce Murnaghan-Nakayama elements and Dunklelements in the affine FK algebra. We show that they are commutative as Bruhat operators, and the commutativealgebra generated by these operators is isomorphic to the cohomology of the affine flag variety. As a byproduct, weobtain Murnaghan-Nakayama rules both for the affine Schubert polynomials and affine Stanley symmetric functions. This enable us to expressk-Schur functions in terms of power sum symmetric functions. We also provide the defi-nition of the affine Schubert polynomials, polynomial representatives of the Schubert basis in the cohomology of theaffine flag variety.

scholarly journals Centralizers of the infinite symmetric group

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Zajj Daugherty ◽  
Peter Herbrich
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Symmetric Functions ◽  
Symmetric Groups ◽  
Unitary Representations ◽  
Nous Obtenons ◽  
Infinite Symmetric Group ◽  
Centralizer Algebras ◽  
Partition Algebras ◽  
International Audience ◽  
Double Commutant

International audience We review and introduce several approaches to the study of centralizer algebras of the infinite symmetric group $S_{\infty}$. Our work is led by the double commutant relationship between finite symmetric groups and partition algebras; in the case of $S_{\infty}$, we obtain centralizer algebras that are contained in partition algebras. In view of the theory of symmetric functions in non-commuting variables, we consider representations of $S_{\infty}$ that are faithful and that contain invariant elements; namely, non-unitary representations on sequence spaces. Nous étudions les algèbres du centralisateur du groupe symétrique infini $S_{\infty}$, passant en revue certaines approches et en introduisant de nouvelles. Notre travail est basé sur la relation du double commutant entre le groupe symétrique fini et les algèbres de partition; dans le cas de $S_{\infty}$, nous obtenons des algèbres du centralisateur contenues dans les algèbres de partition. Compte tenu de la théorie des fonctions symétriques en variables non commutatives, nous considérons les représentations de $S_{\infty}$ qui sont fidèles et contiennent les invariants; c’est-à-dire, les représentations non unitaires sur les espaces de suites.

scholarly journals Combinatorics of k-shapes and Genocchi numbers

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Florent Hivert ◽  
Olivier Mallet
Keyword(s):  
Symmetric Functions ◽  
New Model ◽  
Work In Progress ◽  
Genocchi Numbers ◽  
Combinatorial Model ◽  
International Audience

International audience In this paper we present a work in progress on a conjectural new combinatorial model for the Genocchi numbers. This new model called irreducible k-shapes has a strong algebraic background in the theory of symmetric functions and leads to seemingly new features on the theory of Genocchi numbers. In particular, the natural q-analogue coming from the degree of symmetric functions seems to be unknown so far. Dans cet article, nous présentons un travail en cours sur un nouveau modèle combinatoire conjectural pour les nombres de Genocchi. Ce nouveau modèle est celui des k-formes irréductibles, qui repose sur de solides bases algébriques en lien avec la théorie des fonctions symétriques et qui conduit à des aspects apparemment nouveaux de la théorie des nombres de Genocchi. En particulier, le q-analogue naturel venant du degré des fonctions symétriques semble inconnu jusqu'ici.

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