scholarly journals $(\ell, 0)$-Carter Partitions and their crystal theoretic interpretation

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Chris Berg ◽  
Monica Vazirani
Keyword(s):  
Hecke Algebra ◽  
Specht Module ◽  
Regular Partition ◽  
Basic Representation ◽  
Crystal Graph ◽  
Generating Series ◽  
International Audience ◽  
The One ◽  
Regular Partitions ◽  
Nous Utilisons

International audience In this paper we give an alternate combinatorial description of the "$(\ell,0)$-Carter partitions''. Our main theorem is the equivalence of our combinatoric and the one introduced by James and Mathas ($\textit{A q-analogue of the Jantzen-Schaper theorem}$). The condition of being an $(\ell,0)$-Carter partition is fundamentally related to the hook lengths of the partition. The representation-theoretic significance of their combinatoric on an $\ell$-regular partition is that it indicates the irreducibility of the corresponding Specht module over the finite Hecke algebra. We use our result to find a generating series which counts the number of such partitions, with respect to the statistic of a partition's first part. We then apply our description of these partitions to the crystal graph $B(\Lambda_0)$ of the basic representation of $\widehat{\mathfrak{sl}_{\ell}}$, whose nodes are labeled by $\ell$-regular partitions. Here we give a fairly simple crystal-theoretic rule which generates all $(\ell,0)$-Carter partitions in the graph of $B(\Lambda_0)$. Dans cet article, nous donnons une description combinatoire alternative des partitions "$(\ell,0)$-Carter". Notre théorème principal est une équivalence entre notre combinatoire et celle introduite par James et Mathas ($\textit{A q-analogue of the Jantzen-Schaper theorem}$). La propriété $(\ell,0)$-Carter est fondamentalement liée aux longueurs des équerres de la partition. En terme de théorie des représentations, leur combinatoire pour une partition $\ell$-régulière permet de déterminer l'irréducibilité du module de Specht spécialisé sur l’algèbre de Hecke finie. Nous utilisons notre résultat pour déterminer leur série génératrice en fonction de la taille de la première part. Nous utilisons ensuite notre description de ces partitions au graphe cristallin $B(\Lambda _0)$ de la représentation basique de $\widehat{\mathfrak{sl}_{\ell}}$, dont les nœuds sont étiquetés par les partitions $\ell$-régulières. Nous donnons une règle cristalline relativement simple permettant d'engendrer toutes les partitions $\ell$-régulières $(\ell,0)$-Carter dans le graphe de $B(\Lambda _0)$.

scholarly journals $(\ell,0)$-Carter Partitions, their Crystal-Theoretic Behavior and Generating Function

10.37236/854 ◽  
2008 ◽  
Vol 15 (1) ◽  
Author(s):  
Chris Berg ◽  
Monica Vazirani
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Generating Function ◽  
Hecke Algebra ◽  
Specht Module ◽  
Combinatorial Description ◽  
Basic Representation ◽  
Crystal Graph ◽  
Generating Series ◽  
The One ◽  
Regular Partitions

In this paper we give an alternate combinatorial description of the "$(\ell,0)$-Carter partitions". The representation-theoretic significance of these partitions is that they indicate the irreducibility of the corresponding specialized Specht module over the Hecke algebra of the symmetric group. Our main theorem is the equivalence of our combinatoric and the one introduced by James and Mathas, which is in terms of hook lengths. We use our result to find a generating series which counts such partitions, with respect to the statistic of a partition's first part. We then apply our description of these partitions to the crystal graph $B(\Lambda_0)$ of the basic representation of $\widehat{{sl}_{\ell}}$, whose nodes are labeled by $\ell$-regular partitions. Here we give a fairly simple crystal-theoretic rule which generates all $(\ell,0)$-Carter partitions in the graph $B(\Lambda_0)$.

scholarly journals Counting occurrences for a finite set of words: an inclusion-exclusion approach

2007 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AH,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Frédérique Bassino ◽  
Julien Clément ◽  
J. Fayolle ◽  
P. Nicodème
Keyword(s):  
Generating Function ◽  
Exclusion Principle ◽  
Complete Proof ◽  
Detailed Proof ◽  
Finite Set ◽  
International Audience ◽  
The One ◽  
Maple Package

International audience In this paper, we give the multivariate generating function counting texts according to their length and to the number of occurrences of words from a finite set. The application of the inclusion-exclusion principle to word counting due to Goulden and Jackson (1979, 1983) is used to derive the result. Unlike some other techniques which suppose that the set of words is reduced (<i>i..e.</i>, where no two words are factor of one another), the finite set can be chosen arbitrarily. Noonan and Zeilberger (1999) already provided a MAPLE package treating the non-reduced case, without giving an expression of the generating function or a detailed proof. We give a complete proof validating the use of the inclusion-exclusion principle and compare the complexity of the method proposed here with the one using automata for solving the problem.

scholarly journals A combinatorial non-commutative Hopf algebra of graphs

2014 ◽  
Vol Vol. 16 no. 1 (Combinatorics) ◽  
Author(s):  
Adrian Tanasa ◽  
Gerard Duchamp ◽  
Loïc Foissy ◽  
Nguyen Hoang-Nghia ◽  
Dominique Manchon
Keyword(s):  
Hopf Algebra ◽  
Rooted Trees ◽  
Quantum Field ◽  
International Audience ◽  
The One ◽  
Planar Rooted Trees

Combinatorics International audience A non-commutative, planar, Hopf algebra of planar rooted trees was defined independently by one of the authors in Foissy (2002) and by R. Holtkamp in Holtkamp (2003). In this paper we propose such a non-commutative Hopf algebra for graphs. In order to define a non-commutative product we use a quantum field theoretical (QFT) idea, namely the one of introducing discrete scales on each edge of the graph (which, within the QFT framework, corresponds to energy scales of the associated propagators). Finally, we analyze the associated quadri-coalgebra and codendrifrom structures.

An Optimal Algorithm for Finding Frieze–Kannan Regular Partitions

2014 ◽  
Vol 24 (2) ◽  
pp. 407-437 ◽  
Author(s):  
DOMINGOS DELLAMONICA ◽  
SUBRAHMANYAM KALYANASUNDARAM ◽  
DANIEL M. MARTIN ◽  
VOJTĚCH RÖDL ◽  
ASAF SHAPIRA
Keyword(s):  
Optimal Algorithm ◽  
Deterministic Algorithm ◽  
Local Conditions ◽  
Regular Partition ◽  
Vertex Partition ◽  
Regular Partitions ◽  
Refined Version

In this paper we prove that two local conditions involving the degrees and co-degrees in a graph can be used to determine whether a given vertex partition is Frieze–Kannan regular. With a more refined version of these two local conditions we provide a deterministic algorithm that obtains a Frieze–Kannan regular partition of any graphGin timeO(|V(G)|2).

scholarly journals Lagrange's Theorem for Hopf Monoids in Species

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Marcelo Aguiar ◽  
Aaron Lauve
Keyword(s):  
Necessary Conditions ◽  
Generating Series ◽  
Nous Trouvons ◽  
International Audience ◽  
Binomial Transform ◽  
Hopf Monoid ◽  
Lagrange's Theorem

International audience We prove Lagrange's theorem for Hopf monoids in the category of connected species. We deduce necessary conditions for a given subspecies $\textrm{k}$ of a Hopf monoid $\textrm{h}$ to be a Hopf submonoid: each of the generating series of $\textrm{k}$ must divide the corresponding generating series of $\textrm{k}$ in ℕ〚x〛. Among other corollaries we obtain necessary inequalities for a sequence of nonnegative integers to be the sequence of dimensions of a Hopf monoid. In the set-theoretic case the inequalities are linear and demand the non negativity of the binomial transform of the sequence. Nous prouvons le théorème de Lagrange pour les monoïdes de Hopf dans la catégorie des espèces connexes. Nous déduisons des conditions nécessaires pour qu'une sous-espèce $\textrm{k}$ d'un monoïde de Hopf $\textrm{h}$ soit un sous-monoïde de Hopf: chacune des séries génératrices de $\textrm{k}$ doit diviser la série génératrice correspondante de $\textrm{h}$ dans ℕ〚x〛. Parmi d'autres corollaires nous trouvons des inégalités nécessaires pour qu'une suite d'entiers soit la suite des dimensions d'un monoïde de Hopf. Dans le cas ensembliste les inégalités sont linéaires et exigent que la transformée binomiale de la suite soit non négative.

scholarly journals 0-Hecke algebra actions on coinvariants and flags

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jia Huang
Keyword(s):  
Generating Functions ◽  
Hecke Algebra ◽  
Flag Variety ◽  
Major Index ◽  
Inversion Number ◽  
International Audience ◽  
Descent Set ◽  
Complete Flag ◽  
Coinvariant Algebra

International audience By investigating the action of the 0-Hecke algebra on the coinvariant algebra and the complete flag variety, we interpret generating functions counting the permutations with fixed inverse descent set by their inversion number and major index. En étudiant l'action de l'algèbre de 0-Hecke sur l'algèbre coinvariante et la variété de drapeaux complète, nous interprétons les fonctions génératrices qui comptent les permutations avec un ensemble inverse de descentes fixé, selon leur nombre d'inversions et leur "major index''.

scholarly journals A preorder-free construction of the Kazhdan-Lusztig representations of $S_n$, with connections to the Clausen representations

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Charles Buehrle ◽  
Mark Skandera
Keyword(s):  
Polynomial Ring ◽  
Transition Matrices ◽  
Free Construction ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Original Construction ◽  
Nous Utilisons ◽  
Invent Math

International audience We use the polynomial ring $\mathbb{C}[x_{1,1},\ldots,x_{n,n}]$ to modify the Kazhdan-Lusztig construction of irreducible $S_n$-modules. This modified construction produces exactly the same matrices as the original construction in [$\textit{Invent. Math}$ $\mathbf{53}$ (1979)], but does not employ the Kazhdan-Lusztig preorders. We also show that our modules are related by unitriangular transition matrices to those constructed by Clausen in [$\textit{J. Symbolic Comput.}$ $\textbf{11}$ (1991)]. This provides a $\mathbb{C}[x_{1,1},\ldots,x_{n,n}]$-analog of results of Garsia-McLarnan in [$\textit{Adv. Math.}$ $\textbf{69}$ (1988)]. Nous utilisons l'anneau $\mathbb{C}[x_{1,1},\ldots,x_{n,n}]$ pour modifier la construction Kazhdan-Lusztig des modules-$S_n$ irréductibles dans $\mathbb{C}[S_n]$. Cette construction modifiée produit exactement les mêmes matrices que la construction originale dans [$\textit{Invent. Math}$ $\mathbf{53}$ (1979)], mais sans employer les préordres de Kazhdan-Lusztig. Nous montrons aussi que nos modules sont reliés par des matrices unitriangulaires aux modules construits par Clausen dans [$\textit{J. Symbolic Comput.}$ $\textbf{11}$ (1991)]. Ce résultat donne un $\mathbb{C}[x_{1,1},\ldots,x_{n,n}]$-analogue des résultats de Garsia-McLarnan dans [$\textit{Adv. Math.}$ $\textbf{69}$ (1988)].

scholarly journals Counting Quiver Representations over Finite Fields Via Graph Enumeration

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Geir Helleloid ◽  
Fernando Rodriguez-Villegas
Keyword(s):  
Finite Field ◽  
Finite Fields ◽  
Quiver Representations ◽  
Dimension Vector ◽  
Compte Rendu ◽  
Isomorphism Classes ◽  
International Audience ◽  
Derivatives Of ◽  
Nous Utilisons ◽  
Complete Account

International audience Let $\Gamma$ be a quiver on $n$ vertices $v_1, v_2, \ldots , v_n$ with $g_{ij}$ edges between $v_i$ and $v_j$, and let $\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{N}^n$. Hua gave a formula for $A_{\Gamma}(\boldsymbol{\alpha}, q)$, the number of isomorphism classes of absolutely indecomposable representations of $\Gamma$ over the finite field $\mathbb{F}_q$ with dimension vector $\boldsymbol{\alpha}$. We use Hua's formula to show that the derivatives of $A_{\Gamma}(\boldsymbol{\alpha}, q)$ with respect to $q$, when evaluated at $q = 1$, are polynomials in the variables $g_{ij}$, and we can compute the highest degree terms in these polynomials. The formulas for these coefficients depend on the enumeration of certain families of connected graphs. This note simply gives an overview of these results; a complete account of this research is available on the arXiv and has been submitted for publication. Soit $\Gamma$ un carquois sur $n$ sommets $ v_1, v_2, \ldots , v_n$ avec $g_{ij}$ arêtes entre $v_i$ et $v_j$, et soit $\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{N}^n$. Hua a donné une formule pour $A_{\Gamma}(\boldsymbol{\alpha}, q)$, le nombre de classes d'isomorphisme absolument indécomposables de représentations de $\Gamma$ sur le corps fini $\mathbb{F}_q$ avec vecteur de dimension $\boldsymbol{\alpha}$. Nous utilisons la formule de Hua pour montrer que les dérivées de $A_{\Gamma}(\boldsymbol{\alpha}, q)$ par rapport à $q$, alors évaluée à $q=1$, sont des polynômes dans les variables $g_{ij}$, et on peut calculer les termes de plus haut degré de ces polynômes. Les formules pour ces coefficients dépendent de l'énumération de certaines familles de graphes connectés. Cette note donne simplement un aperçu de ces résultats, un compte rendu complet de cette recherche est disponible sur arXiv et a été soumis pour publication.

scholarly journals An Algorithm for the Navier-Stokes Problem

2006 ◽  
Vol Volume 5, Special Issue TAM... ◽  
Author(s):  
F.Z. Nouri ◽  
K. Amoura
Keyword(s):  
Nonlinear Problem ◽  
Numerical Experiments ◽  
Stokes Equations ◽  
Stokes Problem ◽  
Navier Stokes ◽  
Nous Proposons ◽  
Navier Stokes Equations ◽  
International Audience ◽  
The One ◽  
Work First

International audience This study is a continuation of the one done in [7],[8] and [9] which are based on the work, first derived by Glowinski et al. in [3] and [4] and also Bernardi et al. [1] and [2]. Here, we propose an Algorithm to solve a nonlinear problem rising from fluid mechanics. In [7], we have studied Stokes problem by adapting Glowinski technique. This technique is userful as it decouples the pressure from the velocity during the resolution of the Stokes problem. In this paper, we extend our study to show that this technique can be used in solving a nonlinear problem such as the Navier Stokes equations. Numerical experiments confirm the interest of this discretisation. Cette étude est la continuation des travaux [7],[8] et [9] qui sont basés sur l'étude faite par Glowinski et al. [3] et [4] ainsi que Bernardi et al. (voir [1] et [2]). Ici nous proposons un Algorithme pour résoudre un problème non-linéaire issu de la mécanique des fluides. Dans [7] nous avons étudié le problème de Stokes en adaptant la technique de Glowinski, grace à aquelle, on peut découpler la pression de la vitesse lors de la résolution du problème de Stokes. Dans ce travail, nous étendons notre étude et montrons que cette technique peut être utilisée dans la résolution d'un probème non-linéaire comme les quations de Navier Stokes. Des tests numériques confirment l'intérêt de la discrétisation.

scholarly journals The short toric polynomial

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Gábor Hetyei
Keyword(s):  
Lower Bound ◽  
Reflection Principle ◽  
Lattice Path ◽  
Simple Polytope ◽  
Independent Form ◽  
International Audience ◽  
Bound Theorem ◽  
Lattice Path Enumeration ◽  
Nous Utilisons ◽  
Eulerian Poset

International audience We introduce the short toric polynomial associated to a graded Eulerian poset. This polynomial contains the same information as Stanley's pair of toric polynomials, but allows different algebraic manipulations. Stanley's intertwined recurrence may be replaced by a single recurrence, in which the degree of the discarded terms is independent of the rank. A short toric variant of the formula by Bayer and Ehrenborg, expressing the toric h-vector in terms of the cd-index, may be stated in a rank-independent form, and it may be shown using weighted lattice path enumeration and the reflection principle. We use our techniques to derive a formula expressing the toric h-vector of a dual simplicial Eulerian poset in terms of its f-vector. This formula implies Gessel's formula for the toric h-vector of a cube, and may be used to prove that the nonnegativity of the toric h-vector of a simple polytope is a consequence of the Generalized Lower Bound Theorem holding for simplicial polytopes. Nous introduisons le polynôme torique court associé à un ensemble ordonné Eulérien. Ce polynôme contient la même information que le couple de polynômes toriques de Stanley, mais il permet des manipulations algébriques différentes. La récurrence entrecroisée de Stanley peut être remplacée par une seule récurrence dans laquelle le degré des termes écartés est indépendant du rang. La variante torique courte de la formule de Bayer et Ehrenborg, qui exprime le vecteur torique d'un ensemble ordonné Eulérien en termes de son cd-index, est énoncée sous une forme qui ne dépend pas du rang et qui peut être démontrée en utilisant une énumération des chemins pondérés et le principe de réflexion. Nous utilisons nos techniques pour dériver une formule exprimant le vecteur h-torique d'un ensemble ordonné Eulérien dont le dual est simplicial, en termes de son f-vecteur. Cette formule implique la formule de Gessel pour le vecteur h-torique d'un cube, et elle peut être utilisée pour démontrer que la positivité du vecteur h-torique d'un polytope simple est une conséquence du Théorème de la Borne Inférieure Généralisé appliqué aux polytopes simpliciaux.

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